專題二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第2講函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用真題試做1(2012·湖南高考，文9)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2的偶函數(shù)，f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)當(dāng)x0，時，0f(x)1；當(dāng)x(0，)且x時，f(x)0，則函數(shù)yf(x)sin x在2，2上的零點(diǎn)個數(shù)為()A2 B4 C5 D82(2012·陜西高考，文11)設(shè)函數(shù)則f(f(4)_.3(2012·山東高考，文15)若函數(shù)f(x)ax(a0，a1)在1,2上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)(14m)在0，)上是增函數(shù)，則a_.4(2012·課標(biāo)全國高考，文16)設(shè)函數(shù)f(x)的最大值為M，最小值為m，則Mm_.5(2012·陜西高考，文21)設(shè)函數(shù)f(x)xnbxc(nN，b，cR)(1)設(shè)n2，b1，c1，證明：f(x)在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；(2)設(shè)n為偶數(shù)，|f(1)|1，|f(1)|1，求b3c的最小值和最大值；(3)設(shè)n2，若對任意x1，x21,1，有|f(x1)f(x2)|4，求b的取值范圍6(2012·江蘇高考，17)如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由考向分析通過分析近三年的高考試題可以看到對函數(shù)與方程的考查主要體現(xiàn)在以下幾個方面：一、結(jié)合函數(shù)與方程的關(guān)系，求函數(shù)的零點(diǎn)；二、結(jié)合根的存在性定理或函數(shù)的圖象，對函數(shù)是否存在零點(diǎn)(方程是否存在實(shí)根)進(jìn)行判斷；三、利用零點(diǎn)(方程實(shí)根)的存在求相關(guān)參數(shù)的值或范圍對函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題的考查，題目大多以社會實(shí)際生活為背景，設(shè)問新穎、靈活，而解決這些問題所涉及的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想和方法又都是高中教材和課標(biāo)中所要求掌握的概念、公式、法則、定理等基礎(chǔ)知識和方法熱點(diǎn)例析熱點(diǎn)一確定函數(shù)的零點(diǎn)【例1】設(shè)函數(shù)f(x)xln x(x0)，則yf(x)()A在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn)B在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均無零點(diǎn)C在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點(diǎn)D在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)規(guī)律方法 確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法：(1)解方程判定法，方程易解時用此法；(2)利用零點(diǎn)存在的判定定理；(3)利用數(shù)形結(jié)合，尤其是那些方程兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同時多以數(shù)形結(jié)合法求解變式訓(xùn)練1 方程|x|cos x在(，)內(nèi)()A沒有根B有且僅有一個根C有且僅有兩個根D有無窮多個根熱點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用【例2】(1)m為何值時，f(x)x22mx3m4，有且僅有一個零點(diǎn)？有兩個零點(diǎn)且均比1大？(2)若函數(shù)F(x)|4xx2|a有4個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍規(guī)律方法 解決由函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題，關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解，再者，對于存在零點(diǎn)求參數(shù)范圍問題，可通過分離參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題變式訓(xùn)練2 已知函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)k有兩個不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_熱點(diǎn)三函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例3】某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為立方米，且l2r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c(c3)千元設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元(1)寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；(2)求該容器的建造費(fèi)用最小時的r.規(guī)律方法 應(yīng)用函數(shù)知識解應(yīng)用題的步驟：(1)正確地將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，這是解應(yīng)用題的關(guān)鍵轉(zhuǎn)化來源于對已知條件的綜合分析、歸納與抽象，并與熟知的函數(shù)模型相比較，以確定函數(shù)模型的種類(2)用相關(guān)的函數(shù)知識，進(jìn)行合理設(shè)計(jì)，確定最佳解題方案，進(jìn)行數(shù)學(xué)上的計(jì)算求解(3)把計(jì)算獲得的結(jié)果代回到實(shí)際問題中去解釋實(shí)際問題，即對實(shí)際問題進(jìn)行總結(jié)作答變式訓(xùn)練3 某種產(chǎn)品每件成本為6元，每件售價為x元(x6)，年銷量為u萬件，若已知u與成正比，且售價為10元時，年銷量為28萬件(1)求年利潤y(萬元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求售價為多少時，年利潤最大，并求出最大年利潤思想滲透函數(shù)與方程思想的含義(1)函數(shù)的思想，是用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問題(2)方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程(方程組)或者構(gòu)造方程，通過解方程(方程組)或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決方程的思想是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程(方程組)的觀點(diǎn)觀察、處理問題(3)方程的思想與函數(shù)的思想密切相關(guān)：方程f(x)0的解就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；函數(shù)yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0，通過方程進(jìn)行研究；方程f(x)a有解，當(dāng)且僅當(dāng)a屬于函數(shù)f(x)的值域；函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要【典型例題】如圖所示，長方體物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向作勻速移動，速度為v(v0)，雨速沿E移動方向的分速度為c(cR)E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：P或P的平行面(只有一個面淋雨)的淋雨量，假設(shè)其值與|vc|×S成正比，比例系數(shù)為；其他面的淋雨量之和，其值為.記y為E移動過程中的總淋雨量當(dāng)移動距離d100，面積S時，(1)寫出y的表達(dá)式；(2)設(shè)0v10,0c5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動速度v，使總淋雨量y最少解：(1)由題意知，E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量為|vc|，故y(3|vc|10)(2)由(1)知，當(dāng)0vc時，y(3c3v10)15；當(dāng)cv10時，y(3v3c10)15.故y當(dāng)0c時，y是關(guān)于v的減函數(shù)故當(dāng)v10時，ymin20.當(dāng)c5時，在(0，c上，y是關(guān)于v的減函數(shù)；在(c,10上，y是關(guān)于v的增函數(shù)故當(dāng)vc時，ymin.1已知f(x)3(xa)(xb)，并且m，n是方程f(x)0的兩個根，則實(shí)數(shù)a，b，m，n的大小關(guān)系可能正確的是()Amabn BambnCamnb Dmanb2(2012·山東濰坊一模，12)若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)P，Q滿足條件：P，Q都在函數(shù)yf(x)的圖象上；P，Q關(guān)于原點(diǎn)對稱則稱點(diǎn)對P，Q是函數(shù)yf(x)的一對“友好點(diǎn)對”(點(diǎn)對P，Q與Q，P看作同一對“友好點(diǎn)對”)已知函數(shù)f(x)則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對”有()A0對 B1對 C2對 D3對3函數(shù)f(x)xcos x2在區(qū)間0,4上的零點(diǎn)個數(shù)為()A4 B5 C6 D74設(shè)方程，的根分別為x1，x2，則()A0x1x21 Bx1x21C1x1x22 Dx1x225(2012·江蘇高考，10)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1,1上，f(x)其中a，bR.若ff，則a3b的值為_6(2012·北京高考，理14)已知f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x2.若同時滿足條件：xR，f(x)0或g(x)0；x(，4)，f(x)g(x)0.則m的取值范圍是_7(2012·北京高考，文12)已知函數(shù)f(x)lg x，若f(ab)1，則f(a2)f(b2)_.8某市近郊有一塊大約500 m×500 m的接近正方形的荒地，地方政府準(zhǔn)備在此建一個綜合性休閑廣場，首先要建設(shè)如圖所示的一個矩形場地，其總面積為3 000 m2，其中場地四周(陰影部分)為通道，通道寬度均為2 m，中間的三個矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動場地(其中兩個小場地形狀相同)，塑膠運(yùn)動場地占地面積為S m2.(1)分別寫出用x表示y和S的函數(shù)關(guān)系式(寫出函數(shù)定義域)；(2)怎樣設(shè)計(jì)能使S取得最大值，最大值為多少？參考答案命題調(diào)研·明晰考向真題試做1B解析：由x(0，)且x時，f(x)0可知：當(dāng)x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增又x0，時，f(x)(0,1)，且f(x)是最小正周期為2的偶函數(shù)，可畫出f(x)的草圖為：對于yf(x)sin x的零點(diǎn)，可在同一坐標(biāo)系中再作出ysin x的圖象，可知在2，2上零點(diǎn)個數(shù)為4.24解析：f(4)16，f(f(4)f(16)4.3解析：當(dāng)0a1時，f(x)ax在1,2上的最大值為a14，即a，最小值為a2m，從而m，這時g(x)，即g(x)在0，)上是增函數(shù)當(dāng)a1時，f(x)ax在1,2上的最大值a24得a2，最小值a1m即m，這時g(x)(14m)在0，)上為減函數(shù)，不合題意，舍去所以a.42解析：f(x)1，設(shè)g(x)，則g(x)g(x)，g(x)是奇函數(shù)由奇函數(shù)圖象的對稱性知g(x)maxg(x)min0，Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.5解：(1)當(dāng)b1，c1，n2時，f(x)xnx1.ff(1)×10，f(x)在內(nèi)存在零點(diǎn)又當(dāng)x時，f(x)nxn110，f(x)在上是單調(diào)遞增的f(x)在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)(2) 方法一：由題意知即由圖像知，b3c在點(diǎn)(0，2)取到最小值6，在點(diǎn)(0,0)取到最大值0，b3c的最小值為6，最大值為0.方法二：由題意知1f(1)1bc1，即2bc0， 1f(1)1bc1，即2bc0， ×2得62(bc)(bc)b3c0，當(dāng)b0，c2時，b3c6；當(dāng)bc0時，b3c0，b3c的最小值為6，最大值為0.方法三：由題意知解得b，c，b3c2f(1)f(1)3.又1f(1)1，1f(1)1.6b3c0.當(dāng)b0，c2時，b3c6；當(dāng)bc0時，b3c0，b3c的最小值為6，最大值為0.(3)當(dāng)n2時，f(x)x2bxc.對任意x1，x21,1都有|f(x1)f(x2)|4等價于f(x)在1,1上的最大值與最小值之差M4.據(jù)此分類討論如下：當(dāng)1，即|b|2時，M|f(1)f(1)|2|b|4，與題設(shè)矛盾當(dāng)10，即0b2時，Mf(1)f4恒成立當(dāng)01，即2b0時，Mf(1)f4恒成立綜上可知，2b2.6解：(1)令y0，得kx(1k2)x20，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x0，k0，故x10，當(dāng)且僅當(dāng)k1時取等號所以炮的最大射程為10千米(2)因?yàn)閍0，所以炮彈可擊中目標(biāo)存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立關(guān)于k的方程a2k220aka2640有正根判別式(20a)24a2(a264)0a6.所以當(dāng)a不超過6(千米)時，可擊中目標(biāo)精要例析·聚焦熱點(diǎn)熱點(diǎn)例析【例1】D解析：法一：f·ln 10，f(1)ln 10，f(e)ln e10，f·f(1)0，f(1)·f(e)0，故yf(x)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)法二：在同一坐標(biāo)系中分別畫出yx與yln x的圖象如圖所示由圖象知零點(diǎn)存在于區(qū)間(1，e)內(nèi)【變式訓(xùn)練1】C解析：在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y|x|和ycos x的圖象，如圖當(dāng)x時，y|x|1，ycos x1.當(dāng)x時，y|x|1，ycos x1，所以兩函數(shù)的圖象只在內(nèi)有兩個交點(diǎn)，所以|x|cos x在(，)內(nèi)有兩個根【例2】解：(1)若函數(shù)f(x)x22mx3m4有且僅有一個零點(diǎn)，則等價于4m24(3m4)0，即4m212m160，即m23m40，解得m4或m1.設(shè)兩零點(diǎn)分別為x1，x2，且x11，x21，x1x2.則x1x22m，x1·x23m4，故只需故m的取值范圍是m|5m1(2)若F(x)|4xx2|a有4個零點(diǎn)，即|4xx2|a0有四個根，即|4xx2|a有四個根令g(x)|4xx2|，h(x)a.則作出g(x)的圖象，由圖象可知要使|4xx2|a有四個根，則需g(x)的圖象與h(x)的圖象有四個交點(diǎn)，0a4，即4a0.【變式訓(xùn)練2】(0,1)解析：由函數(shù)圖象知，如圖所示，當(dāng)0k1時直線yk與函數(shù)f(x)的圖象有兩個交點(diǎn)，即方程f(x)k有兩個不同的實(shí)根【例3】解：(1)設(shè)容器的容積為V，由題意知Vr2lr3，又V，故lr.由于l2r，因此0r2.所以建造費(fèi)用y2rl×34r2c2r××34r2c.因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r，0r2.由于c3，所以c20.當(dāng)r30時，r.令m，得m0，所以y(rm)(r2rmm2)當(dāng)0m2即c時，當(dāng)rm時，y0；當(dāng)r(0，m)時，y0；當(dāng)r(m,2)時，y0.所以rm是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)當(dāng)m2即3c時，當(dāng)r(0,2)時，y0，函數(shù)單調(diào)遞減所以r2是函數(shù)y的最小值點(diǎn)綜上所述，當(dāng)3c時，建造費(fèi)用最小時r2；當(dāng)c時，建造費(fèi)用最小時r.【變式訓(xùn)練3】解：(1)設(shè)uk，售價為10元時，年銷量為28萬件，28k，解得k2.u22x221x18.即y(2x221x18)(x6)2x333x2108x108.(2)由(1)得y6x266x1086(x211x18)6(x2)(x9)，令y0得x2(x6，舍去)或x9.顯然，當(dāng)x(6,9)時，y0，當(dāng)x(9，)時，y0.函數(shù)y2x333x2108x108在(6,9)上是增函數(shù)，在(9，)上是減函數(shù)當(dāng)x9時，y取最大值，且ymax135.售價為9元時，年利潤最大，最大年利潤為135萬元創(chuàng)新模擬·預(yù)測演練1C解析：方法一：設(shè)(x)(xa)(xb)，由題意，f(m)3(ma)(mb)0，即(m)(ma)(mb)30，同理可得(n)30，如圖所示，故amnb.故選C.方法二：令g(x)(xa)(xb)，h(x)3.則m，n即為方程g(x)h(x)的根，也即上述兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖所示，故選C.2C解析：P，Q為“友好點(diǎn)對”，不妨設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)(x00)，則Q(x0，y0)所以即(1)方程組(1)的解的個數(shù)即是“友好點(diǎn)對”數(shù)，在同一坐標(biāo)系作出函數(shù)圖象如圖，有兩個交點(diǎn)，所以有2對“友好點(diǎn)對”3C解析：令f(x)xcos x20可得，x0或cos x20，故x0或x2k，kZ.又x0,4，則x20,16，則k0,1,2,3,4符合題意，故在區(qū)間0,4上的零點(diǎn)個數(shù)為6.4A解析：的根x2.設(shè)，因?yàn)閒(1)·f(2)0，所以1x12.故0x1x21.510解析：根據(jù)題意，可得即解得故a3b10.6(4，2)解析：(一)由題意可知，m0時不能保證對xR，f(x)0或g(x)0成立(1)當(dāng)m1時，f(x)(x2)2，g(x)2x2，此時顯然滿足條件；(2)當(dāng)1m0時，2m(m3)，要使其滿足條件，則需解得1m0；(3)當(dāng)m1時，(m3)2m，要使其滿足條件，則需解得4m1.因此滿足條件的m的取值范圍為(4,0)(二)在滿足條件的前提下，再探討滿足條件的m的取值范圍(1)當(dāng)m1時，在(，4)上，f(x)與g(x)均小于0，不合題意；(2)當(dāng)m1時，則需2m4，即m2，所以4m2；(3)當(dāng)1m0時，則需(m3)4，即m1，此時無解綜上所述滿足兩個條件的m的取值范圍為(4，2)72解析：由已知可得，lg(ab)1，f(a2)f(b2)lg a2lg b2lg(a2b2)2lg(ab)2×12.8解：(1)由已知xy3 000,2a6y，則y(6x500)，S(x4)a(x6)a(2x10)a(2x10)·(x5)(y6)3 0306x(6x500)(2)S3 0303 03023 0302×3002 430(m2)，當(dāng)且僅當(dāng)6x，即x50時，等號成立，此時x50(m)，y60(m)，Smax2 430(m2)即設(shè)計(jì)x50 m，y60 m時，運(yùn)動場地占地面積最大，最大值為2 430 m2.