【命題探究】2014版高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)講座：考點(diǎn)47 二項(xiàng)式定理（解析版）加（*）號(hào)的知識(shí)點(diǎn)為了解內(nèi)容，供學(xué)有余力的學(xué)生學(xué)習(xí)使用一.考綱目標(biāo)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).二.知識(shí)梳理1.二項(xiàng)式定理及其特例：（1），（2）2二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：3常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)：求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)時(shí)，要根據(jù)通項(xiàng)公式討論對(duì)的限制；求有理項(xiàng)時(shí)要注意到指數(shù)及項(xiàng)數(shù)的整數(shù)性 4.二項(xiàng)式系數(shù)表（楊輝三角）展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)依次取時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)表，表中每行兩端都是，除以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和5二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：展開式的二項(xiàng)式系數(shù)是，可以看成以為自變量的函數(shù)，定義域是，例當(dāng)時(shí)，其圖象是個(gè)孤立的點(diǎn)（如圖）（1）對(duì)稱性與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等（）直線是圖象的對(duì)稱軸（2）增減性與最大值：當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)，取得最大值（3）各二項(xiàng)式系數(shù)和：，令，則 三考點(diǎn)逐個(gè)突破1.求二項(xiàng)式的指定項(xiàng)或其系數(shù)例1.（1） 在(2x2)5的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)為()A10 B10 C40 D40答案D解析本小題考查二項(xiàng)式展開式的系數(shù)求法，考查運(yùn)算能力(2x2)5的展開式的通項(xiàng)為Tr1C(2x2)5r()rC25r(1)rx103 r，令10­3r1得， r3，T4C22(1)3x40x.x的系數(shù)是40.點(diǎn)評(píng)把二項(xiàng)式系數(shù)等同于項(xiàng)的系數(shù)是易犯的錯(cuò)誤(2) 在(x2)5(y)4的展開式中x3y2的系數(shù)為_答案480解析(x2)5的展開式的通項(xiàng)為Tr1Cx5r(2)r，令5r3得r2，得x3的系數(shù)C(2)240；(y)4的展開式的通項(xiàng)公式為Tr1C()4ryr，令r2得y2的系數(shù)C()212，于是展開式中x3y2的系數(shù)為40×12480.(3) 在(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)的展開式中，含x4的項(xiàng)的系數(shù)是_答案15解析從4個(gè)因式中選取x，從余下的一個(gè)因式中選取常數(shù)，即構(gòu)成x4項(xiàng)，即5x44x43x42x4x4，所以x4項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)是1234515.2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)例2.（1）多項(xiàng)式x10a0a1(x1)a2·(x1)2a10(x1)10，則a8的值為()A10 B45 C9 D45答案B解析x101(x1)101C(x1)C(x1)2C(x1)10a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，a8CC45.(2) 二項(xiàng)式(1sinx)6的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的一項(xiàng)的值為 ，則x在0,2內(nèi)的值為_答案或解析由題意得T4C·sin3x20sin3x，sinx，x 0,2，x或.(3) 若6的二項(xiàng)展開式中，x3的系數(shù)為，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為_答案x3解析Tr1C(x2)6rrCarx123r，令123r3，得r3，Ca3，解得a2.故二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T4C(x2)3()3x3.3.用賦值法求二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的和例3.（1）若(xa)8a0a1xa2x2a8x8，且a556，則a0a1a2a8_.答案256解析(xa)8的展開式的通項(xiàng)公式為Tr1C·x8r·(a)r(1)rC·ar·x8r，令8r5，則r3，于是a5(1)3C·a356，解得a1，即(x1)8a0a1xa2x2a8x8，令x1得a0a1a2a828256.(2) 設(shè)(x21)( 2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，則a0a1a2a11的值為()A2 B1 C1 D2答案A解析依題意，令x21，等式右邊為a0a1a2a11.把x1代入等式左邊，得(1)212×(1)192×(1)92，即a0a1a2a112.4.綜合運(yùn)用例4.（1）設(shè)aZ，且0a<13，若512012a能被13整除，則a()A0 B1 C11 D12答案A解析本題考查二項(xiàng)展開式的應(yīng)用512012(521)2012C522012C522011C522010C×52×(1)2011C×(1) 2012，若想被13整除需加12，a12.（2）在(1x)5(1x)6(1x)7的展開式中，含x4項(xiàng)的系數(shù)是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列的()A第11項(xiàng) B第13項(xiàng) C第18項(xiàng) D第20項(xiàng)答案D解析(1x)5(1x)6(1x)7的展開式中，含x4項(xiàng)的系數(shù)為CCCCCC555，以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an23(n1)3n5，令an55，即3n555，n20，故選D.（3）將n(nN*)的展開式中x4的系數(shù)記為an，則_.答案解析第r1項(xiàng)Tr1C·r(1)rCx2r，令2r4，r2，an(1)2C，2×2×.(4) 已知數(shù)列an滿足ann·2n1(nN*)，是否存在等差數(shù)列bn，使anb1Cb2Cb3CbnC對(duì)一切正整數(shù)n成立？并證明你的結(jié)論解析假設(shè)等差數(shù)列bn使等式n·2n1b1Cb2Cb3CbnC對(duì)一切正整數(shù)n成立，當(dāng)n1時(shí)，得1b1C，b11，當(dāng)n2時(shí)，得4b1Cb2C，b22，當(dāng)n3時(shí)，得12b1Cb2Cb3C，b33，可猜想bnn時(shí)，n·2n1C2C3CnC.kCk·n·nC.C2C3CnCn(CCC)n·2n1.故存在等差數(shù)列bn(bnn)，使已知等式對(duì)一切nN*成立4