方差及常見分布的期望方差.ppt
4.2 隨機(jī)變量的方差,1. 方差的概念與計(jì)算,3. 方差的性質(zhì),2. 常見分布的方差,下頁,、方差概念的引入,隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個重要的數(shù)學(xué)特征,反應(yīng)了隨機(jī) 變量取值的平均大小,但只知道隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是不夠的.,下頁,4.2 隨機(jī)變量的方差,引例1. 從甲、乙兩車床加工的零件中各取件,測得尺寸 如下: 甲: 8, 9, 10, 11, 12; 乙:9.6,9.8,10,10.2,10.4 已知標(biāo)準(zhǔn)尺寸為10(cm), 公差d=0.5cm, 問那一臺車床好?,以X甲 ,X乙分別表示甲乙兩車床加工零件的長度,易得 E(X甲) =E(X乙)10. 雖然甲乙車床加工零件的均值相等,但其零件的質(zhì)量有 顯著差異,甲加工的零件只有件合格,乙加工的全部合格.,下頁,引例2有甲、乙兩人射擊,他們的射擊技術(shù)用下表給出. X表示甲擊中環(huán)數(shù),Y表示乙擊中環(huán)數(shù),誰的射擊水平高?,因此,從平均環(huán)數(shù)上看,甲乙兩人的射擊水平是一樣的, 但兩人射擊水平的穩(wěn)定性是有差別的. 怎么體現(xiàn)這個差別呢?,E(X)=9.2(環(huán)) ;,E(Y)=9.2(環(huán)) .,思路:考察一下“誤差”平方的加權(quán)平均值情況.,這表明乙的射擊水平比較穩(wěn)定.,甲:,乙:,下頁,引例2有甲、乙兩人射擊,他們的射擊技術(shù)用下表給出. X表示甲擊中環(huán)數(shù),Y表示乙擊中環(huán)數(shù),誰的射擊水平高?,思路:考察一下“誤差”平方的加權(quán)平均值情況.,這表明乙的射擊水平比較穩(wěn)定.,甲:,乙:,E(X)=9.2(環(huán)) ;,E(Y)=9.2(環(huán)),一、方差的概念,,定義 設(shè)X為隨機(jī)變量,如果EX-E(X)2存在,則稱 EX-E(X)2 為X的方差,記作 D(X) . 即,D(X) = EX-E(X)2 .,其中 PX=xk=pk k=1,2,3,., 離散型隨機(jī)變量,二、方差的計(jì)算,下頁,一、方差的概念,定義 設(shè)X為隨機(jī)變量,如果EX-E(X)2存在,則稱 EX-E(X)2 為X的方差,記作 D(X) . 即,D(X) = EX-E(X)2 ., 連續(xù)型隨機(jī)變量,,證明:,D(X)= EX E(X)2,= EX2 - 2XE(X)+ E(X)2,= E(X2)- 2E(X)E(X)+ E(X)2,解:因 E(X) = p, 而 E(X 2) = 12p + 02q = p, 于是,D(X) = E(X 2)- E(X)2 = p - p2 = p q.,下頁,三、方差的計(jì)算公式,= E(X2)- E(X)2 .,例1設(shè)隨機(jī)變量 X (0-1) 分布,其概率分布為 PX=1= p,PX=0=q,0p1,p+q=1,求D(X) .,例2設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度,求 D(X) .,所以,,,,解:,下頁,四、常見分布的方差, 0-1分布 概率分布為,E(X) = p.,下頁,D(X)= E(X2)-E(X)2,= p-p2 = p(1-p) = pq., 二項(xiàng)分布 設(shè)隨機(jī)變量XB(n,p),其概率分布為,E(X) = np.,D(X) = E(X2) - E(X)2,E(X2) = E(X2 -X+X),= EX(X-1)+X,= EX(X-1)+E(X),EX(X-1),D(X) = E(X2) - E(X)2 = n(n -1)p2 +np - n2p2 = npq.,從而得,下頁, 泊松分布 設(shè)隨機(jī)變量XP(l),其概率分布為,, k = 0,1,2,3,,l0,,E(X) = l .,D(X) = E(X2) - E(X)2,E(X2) = E(X2 -X+X),= EX(X-1)+X,= EX(X-1)+E(X),EX(X-1),D(X) = E(X2) - E(X)2 = l2 +l -l2 =l .,從而得,下頁, 均勻分布 設(shè)X Ua,b 概率密度為,從而得,下頁, 指數(shù)分布 設(shè)X E(l) 概率密度為,從而得,下頁, 正態(tài)分布 設(shè)XN(,2 )概率密度為,推廣 若X1,X2,,Xn相互獨(dú)立,則D(X1+X2++Xn),設(shè) C 均為常數(shù),則有,下頁,五、方差的性質(zhì),性質(zhì)2 D(CX)= C 2 D(X),性質(zhì)3 D(X+C)= D(X),性質(zhì)4 設(shè)X,Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有 D(X+Y)= D(X)+D(Y),性質(zhì)1 D(C)= C,證明:(2) D(CX) = E CX - E(CX)2 = C2 EX - E(X)2 = C2 D(X).,(3) D(X+C)= E(X+C)- E(X+C)2= EX E(X)2= D(X).,EX-E(X) Y-E(Y) = EXY - E(X)Y - E(Y)X + E(X)E(Y),= E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y),= E(XY)- E(X)E(Y),,由于 X,Y相互獨(dú)立,故有 E(XY)= E(X)E(Y) ,從則有,EX-E(X)Y-E(Y)= 0 ,,(4) D(X+Y) = E(X+Y)-E(X+Y)2= EX-E(X)+Y-E(Y)2 = EX-E(X)2+ EY-E(Y)2+ 2EX-E(X)Y-E(Y) = D(X)+D(Y) + 2EX-E(X)Y-E(Y),而,于是 D(X+Y)= D(X)+D(Y),練習(xí):若X,Y相互獨(dú)立,證明 D(X-Y)= D(X)+D(Y) .,下頁,D(X)=D(X1+X2++Xn),令,顯然 Xi 均服從(0-1)分布, 即 E(Xi)= p, D(Xi) = pq (i =1,2,,n),,且 X1, X2, , Xn相互獨(dú)立. 于是有,E(X)= E(X1+X2++Xn),= E(X1)+E(X2)++E(Xn)= np.,=D(X1)+D(X2)++D(Xn)= npq.,解:,X= X1+X2++Xn ,,(這是新視角用意所在?。?例3在 n 重貝努里試驗(yàn)中,用 X 表示 n 次試驗(yàn)中事件A 發(fā) 生的次數(shù),記P(A)= p,求E(X),D(X) ,下頁,本題旨在給出一個思考與解決問題的新視角!,例4.,解:,下頁,因?yàn)?從而,下頁,例4.,解:,小 結(jié),D(X)=EX-E(X)2,1.方差的定義與計(jì)算,2.常見分布的期望與方差,下頁,練習(xí)題,1.設(shè)X表示獨(dú)立射擊目標(biāo)10次所擊中目標(biāo)的次數(shù),每次擊中 的概率為0.4則 E(X 2)=( ),2.隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立,且XN(1,2),YN(0,1),則 Z=2X-Y+3的期望與方差分別為( ),二、單選題,一、填空題,設(shè)X和Y是兩個隨機(jī)變量,則下式正確的是( ),三、計(jì)算題*,,設(shè)有n個同樣的盒子和n個同樣的小球分別編號為1,2,3,,n 將n個球隨機(jī)地放入n個盒子中去,每個盒子放一個球,求與盒子 編號相同的小球數(shù)的數(shù)學(xué)期望,下頁,,作業(yè): 112頁 8, 9, 10, 11,12,結(jié)束,