拓展深化3與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)有關(guān)的新定義問題,高考在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的命題側(cè)重于考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、零點(diǎn)等問題.命題時(shí)也常以此為基礎(chǔ)作出創(chuàng)新，其中與函數(shù)和導(dǎo)數(shù)有關(guān)的新定義問題也成為高考命題的一個(gè)熱點(diǎn).,一、參數(shù)為雙元時(shí)，建立雙元的聯(lián)系解決導(dǎo)數(shù)問題,【例1】 (2017江蘇卷)已知函數(shù)f(x)x3ax2bx1(a0，bR)有極值，且導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn).(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值) (1)求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域； (2)證明：b23a；,(1)解由f(x)x3ax2bx1，,因?yàn)閒(x)有極值，故f(x)0有實(shí)根，,因?yàn)閒(x)的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn)，,當(dāng)a3時(shí)，f(x)0(x1)， 故f(x)在R上是增函數(shù)，f(x)沒有極值；,列表如下：,故f(x)的極值點(diǎn)是x1，x2.,從而a3.,(3)解由(1)知，f(x)的極值點(diǎn)是x1，x2，,記f(x)，f(x)所有極值之和為h(a)，,于是h(a)在(3，)上單調(diào)遞減.,因此a的取值范圍為(3，6.,二、利用已知函數(shù)研究新定義函數(shù)問題,【例2】 (2018江蘇卷)記f(x)，g(x)分別為函數(shù)f(x)，g(x)的導(dǎo)函數(shù).若存在x0R，滿足f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，則稱x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個(gè)“S點(diǎn)”. (1)證明：函數(shù)f(x)x與g(x)x22x2不存在“S點(diǎn)”； (2)若函數(shù)f(x)ax21與g(x)ln x存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的值；,(1)證明函數(shù)f(x)x，g(x)x22x2， 則f(x)1，g(x)2x2. 由f(x)g(x)且f(x)g(x)，得,因此，f(x)與g(x)不存在“S點(diǎn)”.,設(shè)x0為f(x)與g(x)的“S點(diǎn)”，由f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，得,(3)解對(duì)任意a0，設(shè)h(x)x33x2axa. 因?yàn)閔(0)a0，h(1)13aa2<0，且h(x)的圖象是不間斷的，,由f(x)g(x)且f(x)g(x)，,此時(shí)，x0滿足方程組(*)，即x0是函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)的一個(gè)“S點(diǎn)”.因此，對(duì)任意a0，存在b0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0，)內(nèi)存在“S點(diǎn)”.,探究提高1.一般來說，新定義下的函數(shù)有著特有的性質(zhì)，在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)作為研究工具時(shí)一定要緊扣新定義，以確保單調(diào)性、極值(最值)、零點(diǎn)等性質(zhì)與定義吻合，有時(shí)也涉及利用新定義求參數(shù)問題. 2.利用已知函數(shù)研究新定義函數(shù)問題，即以題目中已出現(xiàn)的函數(shù)為背景進(jìn)行“二次加工”設(shè)計(jì)出新題.解題時(shí)要注意對(duì)原結(jié)論的運(yùn)用，從而研究新函數(shù)的問題.,三、利用新定義研究函數(shù)問題,【例3】 (2018鹽城三模)若對(duì)任意實(shí)數(shù)k，b都有函數(shù)yf(x)kxb的圖象與直線ykxb相切，則稱函數(shù)f(x)為“恒切函數(shù)”.設(shè)函數(shù)g(x)aexxpa，a，pR. (1)討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性； (2)已知函數(shù)g(x)為“恒切函數(shù)”. ()求實(shí)數(shù)p的取值范圍；,解(1)g(x)aex1， 當(dāng)a0時(shí)，g(x)0時(shí)，令g(x)0得xln a， 由g(x)0得xln a，由g(x)<0得x<ln a， 則函數(shù)g(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增. (2)()若函數(shù)f(x)為“恒切函數(shù)”，則函數(shù)yf(x)kxb的圖象與直線ykxb相切， 設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)， 則f(x0)kk且f(x0)kx0bkx0b，即f(x0)0，f(x0)0. 因?yàn)楹瘮?shù)g(x)為“恒切函數(shù)”，所以存在x0，使得g(x0)0，g(x0)0，,設(shè)m(x)ex(1x)， 則m(x)xex，令m(x)0， 令m(x)0，得x<0， 故m(x)在(，0)上單調(diào)遞增，在(0，)上單調(diào)遞減， 從而m(x)maxm(0)1， 故實(shí)數(shù)p的取值范圍為(，1.,()證明當(dāng)p取最大值時(shí)，p1，a1， h(x)(exx1)exm，h(x)(2exx2)ex， 因?yàn)楹瘮?shù)h(x)也為“恒切函數(shù)”， 故存在x0，使得h(x0)0，h(x0)0， 由h(x0)0得(2ex0 x02)ex00，2ex0 x020， 設(shè)n(x)2exx2，則n(x)2ex1，令n(x)0得xln 2， 令n(x)<0得x<ln 2， 故n(x)在(，ln 2)上單調(diào)遞減，在(ln 2，)上單調(diào)遞增， 在單調(diào)遞增區(qū)間(ln 2，)上，n(0)0， 故x00，由h(x0)0，得m0.,在單調(diào)遞減區(qū)間(，ln 2)上，n(2)2e20，,又n(x)的圖象在(，ln 2)上連續(xù)，,此時(shí)由h(x0)0，,深化訓(xùn)練,1.(2018蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，g(x)ln x. (1)若a0，b2，且f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍； (2)若b3，且函數(shù)yf(x)在(1，1)上是減函數(shù). ()求實(shí)數(shù)a的值；,解(1)函數(shù)yg(x)的定義域?yàn)?0，). 當(dāng)a0，b2時(shí)，f(x)x32xc， f(x)g(x)恒成立，x32xcln x恒成立， 即cln xx32x.,令(x)ln xx32x，,令(x)0，得x1，(x)在(1，)上單調(diào)遞減， 當(dāng)x1時(shí)，(x)max(1)1. c1.,(2)()當(dāng)b3時(shí)，f(x)x3ax23xc， f(x)3x22ax3. 由題意得f(x)3x22ax30在(1，1)上恒成立，,a0，即實(shí)數(shù)a的值為0.,()函數(shù)yh(x)的定義域?yàn)?0，)， 當(dāng)a0，b3，c2時(shí)，f(x)x33x2， f(x)3x23，令f(x)3x230，得x1.,當(dāng)x(0，1)時(shí)，f(x)0； 當(dāng)x1時(shí)，f(x)0； 當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0.,對(duì)于g(x)ln x，當(dāng)x(0，1)時(shí)，g(x)0. 當(dāng)x(0，1)時(shí)，h(x)f(x)0； 當(dāng)x1時(shí)，h(x)0； 當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)0. 故函數(shù)yh(x)的值域?yàn)?，).,(1)當(dāng)me(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求f(x)的極小值；,當(dāng)x(0，e)，f(x)0，f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減， 當(dāng)x(e，)，f(x)0，f(x)在(e，)上單調(diào)遞增，,則(x)x21(x1)(x1)， 當(dāng)x(0，1)時(shí)，(x)0，(x)在(0，1)上單調(diào)遞增；,f(x)的極小值為2.,當(dāng)x(1，)時(shí)，(x)0，(x)在(1，)上單調(diào)遞減. x1是(x)的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，因此x1也是(x)的最大值點(diǎn).,又(0)0，結(jié)合y(x)的圖象(如圖)，,可知,(*)等價(jià)于h(x)在(0，)上單調(diào)遞減.,等價(jià)于f(b)bf(a)a恒成立.(*),解(1)因?yàn)閒(x)ln(1x)ln(1x)，所以,(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程；,又因?yàn)閒(0)0，所以曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為y2x.,因?yàn)間(x)0(0g(0)0，x(0，1)，,綜上可知，k的最大值為2.,(1)當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線yf(x)的切線； (2)用minm，n表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x)minf(x)，g(x)(x0)，討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 解(1)設(shè)曲線yf(x)與x軸相切于點(diǎn)(x0，0)，,(2)當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)ln x<0，從而h(x)minf(x)，g(x)g(x)<0，故h(x)在(1，)無零點(diǎn).,當(dāng)x(0，1)時(shí)，g(x)ln x0.所以只需考慮f(x)在(0，1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).,