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§2.3 等差數列的前n項和,第二章 數列,目標定位,,【學習目標】,1．掌握等差數列前n項和公式及其獲取思路； 2．經歷公式的推導過程，體會數形結合的數學思想，體驗 從特殊到一般的研究方法，學會觀察、歸納、反思； 3．熟練掌握等差數列的五個量a1，d，n，an，Sn的關系， 能夠由其中三個求另外兩個．,【重、難點】,重點：探索并掌握等差數列前n項和公式. 難點：等差數列前n項和公式推導思路的獲得．,學習目標和重難點,2,知識鏈接,在等差數列{an}中，若m+n=p+q，則am＋an＝___________ . 特別地，若m+n=2p，則am＋an＝______________.,ap＋aq,2ap,3,自主探究,（一）要點識記,1. 教材推導等差數列前n項和的方法是：_______________ 2. 等差數列的前n項和公式是： （1）_____________________； （2）_____________________.,,倒序相加法,?? ?? =?? ?? ?? + ??(?????) ?? ??,?? ?? = ??( ?? ?? + ?? ?? ) ??,4,新知探究,等差數列前n項和的性質,,等差數列 ?? ?? 的公差為??，前n項和為 ?? ?? . （1）當 ?? ?? 的項數為奇數 2???1 時， ① ?? 2???1 =(2???1) ?? ?? ； ② ?? 奇 ? ?? 偶 = ?? ?? ； ③ ?? 奇 ?? 偶 = ??+1 ?? .,（二）深層探究,5,自主探究,,（2）當 ?? ?? 的項數為偶數 2?? 時， ① ?? 2?? =?? ?? 1 + ?? 2?? =?? ?? 2 + ?? 2???1 =?=?? ?? ?? + ?? ??+1 ② ?? 偶 ? ?? 奇 =????； ③ ?? 偶 ?? 奇 = ?? ??+1 ?? ?? . （3） ?? ?? ， ?? 2?? ? ?? ?? ， ?? 3?? ? ?? 2?? 也成等差數列，且公差為 ?? 2 ??.,（二）深層探究,6,典例突破,,例1. 2000年11月14日教育部下發(fā)了《關于在中小學實施“校校通”的工程通知》．某市據此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年的時間，在全市中小學建成不同標準的校園網．據測算，2001年該市用于“校校通”工程的經費為500萬元．為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元．那么從2001年起的未來10年內，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？,（一）等差數列的前n項和公式的應用,7,典例突破,,【解析】依題意，從2001～2010年，該市每年投入“校校通”工程的經費都比上一年增加50萬元. ∴ 建立一個等差數列{an}，表示從2001年起各年投入的資金， 其中，a1＝500，d＝50. 則到2010年(n＝10)，投入的資金總額為 ?? 10 =10×500+ 10(10?1) 2 ×50=7250 (元)． ∴ 從2001～2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7 250 萬元．,（一）等差數列的前n項和公式的應用,8,典例突破,,【解題反思】如何建立等差數列模型？,答：建立等差數列的模型，要根據題意找準首項、公差和項數或者首項、末項和項數，特別關于年份的問題，一定要找準n的取值與年份的對應．,（一）等差數列的前n項和公式的應用,典例突破,（一）等差數列的前n項和公式的應用,9,典例突破,,變式1. 一支車隊有15輛車，某天依次出發(fā)執(zhí)行運輸任務. 第一輛車于下午2時出發(fā)，第二輛車于下午2時10分出發(fā)，第三輛車于下午2時20分出發(fā)，以此類推. 假設所有的司機都連續(xù)開車，并都在下午6時停下來休息. (1) 到下午6時，最有一輛車行駛了多長時間？ 如果每輛車的形式速度都是60 km/h，這個車隊當天一共 行駛了多少km.,（一）等差數列的前n項和公式的應用,10,典例突破,,【解析】(1) 依題意，從第2輛車到最后一輛車，每輛車都比前一輛車少行駛 1 6 小時. ∴ 建立等差數列{an}，用an表示第n輛車的行駛時間，則 ?? 1 =4，??=? 1 6 . ∴ ?? 15 = ?? 1 +14??=4+14× ? 1 6 = 5 3 (h)，即到下午6時， 最有一輛車行駛了 5 3 h.,（一）等差數列的前n項和公式的應用,11,典例突破,,(2) 記 ?? ?? 為到下午6時，所有車輛的形式時間，則 ?? 15 =?? 1 +?? 2 + ?? 3 +?+ ?? 15 = 15 4+ 5 3 2 = ( 85 2 h) 記 ?? 為到下午6時，所有車輛的行駛路程，則 ??=60 ?? ?? =60× 85 2 =2550（km） ∴ 這個車隊當天一共行駛了2550 km.,（一）等差數列的前n項和公式的應用,12,典例突破,例2. 設等差數列 ?? ?? 的公差為??，前n項和為 ?? ?? . （1）若 ?? 8 = 1 2 ?? 11 +6，則 ?? 9 =______.,,（二）等差數列前n項和性質的應用,【解析】由 ?? 8 = 1 2 ?? 11 +6得 2?? 8 ? ?? 11 =12，即 ?? 5 =12 ∴ ?? 9 =9 ?? 5 =108,??????,13,變式2-1. 若 ?? ???1 + ?? ??+1 ? ?? ?? 2 =0， ?? 2???1 =38，則??=____.,,【解析】由 ?? ???1 + ?? ??+1 ? ?? ?? 2 =0得 2 ?? ?? ? ?? ?? 2 =0， 解得 ?? ?? =0（舍）或 ?? ?? =2. …………① ∴ ?? 2???1 = 2???1 ?? ?? =38…………② 由①②得??=10,????,（二）等差數列前n項和性質的應用,典例突破,14,（2）若 ?? 11 ?? 10 ?1， ?? ?? 有最大值，則當 ?? ?? 取小正值時，??=（） A．10 B．11 C．19 D．20,,【解析】由“ ?? 11 ?? 10 0，??0得 ?? 19 0；由 ?? 11 0得 ?? 21 0； 由 ?? 10 +?? 11 0得 ?? 20 0. 故選C,C,（二）等差數列前n項和性質的應用,典例突破,15,再設等差數列 ?? ?? 的前n項和為 ?? ?? . （3）若 S ?? T ?? = 5??+2 ??+3 ，則 ?? ?? ?? ?? =_______；,,【解析】 ?? ?? ?? ?? = (2n?1) ?? ?? (2n?1) ?? ?? = S 2???1 T 2???1 = 10???3 2??+2,變式2-3. 若 ?? ?? ?? ?? = 5??+2 ??+3 ，則 S 5 T 5 =_______；,【解析】 S 5 T 5 = 5?? 3 5?? 3 = ?? 3 ?? 3 = 5×3+2 3+3 = 17 6,????????? ????+??,???? ??,（二）等差數列前n項和性質的應用,典例突破,16,（4）一個等差數列的前12項和為354，前12項中偶數項和與 奇數項和之比為32∶27，則公差d =______.,,【解析】由條件 ?? 奇 + ?? 偶 =354 ?? 偶 ?? 奇 = 32 27 ，解得 ?? 偶 =192 ?? 奇 =162 ∴ 由 ?? 偶 ? ?? 奇 =6??得 ??=5,??,（二）等差數列前n項和性質的應用,典例突破,17,,變式2-4. 已知 ?? ?? 是等差數列，且其前四項的和為21，后四項 的和為67，且所有項的和為286，則其項數為_____.,【解析】由題意 ?? 1 + ?? 2 + ?? 3 + ?? 4 + ?? ???3 + ?? ???2 + ?? ???1 + ?? ?? =21+67=88 ∴ ?? 1 + ?? ?? = 88 4 =22 ∴由 ?? ?? = ??( ?? 1 + ?? ?? ) 2 得 11??=286，解得??=26,????,（二）等差數列前n項和性質的應用,典例突破,18,【解析】將 ?? 1 = 5 6 ，??=? 1 6 ， S ?? =?5代入 ?? ?? =?? ?? 1 + ??(???1) 2 ??， 得?5= 5 6 ??+ ?? ???1 2 ×(? 1 6 )，解得??=15. ∴ ?? ?? = 5 6 + 15?1 × ? 1 6 =? 3 2,例3. 已知等差數列{an}， ?? 1 = 5 6 ，??=? 1 6 ， S ?? =?5，求?? 及 ?? ?? .,（三）等差數列前n項和中基本量的確定,典例突破,19,答：在這5個基本量中，知其三能求其二．,（三）等差數列前n項和中基本量的確定,【解題反思】 在構成等差數列前n項和公式的5個基本量a1，d，n，an，Sn中，至少要知道幾個才能求出其他的量？,典例突破,20,典例突破,變式3. 已知等差數列{an}，??= 1 3 ，??=37， ?? ?? =629， 求 ?? 1 及 ?? ?? .,【解析】將 ??= 1 3 ，??=37， ?? ?? =629代入 ?? ?? = ?? 1 + ???1 ??， ?? ?? = ??( ?? 1 + ?? ?? ) 2 ， 得 ?? ?? = ?? 1 +12 37( ?? 1 + ?? ?? ) 2 =629 ，解得 ?? 1 =11， ?? ?? =23.,（三）等差數列前n項和中基本量的確定,21,新知探究,（一）等差數列的前n項和公式,問題1. （1）等差數列{an}中，若 ?? 3 + ?? 4 + ?? 5 =60，則 ?? 4 =_____； （2）等差數列{an}中，若 ?? 2 +?? 3 + ?? 4 + ?? 5 =60，則 ?? 3 +?? 4 = ____； （3）等差數列{an}中，若 ?? 1 +?? 100 =101，你會求 ?? 1 + ?? 2 + ?? 3 +?+?? 100 的值嗎？,,????,????,22,新知探究,（一）等差數列的前n項和公式,【解析】 （1）∵ 3+5=2×4∴ ?? 3 + ?? 5 = ?? 4 ∴ ?? 3 + ?? 4 + ?? 5 =3 ?? 4 =60∴ ?? 4 =20,,（2）∵ 2+5=3+4∴ ?? 2 + ?? 5 = ?? 3 + ?? 4 ∴ ?? 2 +?? 3 + ?? 4 + ?? 5 =2 ?? 3 + ?? 4 =60∴ ?? 3 + ?? 4 =30,（3）∵ 1+100=2+99=3+98=?=50+51 ∴ ?? 1 +?? 2 + ?? 3 +?+ ?? 100 = ?? 1 + ?? 100 + ?? 2 + ?? 98 +?+ ?? 50 + ?? 51 =50×101=5050 .,23,新知探究,（一）等差數列的前n項和公式,（4）等差數列{an}中，若 ?? 1 +?? ?? =??，如何求 ?? 1 + ?? 2 + ?? 3 + ?+ ?+?? ?? 的值呢？,,【解析】 ∵ 1+??=2+(???1)=3+(???2)=? ∴ 2(?? 1 + ?? 2 + ?? 3 +?+?? ?? ) = ?? 1 + ?? ?? + ?? 2 + ?? ???1 +?+ ?? ???1 + ?? 2 + ?? ?? + ?? 1 =?? ?? 1 + ?? ?? =???? ∴ ?? 1 + ?? 2 + ?? 3 +?+?? ?? = ???? 2,24,新知探究,【解題反思】 問題1中的幾個問題都是對等差數列“序號和相等，則項數和相等”這一性質的應用. 對稱是求解（1）（2）（3）的主題思想，這一思想常用來研究等差數列前n項和的性質；求解（4）的方法稱為倒序相加法.,（一）等差數列的前 n 項和公式,25,