高考數(shù)學（浙江專用）,2.2函數(shù)的基本性質(zhì),考點一函數(shù)的單調(diào)性與最值,考點清單,考向基礎(chǔ) 1.函數(shù)的單調(diào)性 (1)增函數(shù)、減函數(shù),注意:(1)單調(diào)函數(shù)的定義有以下兩種等價形式: x1,x2a,b,且x1x2, (i)0f(x)在a,b上是增函數(shù); 0f(x)在a,b上是增函數(shù); (x1-x2)f(x1)-f(x2)<0f(x)在a,b上是減函數(shù). (2)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,當一個函數(shù)的增區(qū)間(或減區(qū)間)有多個時,不能用“”連接,而應該用“和”或“,”連接.例如:y=的單調(diào)減 區(qū)間為(-,0)和(0,+),但不能寫成(-,0)(0,+).,(1)y=x+的單調(diào)增區(qū)間為(-,-1和1,+);單調(diào)減區(qū)間為(-1,0)和(0,1). (2)y=ax+(a0,b0)的單調(diào)增區(qū)間為-,-和;單調(diào)減區(qū) 間為-,0和. 特別提醒求函數(shù)單調(diào)區(qū)間應注意以下幾個問題: (1)函數(shù)的單調(diào)性是一個“區(qū)間概念”,有時一個函數(shù)在其定義域的幾個區(qū)間上都是增(減)函數(shù),也不能說這個函數(shù)在其定義域上是增(減)函數(shù).例如:函數(shù)f(x)=在(-,0)上是減函數(shù),在(0,+)上也是減函數(shù),但不 能說f(x)=在(-,0)(0,+)上是減函數(shù).因為當x1=-1,x2=1時,有f(x1)=-1 <f(x2)=1,不滿足減函數(shù)的定義.,2.一些重要函數(shù)的單調(diào)性,(2)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的非空子集,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須先確定函數(shù)的定義域,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的運算應該在函數(shù)的定義域內(nèi)進行. (3)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以是開的,也可以是閉的,還可以是半開半閉的,對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)來說,只要在開區(qū)間上單調(diào),它在閉區(qū)間上也單調(diào).因此,只要函數(shù)在單調(diào)區(qū)間的端點連續(xù)且有意義,都可以使單調(diào)區(qū)間包括端點.,3.函數(shù)的最值,考向突破,考向一函數(shù)單調(diào)性的判斷,例1(2016北京,4,5分)下列函數(shù)中,在區(qū)間(-1,1)上為減函數(shù)的是( ) A.y=B.y=cos xC.y=ln(x+1)D.y=2-x,解析選項A,y=的圖象是將y=-的圖象向右平移1個單位 得到的,故y=在(-1,1)上為增函數(shù),不符合題意;選項B,y=cos x在(-1,0) 上為增函數(shù),在(0,1)上為減函數(shù),不符合題意;選項C,y=ln(x+1)的圖象是將y=ln x的圖象向左平移1個單位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上為增函數(shù),不符合題意;選項D符合題意.,答案D,評析本題考查了基本函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及圖象的變換,屬中檔題.,考向二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,例2(2017課標全國文,8,5分)函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是() A.(-,-2)B.(-,1) C.(1,+)D.(4,+),解析本題主要考查復合函數(shù)的單調(diào)性. 由x2-2x-80可得x4或x<-2, 所以x(-,-2)(4,+), 令u=x2-2x-8, 則其在x(-,-2)上單調(diào)遞減, 在x(4,+)上單調(diào)遞增. 又因為y=ln u在u(0,+)上單調(diào)遞增, 所以y=ln(x2-2x-8)在x(4,+)上單調(diào)遞增.故選D.,答案D 易錯警示本題易忽略定義域而錯選C. 方法總結(jié)復合函數(shù)的單調(diào)性符合同增異減的原則.,考點二函數(shù)的奇偶性與周期性,考向基礎(chǔ) 1.函數(shù)的奇偶性,2.奇偶函數(shù)的性質(zhì) (1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在關(guān)于y軸對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反(填“相同”或“相反”). (2)在公共定義域內(nèi), (i)兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù),兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù);,(ii)兩個偶函數(shù)的和、積都是偶函數(shù); (iii)一個奇函數(shù)、一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù). (3)奇(偶)函數(shù)定義的等價形式:f(-x)=f(x)f(-x)f(x)=0 =1(f (x)0). (4)若函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)且0在定義域內(nèi),則f(0)=0. 3.周期函數(shù)的概念 設函數(shù)y=f(x),xD.如存在非零常數(shù)T,使得對任何xD都有f(x+T)=f(x),則函數(shù)f(x)為周期函數(shù),非零常數(shù)T為y=f(x)的一個周期. 4.關(guān)于函數(shù)周期性的幾個常用結(jié)論 (1)若T為函數(shù)f(x)的一個周期,則kT(k為非零整數(shù))也是函數(shù)f(x)的周期,這就是說,一個函數(shù)如果有周期,就有無數(shù)多個.,(2)當函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=(a0,且f(x)0)或f(x+a)=-f(x)(a0)時, 則f(x)是周期函數(shù),2|a|是它的一個周期. (3)設f(x)是R上的偶函數(shù),且圖象關(guān)于直線x=a(a0)對稱,則f(x)是周期函數(shù),2|a|是它的一個周期. (4)設f(x)是R上的奇函數(shù),且圖象關(guān)于直線x=a(a0)對稱,則f(x)是周期函數(shù),4|a|是它的一個周期. (5)若函數(shù)y=f(x)恒滿足f(x+a)=-f(x+b)(ab),則y=f(x)是周期函數(shù),且2|a-b|是它的一個周期. (6)若函數(shù)y=f(x)恒滿足f(x+a)=(ab),則y=f(x)是周期函數(shù),且2|a -b|是它的一個周期.,考向突破,考向一函數(shù)奇偶性的判斷,例1若函數(shù)f(x)與函數(shù)f(g(x)的奇偶性相同,則稱g(x)為f(x)的“同心函數(shù)”,在下列給出的函數(shù)中,為函數(shù)f(x)=的“同心函數(shù)”的是( ) A.g(x)=x+1B.g(x)=2x C.g(x)=x2D.g(x)=ln x,解析易知函數(shù)f(x)=是奇函數(shù),當g(x)=x+1時, f(g(x)=,x- 1,定義域不關(guān)于原點對稱,不具有奇偶性.當g(x)=2x時, f(g(x)=2x- ,定義域為R,關(guān)于原點對稱,令F(x)=f(g(x),則F(-x)=2-x-=-2x=-F (x),為奇函數(shù),所以函數(shù)f(x)與函數(shù) f(g(x)都是奇函數(shù),則g(x)為f(x)的“同心函數(shù)”.當g(x)=x2時, f(g(x)=,易知它為偶函數(shù),與函數(shù)f(x)的奇偶 性不相同.當g(x)=ln x時, f(g(x)=,定義域為(0,1)(1,+),不關(guān)于 原點對稱,不具有奇偶性,故選B.,答案B,考向二周期性與奇偶性的綜合問題,例2(2017浙江名校協(xié)作體期初,4)下列四個函數(shù)中,以為周期,在上單調(diào)遞減且為偶函數(shù)的是() A.y=sin|x|B.y=cos|x| C.y=|tan x|D.y=-ln|sin x|,解析y=sin|x|不是周期函數(shù),故A錯;y=cos|x|=cos x是以2為周期的函數(shù),故B錯;y=|tan x|在上為增函數(shù),故C錯;y=-ln|sin x|是以為周期,在 上單調(diào)遞減且為偶函數(shù)的函數(shù).故選D.,答案D,方法1判斷函數(shù)單調(diào)性的方法 1.定義法:利用定義嚴格判斷. 2.利用函數(shù)的運算性質(zhì)判斷.若f(x),g(x)為增函數(shù),則在公共定義域內(nèi): (1)f(x)+g(x)為增函數(shù); (2)為減函數(shù)(f(x)0); (3)為增函數(shù)(f(x)0); (4)f(x)g(x)為增函數(shù)(f(x)0,g(x)0); (5)-f(x)為減函數(shù). 3.利用復合函數(shù)關(guān)系判斷單調(diào)性,法則是“同增異減”,即若兩個簡單函,方法技巧,數(shù)的單調(diào)性相同,則這兩個函數(shù)的復合函數(shù)為增函數(shù);若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相反,則這兩個函數(shù)的復合函數(shù)為減函數(shù). 4.利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)性. 5.導數(shù)法: (1)若f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導,當f (x)0時, f(x)為增函數(shù);當f (x)<0時, f(x)為減函數(shù); (2)若f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導,當f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞增時,f (x)0;當f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞減時,f (x)0.,例1討論函數(shù)f(x)=(a0)在(-1,1)上的單調(diào)性.,解題導引,解析解法一(定義法):任取x1,x2(-1,1),且x10,x1x2+10,(-1)(-1)0. 又a0,f(x1)-f(x2)0, 故函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減. 解法二(導數(shù)法):,f (x)= = = =-. a0,x(-1,1), f (x)<0. f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減.,方法2判斷函數(shù)奇偶性的方法 1.定義法,3.性質(zhì)法 若f(x),g(x)在其公共定義域上具有奇偶性,則奇+奇=奇;奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇. 4.在判斷函數(shù)的奇偶性時,要注意先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱;在判斷分段函數(shù)的奇偶性時,應根據(jù)x的取值范圍分段討論.,2.圖象法,例2判斷下列函數(shù)的奇偶性: (1)f(x)=(1-x); (2)f(x)= (3)f(x)=; (4)f(x)=log2(x+).,解題導引,解析(1)當且僅當0時函數(shù)有意義,-1x0時,-x0, f(-x)=-x2-2x+1=-f(x), f(-x)=-f(x),函數(shù)f(x)是奇函數(shù). (3)由題意知-2x2且x0, f(x)的定義域為-2,0)(0,2,關(guān)于原點對稱. f(x)=,又f(-x)=-=-f(x), f(-x)=-f(x),函數(shù)f(x)是奇函數(shù). (4)解法一:易知f(x)的定義域為R. f(-x)=log2(-x)+=log2 =-log2(x+)=-f(x),函數(shù)f(x)是奇函數(shù). 解法二:易知f(x)的定義域為R. f(-x)+f(x)=log2(-x)+log2(x+)=log21=0,f(-x)=-f(x), 函數(shù)f(x)為奇函數(shù). 規(guī)律總結(jié)(1)對于解析式比較復雜的函數(shù),有時需要將函數(shù)化簡后再判斷它的奇偶性,但一定要先考慮它的定義域;,(2)對于分段函數(shù),必須分段判斷它的奇偶性,只有在每一段上都滿足奇偶函數(shù)的定義時,才能下相應的結(jié)論; (3)當f(x)0時,奇偶函數(shù)定義中的判斷式f(-x)=f(x)常被它的變式 =1替代.,方法3函數(shù)周期性的解題方法 1.函數(shù)的周期性問題一般需先判斷函數(shù)的周期,再利用周期求函數(shù)值. 2.函數(shù)的周期性與對稱性往往同時出現(xiàn),轉(zhuǎn)化的技巧在于換元,有時也可通過求特殊值發(fā)現(xiàn)函數(shù)的周期性.,例3(2018浙江“七彩陽光”聯(lián)盟期中,16)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),對任意的xR都有f(1+x)=f(1-x),且當x0,1時,f(x)=2x-1,則當x-2,6時,方程f(x)=-所有根之和為.,解題導引,解析由f(1+x)=f(1-x),得f(x+2)=f(-x),又函數(shù)f(x)是奇函數(shù), 所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),從而有f(x+4)=f(x),即f(x)是以4為周期的函數(shù). 又由題意知,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,從而其圖象關(guān)于直線x=-1也對稱,由周期性知函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2k+1,kZ對稱.由題意知函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1是增函數(shù),其值域為0,1,此時方程f(x)=-無解,由對稱性 知函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2是減函數(shù),其值域為0,1,此時方程f(x)=-也無解. 由函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱知方程f(x)=-在區(qū)間-2,-1和-1,0上各有一 根,由對稱性知兩根之和為-2.由周期性知方程f(x)=-在區(qū)間2,3和3,4 上各有一根,由對稱性知兩根之和為6.由對稱性知,在區(qū)間4,6上方程f(x)=-無解,故在區(qū)間-2,6上共有4個根,其和為4.,答案4,方法4函數(shù)性質(zhì)的綜合應用 求解函數(shù)性質(zhì)的綜合問題時,一要緊扣奇偶性、單調(diào)性、周期性的定義及有關(guān)的結(jié)論,二要充分利用各種性質(zhì)之間的聯(lián)系.,例4(2016浙江鎮(zhèn)海中學測試,8)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(-x)=x2,且對任意的x1,x20,+)(其中x1x2)均有(x1+x2).若 f(4m-2)-f(2m)-6m2+8m-20,則m的可能取值是() A.-1B.0 C.1D.2,解題導引,解析由f(x)+f(-x)=x2,得f(x)-x2+=0,設g(x)=f(x)-x2,則g (-x)=-g(x),故g(x)為R上的奇函數(shù).= -(x1+x2)0,故g(x)為R上的增函數(shù). g(4m-2)-g(2m)=f(4m-2)-f(2m)-(4m-2)2-(2m)2=f(4m-2)-f(2m)-6m2+8m-2 0, 即g(4m-2)g(2m),故4m-22m,所以m1.故選D.,答案D,