高考數(shù)學(xué)（浙江專用）,專題五平面向量與解三角形5.1平面向量的概念及線性運算、平面向量基本定理,考點一平面向量的線性運算及幾何意義,考點清單,考向基礎(chǔ) 1.既有大小又有方向的量叫做向量.向量可以用有向線段來表示. 2.向量的大小,也就是向量的長度(或稱模),記作|. 3.長度為0的向量叫做零向量,記作0.長度為1個單位長度的向量叫做單位向量. 4.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,也叫做共線向量.規(guī)定:0與任一向量平行. 5.長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.,6.向量的加法法則:三角形法則和平行四邊形法則. 7.向量加法的交換律:a+b=b+a. 向量加法的結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c). 8.與a長度相等,方向相反的向量叫做a的相反向量,記作-a.規(guī)定:0的相反向量是0. 9.實數(shù)與非零向量a的乘積a是一個向量,它的長度是|a|的|倍,即|a|=|a|.它的方向:當0時,與a同向;當<0時,與a反向.顯然,當=0時,a=0. 10.設(shè)a、b是任意向量,、是實數(shù),則實數(shù)與向量的積適合以下運算律:(1)結(jié)合律:(a)=()a;(2)第一分配律:(+)a=a+a;(3)第二分配律:(a+b)=a+b.,11.向量共線的判斷 (1)若a與b是兩個非零向量,則它們共線的充要條件是有且只有一個實數(shù),使得b=a; (2)若a與b是兩個非零向量,則它們共線的充要條件是存在兩個均不是 零的實數(shù)、,使得a+b=0.,考點二平面向量基本定理及坐標表示,考向基礎(chǔ) 1.平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)1、2,使a=1e1+2e2,其中e1、e2是一組基底. 2.平面向量的坐標運算 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=(x1x2,y1y2); (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1); (3)若a=(x,y),R,則a=(x,y). 3.向量平行的坐標表示 (1)如果a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b0),則ab的充要條件為x1y2-x2y1=0; (2)三點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共線的充要條件為(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y,1)=0. 4.幾個重要結(jié)論:如圖, (1)若a、b為不共線向量,則a+b、a-b為以a、b為鄰邊的平行四邊形的對角線向量; (2)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2); (3)G為ABC的重心+=0 G.,(4)若+=2,則D為BC的中點,且D.反之也成立. (5)若O為原點,A,B,C為平面內(nèi)三點,則A,B,C三點在一條直線上的充要條件是=+,且+=1,R.,方法1平面向量線性運算的解題方法 用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本功,除利用向量的加法、減法、數(shù)乘運算外,還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理,因此,在求向量時要盡可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中,利用三角形中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半,相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì),把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量進行求解. 解題的基本步驟: (1)根據(jù)已知條件,正確選擇基底;,方法技巧,(2)把條件和結(jié)論(或問題)中的所有向量用基底表示; (3)進行相關(guān)的運算.,例1(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬卷二,7)已知ABC的外心為O,且滿足BAC=60,=x+y(其中x1),則x+4y的最大值為() A.2B.C.D.5,解題導(dǎo)引,解析設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.將=x+y兩 邊分別同時點乘和,則解得所以x+4y =-4=2,故選A.,答案A,方法2平面向量的坐標運算的解題方法 向量的坐標表示實際上就是向量的代數(shù)表示,在引入向量的坐標表示后,向量的運算就完全可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算了,這樣就可以將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起.因此,很多幾何問題的證明,特別是共線、共點等較難問題的證明,就可以轉(zhuǎn)化為較為簡單的代數(shù)運算的論證. 解題的基本步驟: (1)建立適當?shù)淖鴺讼? (2)將參與運算的向量用坐標表示出來; (3)利用加法、減法、數(shù)乘等運算法則轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算; (4)將代數(shù)運算結(jié)果轉(zhuǎn)化為向量結(jié)果作答. 解題過程中注意數(shù)形結(jié)合思想和方程思想的運用.,例2(2017浙江臺州質(zhì)量評估,16)已知不共線的平面向量a,b滿足|a|=3,|b|=2,若向量c=a+b(,R),且+=1,=,則=.,解題導(dǎo)引 導(dǎo)引一: 導(dǎo)引二:,解析解法一:如圖,設(shè)=a,=b,=c.因為向量c=a+b(,R),且 +=1,所以A,B,C三點共線. 由=知,cos=cos,所以O(shè)C為AOB的平分線,所以 =,故=,即-=(-),所以=+, 因為c=a+b,所以=. 解法二:建立平面直角坐標系如圖, 設(shè)=a,=b,=c,=, 則有b=(2cos ,2sin ),a=(3,0), c=a+b=(3+2cos ,2sin ),=, 化簡得5(cos -1)=2(cos -1), 由于a,b不共線, cos -10, 從而5=2=.,答案,