9.8直線與圓錐曲線,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),1.曲線與方程 一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系: (1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè). (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是. 那么,這個(gè)方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線.,方程的解,曲線上的點(diǎn),知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),2.求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟 (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo). (2)寫(xiě)出適合條件p的點(diǎn)M的集合P=M|p(M). (3)用坐標(biāo)表示條件p(M),列出方程. (4)化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式. (5)說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上.,f(x,y)=0,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),3.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 (1)從幾何角度看,可分為三類:無(wú)公共點(diǎn),僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異的公共點(diǎn). (2)從代數(shù)角度看,可通過(guò)將表示直線的方程代入二次曲線的方程消元后所得方程解的情況來(lái)判斷.設(shè)直線l的方程為Ax+By+C=0,圓錐曲線方程為f(x,y)=0.,如消去y后得ax2+bx+c=0.,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),4.直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)問(wèn)題 (1)斜率為k(k不為0)的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則所得弦長(zhǎng)|P1P2|= 或|P1P2|= . (2)當(dāng)斜率k不存在時(shí),可求出交點(diǎn)坐標(biāo),直接計(jì)算(利用兩點(diǎn)間的距離公式).,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的軌跡是() A.雙曲線B.橢圓 C.圓D.拋物線,答案,解析,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),2.過(guò)拋物線y2=2x的焦點(diǎn)作一條直線與該拋物線交于A,B兩點(diǎn),若它們的橫坐標(biāo)之和等于2,則這樣的直線() A.有且只有一條B.有且只有兩條 C.有且只有三條D.有且只有四條,答案,解析,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),3.若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支交于不同的兩點(diǎn),則k的取值范圍是(),答案,解析,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),4.已知M(-2,0),N(2,0),則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是.,答案,解析,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),x2=2py(p0)的焦點(diǎn)為F.若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長(zhǎng)為2c,且|FA|=c,則雙曲線的漸近線方程為.,答案,解析,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),自測(cè)點(diǎn)評(píng) 1.求軌跡方程的方法有直接法、定義法、幾何法等. 2.弦長(zhǎng)公式使用時(shí)要注意直線的斜率情況,對(duì)于斜率不存在的直線要單獨(dú)處理,對(duì)于拋物線中的過(guò)焦點(diǎn)的弦要使用其特定的公式. 3.直線與雙曲線或與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題比直線與橢圓的交點(diǎn)問(wèn)題更為復(fù)雜,除了利用方程分析,還可以結(jié)合圖象更為直觀.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,曲線與方程(考點(diǎn)難度) 【例1】 (1)(2017浙江新高考沖刺卷)方程(x+y-3) =0表示的曲線是() A.兩條射線 B.拋物線和一條線段 C.拋物線和一條直線 D.拋物線和兩條射線,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)1.設(shè)曲線C上的點(diǎn)(x,y)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立如下關(guān)系:(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解;(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).則這個(gè)方程叫做曲線的方程,這條曲線叫做方程的曲線. 2.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用方法有直接法、定義法、幾何法等,但無(wú)論用哪種方法,都要注意曲線方程的純粹性和完備性,即保證滿足條件的點(diǎn)不遺漏,無(wú)多余.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,A.兩條直線B.兩條射線 C.兩條線段D.一條直線和一條射線,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,答案,解析,(2)已知M(-1,0),N(1,0),|PM|-|PN|=2,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是() A.雙曲線B.雙曲線的左支 C.一條射線D.雙曲線的右支,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,(3)曲線C:xy=2上任一點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之積為.,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(考點(diǎn)難度),率互為倒數(shù),且直線x-y-2=0經(jīng)過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn). (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O的直線與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),且直線OM,MN,ON的斜率依次成等比數(shù)列,求OMN面積的取值范圍.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,(2)由題意可設(shè)直線的方程為y=kx+m(k0,m0),于是y1y2=(kx1+m)(kx2+m) =k2x1x2+km(x1+x2)+m2. 又直線OM,MN,ON的斜率依次成等比數(shù)列,又由=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)0,得0<m2<2,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,顯然m21(否則x1x2=0,x1,x2中至少有一個(gè)為0,直線OM,ON中至少有一個(gè)斜率不存在,與已知矛盾).,故由m的取值范圍可得OMN面積的取值范圍為(0,1).,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)1.求直線與圓錐曲線的交點(diǎn)時(shí),注意用一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)解決.在解題時(shí),應(yīng)注意討論二次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0兩種情況. 2.對(duì)于封閉曲線,直線上的一個(gè)定點(diǎn)在曲線上或曲線內(nèi)部也足以說(shuō)明直線與曲線總有交點(diǎn).,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=t(t0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C:y2=2px(p0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N,連接ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.,(2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)?說(shuō)明理由.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,(2)直線MH與C除H以外沒(méi)有其他公共點(diǎn). 理由如下:,代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t, 即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn), 所以除H以外直線MH與C沒(méi)有其他公共點(diǎn).,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,圓錐曲線中的弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)等問(wèn)題(),(1)求橢圓E的方程; (2)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O且斜率為 的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M,直線OM與橢圓E交于C,D,證明:|MA|MB|=|MC|MD|.,(1)解:由已知,a=2b.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)1.求弦長(zhǎng)時(shí)可利用弦長(zhǎng)公式,根據(jù)直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和、兩根之積的代數(shù)式,然后進(jìn)行整體代入弦長(zhǎng)公式求解. 2.點(diǎn)差法在解決有關(guān)弦中點(diǎn)、弦所在直線的斜率、弦中點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率問(wèn)題時(shí)可簡(jiǎn)化運(yùn)算,但要注意直線斜率是否存在.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍; (2)求AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,難點(diǎn)突破“設(shè)而不求,整體代換”在解析幾何中的應(yīng)用 “設(shè)而不求,整體代換”是一種整體思想.在直線與圓錐曲線的問(wèn)題中,相交問(wèn)題往往設(shè)交點(diǎn)而不直接求交點(diǎn),相切問(wèn)題常常設(shè)切線斜率而不直接求切線斜率,而是利用根與系數(shù)的關(guān)系,整體代換,減少計(jì)算量.,【典例】 已知點(diǎn)A(-2,0),B(0,1)在橢圓C: (ab0)上. (1)求橢圓C的方程; (2)P是線段AB上的點(diǎn),直線y= x+m(m0)交橢圓C于M,N兩點(diǎn).若MNP是斜邊長(zhǎng)為 的直角三角形,求直線MN的方程.,(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).,答題指導(dǎo)直線與圓錐曲線位置關(guān)系相關(guān)問(wèn)題的題目,解題過(guò)程中關(guān)鍵是把條件盡量轉(zhuǎn)化成兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)的和與積的形式,以便整體代換.,高分策略1.求軌跡方程時(shí),要注意曲線上的點(diǎn)與方程的解是一一對(duì)應(yīng)的.檢驗(yàn)可從以下兩個(gè)方面進(jìn)行:方程的化簡(jiǎn)是不是同解變形;是否符合題目的實(shí)際意義. 2.涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷有兩種方法: (1)代數(shù)法,即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,組成方程組,通過(guò)方程組的解來(lái)解決; (2)幾何法,即利用數(shù)形結(jié)合思想并找出關(guān)鍵點(diǎn)或關(guān)鍵線.,3.弦長(zhǎng)問(wèn)題 (1)弦長(zhǎng)公式: 設(shè)直線與圓錐曲線相交于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點(diǎn),則可結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到如下弦長(zhǎng)公式:,(2)弦的中點(diǎn)問(wèn)題的解決有點(diǎn)差法、設(shè)而不求法.,