第十章 計(jì)數(shù)原理、概率、 隨機(jī)變量及其分布,10.1分類加法計(jì)數(shù)原理與 分步乘法計(jì)數(shù)原理,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),1.分類加法計(jì)數(shù)原理 完成一件事有n類不同的方案,在第一類方案中有m1種不同的方法,在第二類方案中有m2種不同的方法,在第n類方案中有mn種不同的方法,則完成這件事共有N=m1+m2+mn種不同的方法. 2.分步乘法計(jì)數(shù)原理 完成一件事需要分成n個(gè)不同的步驟,完成第一步有m1種不同的方法,完成第二步有m2種不同的方法,完成第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1m2mn種不同的方法.,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),3.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理,都涉及完成一件事情的不同方法的種數(shù).它們的區(qū)別在于:分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān),各種方法相互獨(dú)立,用其中的任一種方法都可以完成這件事;分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān),各個(gè)步驟相互依存,只有各個(gè)步驟都完成了,這件事才算完成.,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),1.將5封信投入3個(gè)郵筒,不同的投法共有() A.53種B.35種C.3種D.15種,答案,解析,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),2.某校高一有6個(gè)班,高二有7個(gè)班,高三有8個(gè)班.現(xiàn)選兩個(gè)班的學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),若要求這兩個(gè)班來自不同年級(jí),則有不同的選法種.,答案,解析,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),3.若x,yN*,且x+y6,則有序自然數(shù)對(duì)(x,y)共有個(gè).,答案,解析,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),4.乘積(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展開后的項(xiàng)數(shù)為.,答案,解析,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),5.用1,5,9,13中的任意一個(gè)數(shù)作分子,4,8,12,16中的任意一個(gè)數(shù)作分母,可構(gòu)成的真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)為.,答案,解析,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),自測(cè)點(diǎn)評(píng) 1.在分類加法計(jì)數(shù)原理中,每一種方法都能完成這件事情,類與類之間是相互獨(dú)立的,不能是相同的,即分類的標(biāo)準(zhǔn)是“不重不漏,一步完成”. 2.在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,各個(gè)步驟相互依存,在各個(gè)步驟中任取一種方法,即是完成這個(gè)步驟的一種方法. 3.應(yīng)用兩種計(jì)數(shù)原理解題時(shí),要注意分清:要完成的事情是什么,完成該事情是分類完成還是分步完成.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,分類加法計(jì)數(shù)原理(考點(diǎn)難度),【例1】 已知a,b1,2,3,4,5,6,7,8,9,u=logab,則u的不同取值個(gè)數(shù)為.,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)利用分類計(jì)數(shù)原理解題時(shí),應(yīng)注意: (1)根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn),分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一,不能遺漏; (2)分類時(shí),注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類,不能重復(fù).,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)已知兩條異面直線a,b上分別有5個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn),則這13個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為 () A.40B.16 C.13D.10,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,(2)用幣值10元、5元和1元的人民幣來支付20元錢的書款,不同的支付方法有() A.3種B.5種 C.9種D.12種,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,分步乘法計(jì)數(shù)原理(考點(diǎn)難度),【例2】 (1)從集合0,1,2,3,4,5,6中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a,b組成復(fù)數(shù)a+bi,其中虛數(shù)的個(gè)數(shù)是() A.30B.42C.36D.35,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,(2)從班委會(huì)5名成員中選出3名,分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員,其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員,則不同的選法共有種(用數(shù)字作答).,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)1.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題時(shí),要按事件發(fā)生的過程合理分步,即分步是有先后順序的,并且分步必須滿足:完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的,只有各個(gè)步驟都完成了,才算完成這件事. 2.分步必須滿足兩個(gè)條件:一是步驟之間互相獨(dú)立,互不干擾;二是步與步確保連續(xù),逐步完成.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會(huì)合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng),則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為() A.24B.18C.12D.9,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用(考點(diǎn)難度) 【例3】 (1)動(dòng)點(diǎn)P從正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A出發(fā),沿著棱運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C1后再到A,若運(yùn)動(dòng)中恰好經(jīng)過6條不同的棱,則稱該路線為“最佳路線”,則“最佳路線”的條數(shù)為(用數(shù)字作答).,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,(2)(2017浙江杭州七校聯(lián)考)如圖所示,用4種不同的顏色對(duì)圖中5個(gè)區(qū)域涂色(4種顏色全部使用),要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色,相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色,則不同的涂色種數(shù)為(用數(shù)字作答).,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時(shí),關(guān)鍵是明確需要分類還是分步. (1)分類要做到“不重不漏”,分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù),最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和,得到總數(shù). (2)分步要做到“步驟完整”.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,把完成每一步的方法數(shù)相乘,得到總數(shù). (3)對(duì)于復(fù)雜問題,可同時(shí)運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理或借助列表、畫圖的方法來幫助分析.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練某校選定甲、乙、丙、丁、戊共5名教師去3個(gè)邊遠(yuǎn)學(xué)校支教,每個(gè)學(xué)校至少1人,其中甲和乙必須在同一學(xué)校,甲和丙一定在不同學(xué)校,則不同的選派方案共有種.,答案,解析,思想方法分類討論在計(jì)數(shù)原理中的應(yīng)用 由于計(jì)數(shù)原理一個(gè)是分類加法計(jì)數(shù)原理,一個(gè)是分步乘法計(jì)數(shù)原理,所以分類討論的數(shù)學(xué)思想貫穿兩個(gè)原理應(yīng)用的始終.對(duì)于計(jì)數(shù)問題,有時(shí)正確的分類就是解決問題的切入點(diǎn),一般要考慮問題有幾種情況,即分類;考慮每種情況有幾個(gè)步驟,即分步.同時(shí)注意分類的全面與到位,不要出現(xiàn)重復(fù)或遺漏的現(xiàn)象.,【典例】 如圖所示,將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱上的兩端異色,如果只有5種顏色可供使用,求不同的染色方法總數(shù).,解:(方法一)可分為兩大步進(jìn)行,先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色,然后再分類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù),用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得出結(jié)論.由題設(shè),四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S,A,B所染的顏色互不相同,它們共有543=60(種)染色方法. 當(dāng)S,A,B染好時(shí),不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3,若C染2,則D可染3或4或5,有3種染法;若C染4,則D可染3或5,有2種染法;若C染5,則D可染3或4,有2種染法.可見,當(dāng)S,A,B已染好時(shí),C,D還有7種染法,故不同的染色方法有607=420(種).,(方法二)以S,A,B,C,D的順序分步染色. 第一步,點(diǎn)S染色,有5種方法; 第二步,點(diǎn)A染色,與S在同一條棱上,有4種方法; 第三步,點(diǎn)B染色,與S,A分別在同一條棱上,有3種方法; 第四步,點(diǎn)C染色,也有3種方法,但考慮到點(diǎn)D與S,A,C相鄰,需要針對(duì)A與C是否同色進(jìn)行分類,當(dāng)A與C同色時(shí),點(diǎn)D有3種染色方法;當(dāng)A與C不同色時(shí),因?yàn)镃與S,B也不同色,所以點(diǎn)C有2種染色方法,點(diǎn)D也有2種染色方法.由分步乘法、分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的染色方法共有543(13+22)=420(種).,(方法三)按所用顏色種數(shù)分類.,答題指導(dǎo)有些問題從不同的角度思考,就可以有不同的做法,可以先分類再分步,也可以先分步再分類.但無論哪一種,都要做到不重不漏.,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練用0,1,9十個(gè)數(shù)字,可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為() A.243B.252C.261D.279,答案,解析,高分策略1.分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎(chǔ),并貫穿其始終.(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中,完成一件事的方法屬于其中一類,并且只屬于其中一類.(2)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,各個(gè)步驟相互依存,步與步之間“相互獨(dú)立”. 2.利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn) (1)當(dāng)題目無從下手時(shí),可考慮要完成的這件事是什么,即怎樣做才算完成這件事,然后給出完成這件事的一種或幾種方法,從這幾種方法中歸納出解題方法; (2)分類時(shí),標(biāo)準(zhǔn)要明確,做到不重不漏,有時(shí)要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖,使問題的分析更直觀、清楚,便于探索規(guī)律; (3)對(duì)于復(fù)雜問題,一般是先分類再分步.,