9.1直線的方程,第九章平面解析幾何,NEIRONGSUOYIN,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,課時(shí)作業(yè),1,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),PART ONE,1.直線的傾斜角 (1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l 之間所成的角叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸 時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0. (2)范圍：直線l傾斜角的范圍是 . 2.斜率公式 (1)若直線l的傾斜角90，則斜率k . (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上且x1x2，則l的斜率k_.,知識(shí)梳理,ZHISHISHULI,向上方向,平行或重合,0，180),tan ,3.直線方程的五種形式,AxByC0 (A2B20),yy0k(xx0),ykxb,【概念方法微思考】,1.直線都有傾斜角，是不是都有斜率？?jī)A斜角越大，斜率k就越大嗎？,2.“截距”與“距離”有何區(qū)別？當(dāng)截距相等時(shí)應(yīng)注意什么？,提示“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù).應(yīng)注意過原點(diǎn)的特殊情況是否滿足題意.,基礎(chǔ)自測(cè),JICHUZICE,題組一思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置.() (2)若直線的斜率為tan ，則其傾斜角為.() (3)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等.() (4)經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.(),1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,題組二教材改編 2.P86T3若過點(diǎn)M(2，m)，N(m，4)的直線的斜率等于1，則m的值為 A.1 B.4 C.1或3 D.1或4,1,2,3,4,5,6,3.P100A組T9過點(diǎn)P(2，3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程 為 .,解析當(dāng)截距為0時(shí)，直線方程為3x2y0；,3x2y0或xy50,1,2,3,4,5,6,題組三易錯(cuò)自糾 4.直線x(a21)y10的傾斜角的取值范圍是,1,2,3,4,5,6,5.如果AC<0且BC<0，那么直線AxByC0不通過 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,故直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限.,6.過直線l：yx上的點(diǎn)P(2，2)作直線m，若直線l，m與x軸圍成的三角形的面積為2，則直線m的方程為 .,x2y20或x2,1,2,3,4,5,6,解析若直線m的斜率不存在，則直線m的方程為x2，直線m，直線l和x軸圍成的三角形的面積為2，符合題意； 若直線m的斜率k0，則直線m與x軸沒有交點(diǎn)，不符合題意；,1,2,3,4,5,6,綜上可知，直線m的方程為x2y20或x2.,2,題型分類深度剖析,PART TWO,題型一直線的傾斜角與斜率,例1(1)直線xsin y20的傾斜角的范圍是,解析設(shè)直線的傾斜角為，則有tan sin ，,師生共研,1.若將本例(2)中P(1，0)改為P(1，0)，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍.,2.若將本例(2)中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為(2，1)，其他條件不變，求直線l傾斜角的取值范圍.,解如圖，直線PA的傾斜角為45， 直線PB的傾斜角為135， 由圖象知l的傾斜角的范圍為0，45135，180).,(1)傾斜角與斜率k的關(guān)系,(2)斜率的兩種求法 定義法：若已知直線的傾斜角或的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)ktan 求斜率.,(3)傾斜角范圍與直線斜率范圍互求時(shí)，要充分利用ytan 的單調(diào)性.,跟蹤訓(xùn)練1(1)若平面內(nèi)三點(diǎn)A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a等于,解析平面內(nèi)三點(diǎn)A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，kABkAC，,(2)直線l經(jīng)過點(diǎn)A(3，1)，B(2，m2)(mR)兩點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是 .,所以ktan 1.,題型二求直線的方程,例2求適合下列條件的直線方程： (1)求經(jīng)過點(diǎn)A(5，2)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程；,師生共研,當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為ykx，則5k2，,故所求直線方程為2x5y0或x2y10.,又直線經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)，,即3x4y150.,(3)過點(diǎn)A(1，1)與已知直線l1：2xy60相交于B點(diǎn)且|AB|5.,解過點(diǎn)A(1，1)與y軸平行的直線為x1.,求得B點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)，此時(shí)|AB|5，即x1為所求. 設(shè)過A(1，1)且與y軸不平行的直線為y1k(x1)，,即3x4y10. 綜上可知，所求直線的方程為x1或3x4y10.,在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件.若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況.,跟蹤訓(xùn)練2根據(jù)所給條件求直線的方程：,解由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點(diǎn)斜式.,即x3y40或x3y40.,(2)經(jīng)過點(diǎn)P(4，1)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；,解設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a. 若a0，即l過(0，0)及(4，1)兩點(diǎn)，,l的方程為xy50. 綜上可知，直線l的方程為x4y0或xy50.,(3)直線過點(diǎn)(5，10)，到原點(diǎn)的距離為5.,解當(dāng)斜率不存在時(shí)，所求直線方程為x50； 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其為k， 則所求直線方程為y10k(x5)， 即kxy(105k)0.,故所求直線方程為3x4y250. 綜上可知，所求直線方程為x50或3x4y250.,題型三直線方程的綜合應(yīng)用,命題點(diǎn)1與基本不等式相結(jié)合求最值問題,例3已知直線l過點(diǎn)M(2，1)，且與x軸、y軸的正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求當(dāng) 取得最小值時(shí)直線l的方程.,多維探究,解設(shè)A(a，0)，B(0，b)，則a0，b0，,當(dāng)且僅當(dāng)ab3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為xy30.,命題點(diǎn)2由直線方程解決參數(shù)問題 例4已知直線l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，當(dāng)0<a<2時(shí)，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值.,解由題意知直線l1，l2恒過定點(diǎn)P(2，2)，直線l1在y軸上的截距為2a，直線l2在x軸上的截距為a22，,與直線方程有關(guān)問題的常見類型及解題策略 (1)求解與直線方程有關(guān)的最值問題.先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值. (2)求直線方程.弄清確定直線的兩個(gè)條件，由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程. (3)求參數(shù)值或范圍.注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解.,所以ab16，當(dāng)且僅當(dāng)a8，b2時(shí)等號(hào)成立，,跟蹤訓(xùn)練3過點(diǎn)P(4，1)作直線l分別交x軸，y軸的正半軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)當(dāng)AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程；,因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)P(4，1)，,(2)當(dāng)|OA|OB|取最小值時(shí)，求直線l的方程.,當(dāng)且僅當(dāng)a6，b3時(shí)等號(hào)成立，,3,課時(shí)作業(yè),PART THREE,基礎(chǔ)保分練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1.(2018浙江省東陽中學(xué)期中)下列四條直線中，傾斜角最大的是 A.yx1 B.y2x1 C.yx1 D.x1,解析直線方程yx1的斜率為1，傾斜角為45， 直線方程y2x1的斜率為2，傾斜角為(60<<90)， 直線方程yx1的斜率為1，傾斜角為135， 直線方程x1的斜率不存在，傾斜角為90. 所以直線yx1的傾斜角最大.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.過點(diǎn)(2，1)且傾斜角比直線yx1的傾斜角小 的直線方程是 A.x2 B.y1 C.x1 D.y2,斜率不存在，過點(diǎn)(2，1)的直線方程為x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.150 B.135 C.120 D.不存在,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,顯然直線l的斜率存在， 設(shè)過點(diǎn)P(2，0)的直線l為yk(x2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,故直線l的傾斜角為150.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.(2018舟山調(diào)研)在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：axyb0和直線l2：bxya0有可能是,解析當(dāng)a0，b0時(shí)，a<0，b<0.選項(xiàng)B符合.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.直線MN的斜率為2，其中點(diǎn)N(1，1)，點(diǎn)M在直線yx1上，則 A.M(5，7) B.M(4，5) C.M(2，1) D.M(2，3),解析設(shè)M的坐標(biāo)為(a，b)，若點(diǎn)M在直線yx1上， 則有ba1.,聯(lián)立可得a4，b5， 即M的坐標(biāo)為(4，5).故選B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.已知兩點(diǎn)M(2，3)，N(3，2)，直線l過點(diǎn)P(1，1)且與線段MN相交，則直線l的斜率k的取值范圍是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析如圖所示，,要使直線l與線段MN相交， 當(dāng)l的傾斜角小于90時(shí)，kkPN； 當(dāng)l的傾斜角大于90時(shí)，kkPM，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.不論實(shí)數(shù)m為何值，直線mxy2m10恒過定點(diǎn) .,解析直線mxy2m10可化為m(x2)(y1)0， mR，,(2，1),直線mxy2m10恒過定點(diǎn)(2，1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(5，0)，B(3，3)，C(0，2)，則BC邊上中線所在的直線方程為 .,x13y50,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.經(jīng)過點(diǎn)A(4，2)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的3倍的直線l的方程的一般式為 .,解析當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為ykx，則4k2，,x3y100或x2y0,綜上，直線l的一般式方程為x3y100或x2y0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.如圖，射線OA，OB分別與x軸正半軸成45和30角，過點(diǎn)P(1，0)作直線AB分別交OA，OB于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在直線y x上時(shí)，求直線AB的方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.已知直線l：kxy12k0(kR). (1)證明：直線l過定點(diǎn)；,證明直線l的方程可化為yk(x2)1， 故無論k取何值，直線l總過定點(diǎn)(2，1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；,解直線l的方程可化為ykx2k1， 則直線l在y軸上的截距為2k1， 要使直線l不經(jīng)過第四象限，,故k的取值范圍是k0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)AOB的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線l的方程.,在y軸上的截距為12k，且k0，,故S的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為x2y40.,技能提升練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.過點(diǎn)A(3，1)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有 A.1條 B.2條 C.3條 D.4條,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析當(dāng)所求的直線與兩坐標(biāo)軸的截距都不為0時(shí)， 設(shè)該直線的方程為xya， 把(3，1)代入所設(shè)的方程得a2， 則所求直線的方程為xy2，即xy20； 當(dāng)所求的直線與兩坐標(biāo)軸的截距為0時(shí)， 設(shè)該直線的方程為ykx，,綜上，所求直線的方程為xy20或x3y0，故選B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.設(shè)點(diǎn)A(2，3)，B(3，2)，若直線axy20與線段AB沒有交點(diǎn)，則a的取值范圍是,解析直線axy20恒過點(diǎn)M(0，2)，且斜率為a，,拓展沖刺練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解動(dòng)直線l0：axbyc30(a0，c0)恒過點(diǎn)P(1，m)， abmc30. 又Q(4，0)到動(dòng)直線l0的最大距離為3，,當(dāng)且僅當(dāng)c2a2時(shí)取等號(hào).,