,第三章 兩體問題,3.1 兩體問題化為單粒子問題,這樣，兩體問題分解為兩個(gè)單粒子問題。,3.2 有心力場(chǎng)中單粒子的運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)方程,運(yùn)動(dòng)定性討論,討論粒子在吸引勢(shì) U = - a / r3中的運(yùn)動(dòng)情況,解：粒子的有效勢(shì)能：Ueff = L2 / 2mr2 - a / r3 曲線漸近行為 r ， Ueff 0； r 0， Ueff - 。 (2)曲線零點(diǎn)： Ueff = 0r = ro = 2ma/L2 (3)曲線極值： dUeff / dr = 0 r = rm = 3ma/L2 (Ueff )max = L6 / 54 m3 a2,3.3 與距離成反比的有心力場(chǎng),吸引勢(shì)：U(r) = - a / r 有效勢(shì)能：Ueff = L2 / 2mr2 - a / r r 0 ，Ueff + ； r ， Ueff 0。 (2)曲線極值：dUeff / dr = 0 r = rm = L2 / ma (Ueff )min = m a2 / 2L2 (3)曲線零點(diǎn)： Ueff = 0r = ro = L2 / 2ma,比耐公式軌道方程,比耐公式軌道方程,例：已知引力作用 F(r) = - GMm / r2 ro ， 求運(yùn)行軌跡。 解：比耐公式 h2 u2 (d2u /d2 + u ) = GM/r2 = GMu2 d2u /d2 + u = / h2 (= GM ) 軌跡方程: u = 1 / r = C1 cos+ C2 sin+ / h2 齊次解 非齊次解 取近日點(diǎn)( r 極小值)的為零. r 極小值條件: dr/d= 0 , d2r /d2 0 . d(1/u)/d= - (1/u2) du/d=0 = (1/u2) ( C1 sin- C2 cos)=0 = 0 C2 = 0 r = ( C1 cos + / h2 ) -1 = p /( 1+ e cos),r = p /( 1+ e cos) 其中 p = h2 /(正焦弦長度一半), e = C1 h2 /(偏心率)。 這是一原點(diǎn)在焦點(diǎn)上的圓錐曲線，力心位于焦點(diǎn)上。,e 1 雙曲線,拋物線,雙曲線,橢圓,補(bǔ)充作業(yè): 求 e 與能量 E 的關(guān)系， 即證明： 并討論 E 與圓錐曲線型的關(guān)系.,3.4 有心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)軌道的穩(wěn)定性,軌道閉合與軌道穩(wěn)定 軌道穩(wěn)定的含義: 由于初始條件的微小變化或勢(shì)場(chǎng)本身的擾動(dòng)，使粒子偏離原軌道ro變?yōu)?r 。若r 始終保持在ro附近作小振動(dòng)，則稱此種軌道是穩(wěn)定的；反之，若隨著時(shí)間增加，r 偏離ro 越來越大，則稱此種軌道是不穩(wěn)定的。,3.4 有心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)軌道的穩(wěn)定性,設(shè)粒子在勢(shì)場(chǎng)U(Z)中的軌道為 u = uo， 軌道偏離： u = uo + （ 為小量）,3.4 有心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)軌道的穩(wěn)定性,若A=0， 隨 ( 從而隨 t ) 線性增加； 若A<0， 隨 t 線性增加。,軌道 不穩(wěn)定,若A 0， 作簡諧振動(dòng)，軌道穩(wěn)定。,軌道穩(wěn)定條件：,討 論,U = a / r，A = 1 0，軌道穩(wěn)定。 U = - a / r3， A = 1 6ma / r L2 = 1 - 3 rm / r 軌道穩(wěn)定條件 A 0 變?yōu)?r 3 rm (3) U = k r2，A = 1 + 6mk r4 / L2 0 軌道永遠(yuǎn)穩(wěn)定條件。 圓形軌道穩(wěn)定性條件為：(Ueff = L2 / 2mr2 + U) dUeff /dr = 0， dUeff /dr 0 3 dU/dr + d2U/dr2 0 或 - 3 F - dF/dr 0,3.6 粒子散射問題 設(shè)有心力場(chǎng)的力心在 O 點(diǎn)，由于有心力場(chǎng)對(duì)力心是中心對(duì)稱的，所以軌道對(duì)OA是軸對(duì)稱的。設(shè)無窮遠(yuǎn)處質(zhì)點(diǎn)速率為 v ，瞄準(zhǔn)距離為。,散射要考慮一束速度相同的全同粒子群。假設(shè)粒子束在其截面內(nèi)密度均勻，而各個(gè)粒子有不同的瞄準(zhǔn)距離，相應(yīng)有不同的散射角 。,假定 n 為單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于束的單位截面積的粒子數(shù)，單位時(shí)間內(nèi)落入散射角到+d內(nèi)的粒子數(shù)為 dN ，則定義散射的有效截面為 d= dN/n ， dN個(gè)粒子可能來自() 到() + d() 區(qū)間內(nèi)的粒子。,假定 n 為單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于束的單位截面積的粒子數(shù)，單位時(shí)間內(nèi)落入散射角到+d內(nèi)的粒子數(shù)為 dN ，則定義散射的有效截面為 d= dN/n ， dN個(gè)粒子可能來自() 到()+ d() 區(qū)間內(nèi)的粒子，即 dN = 2nd，所以 d= 2d = 2d/ dd 到+ d對(duì)應(yīng)的立體角為 d=2sind 因而 d=(/sin)d/ dd,試求粒子在半徑為 a 的剛性上散射的有效截面,例：盧瑟福公式的推導(dǎo)，即帶電粒子在 U(r) = a / r 場(chǎng)中散射的有效截面。,