第2課時一元二次不等式及其解法(二),第三章 3.3一元二次不等式及其解法,學習目標,XUEXIMUBIAO,1.會解可化為一元二次不等式(組)的簡單分式不等式. 2.會對含參數(shù)的一元二次不等式分類討論. 3.掌握與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題的解法.,NEIRONGSUOYIN,內(nèi)容索引,自主學習,題型探究,達標檢測,1,自主學習,PART ONE,知識點一分式不等式的解法 一般的分式不等式的同解變形法則：,f(x)g(x)0,f(x)g(x)0,g(x)0,知識點二一元二次不等式恒成立問題 一般地，“不等式 f (x)0在區(qū)間a，b上恒成立”的幾何意義是函數(shù) yf (x) 在區(qū)間a，b上的圖象全部在 x 軸_方.區(qū)間a，b是不等式 f (x)0的解集的_. 恒成立的不等式問題通常轉(zhuǎn)化為求最值問題，即： kf (x)恒成立k_； kf (x)恒成立k_.,上,子集,f (x)max,f (x)min,知識點三含參數(shù)的一元二次不等式的解法 解含參數(shù)的一元二次不等式，仍可按以前的步驟，即第一步先處理二次項系數(shù)，第二步通過分解因式或求判別式來確定一元二次方程有沒有根，第三步若有根，區(qū)分根的大小寫出解集，若無根，結(jié)合圖象確定解集是R還是. 在此過程中，因為參數(shù)的存在導致二次函數(shù)開口方向、判別式正負、兩根大小不確定時，為了確定展開討論.,2.x212x等價于(x21)min2x.(),思考辨析 判斷正誤,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,題型探究,PART TWO,題型一分式不等式的解法,例1解下列不等式：,跟蹤訓練1解下列不等式：,題型二不等式恒成立問題,例2設(shè)函數(shù) f (x)mx2mx1. (1)若對于一切實數(shù) x，f (x)<0恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍；,解要使mx2mx1<0恒成立， 若m0，顯然1<0，滿足題意；,即4<m<0.4<m0.,(2)對于x1,3，f (x)<m5恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍.,解方法一要使 f(x)<m5在x1,3上恒成立，,當m0時，g(x)在1，3上是增函數(shù)，,當m0時，6<0恒成立； 當m<0時，g(x)在1,3上是減函數(shù)， g(x)maxg(1)m6<0，得m<6，m<0.,方法二當x1,3時，f(x)<m5恒成立， 即當x1,3時，m(x2x1)6<0恒成立.,引申探究 把例2(2)改為：對于任意m1,3，f(x)<m5恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.,解f(x)<m5，即mx2mx1<m5，m(x2x1)6<0. 設(shè) g(m)m(x2x1)6. 則g(m)是關(guān)于m的一次函數(shù)且斜率,g(m)在1,3上為增函數(shù)， 要使g(m)<0在1,3上恒成立，只需g(m)maxg(3)<0， 即3(x2x1)6<0，x2x1<0，,反思感悟有關(guān)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，通常處理方法有兩種 (1)考慮能否進行參變量分離，若能，則構(gòu)造關(guān)于變量的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大(小)值，從而建立參變量的不等式. (2)若參變量不能分離，則應構(gòu)造關(guān)于變量的函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，并結(jié)合圖象建立參變量的不等式求解. (3)若已知參數(shù)的取值范圍，求x的取值范圍，通常用變換變元的方法解答.,跟蹤訓練2當x(1，2)時，不等式x2mx4<0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_.,解析構(gòu)造函數(shù) f(x)x2mx4，x1,2， 則 f(x)在1,2上的最大值為 f (1)或 f (2). 由于當 x(1,2)時，不等式 x2mx4<0恒成立.,(,5,題型三含參數(shù)的一元二次不等式,例3解關(guān)于x的不等式ax2(a1)x1<0.,當a0時，不等式可化為x1<0，解集為x|x1.,當a1時，不等式的解集為.,當a0時，解集為x|x1；,當a1時，解集為；,反思感悟解含參數(shù)的不等式，可以按常規(guī)思路進行：先考慮開口方向，再考慮判別式的正負，最后考慮兩根的大小關(guān)系，當遇到不確定因素時再討論.,跟蹤訓練3解關(guān)于x的不等式(xa)(xa2)<0.,解當a<0或a1時，有a<a2，此時，不等式的解集為x|a<x<a2； 當0<a<1時，有a2<a，此時，不等式的解集為x|a2<x<a； 當a0或a1時，原不等式無解. 綜上，當a<0或a1時，原不等式的解集為x|a<x<a2； 當0<a<1時，原不等式的解集為x|a2<x<a； 當a0或a1時，解集為.,觀察下列不等式解集與圖象的關(guān)系.猜想第三個不等式的解集.,穿針引線解高次不等式,核心素養(yǎng)之邏輯推理,HEXINSUYANGZHILUOJITUILI,對于函數(shù)f(x)(xx1)(xx2)(xx3)(xxn)， 不妨設(shè)x1x2x3xn. 其圖象有兩個特點： 當xxn時，xx10，xx20，xxn0，f(x)0.該區(qū)間內(nèi)f(x)圖象在 x 軸上方. 從x軸右上方開始，f(x)的圖象每穿過一個零點，就從x軸一側(cè)到另一側(cè)變化一次. 根據(jù)這個原理，只要畫出 f(x)示意圖(穿針引線)，即可得到 f(x)0(或 f(x)0)的解集.如第三個不等式解集為(0，1)(2，).在此過程中，y軸可省略不畫. 注意對于奇數(shù)次根穿而過，偶數(shù)次根穿而不過.,解集為(1,0)(1，).,穿針引線：,素養(yǎng)評析穿針引線法的發(fā)現(xiàn)歸功于從簡單到復雜，從具體到一般的觀察，發(fā)現(xiàn)問題，提出命題，這就是邏輯推理素養(yǎng)中的歸納.,3,達標檢測,PART THREE,1,2,3,4,1.若不等式x2mx10的解集為R，則實數(shù)m的取值范圍是 A.m2 B.m2 C.m2或m2 D.2m2,解析由題意，得m240， 2m2.,5,1,2,3,4,A.1，2 B.(，12，) C.1，2) D.(，1(2，),5,x2或x1.,1,2,3,4,5,A.(，1)(1，2 B.1，2 C.(，2 D.(1，2,故1x2.,1,2,3,4,4.若不等式x2xk0在區(qū)間1，1上恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是_.,解析x2xk0，即k(x2x)在區(qū)間1，1上恒成立， 即k(x2x)min. 當x1時，(x2x)min2.k2.,5,(，2),1,2,3,4,5.解關(guān)于 x 的不等式：x2(1a)xa<0.,5,解方程x2(1a)xa0的解為x11，x2a. 因為函數(shù)yx2(1a)xa的圖象開口向上，所以 當a1時，原不等式的解集為x|1<x<a.,課堂小結(jié),KETANGXIAOJIE,1.解分式不等式時，一定要等價變形為一邊為零的形式，再化歸為一元二次不等式(組)求解.當不等式含有等號時，分母不為零. 2.對于某些恒成立問題，分離參數(shù)是一種行之有效的方法.這是因為將參數(shù)分離后，問題往往會轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而得以迅速解決.當然，這必須以參數(shù)容易分離作為前提.分離參數(shù)時，經(jīng)常要用到以下簡單結(jié)論(1)若f(x)有最大值f(x)max，則af(x)恒成立af(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，則a<f(x)恒成立a<f(x)min.,3.含參數(shù)的一元二次型的不等式 在解含參數(shù)的一元二次型的不等式時，往往要對參數(shù)進行分類討論，為了做到分類“不重不漏”，討論需從如下三個方面進行考慮 (1)關(guān)于不等式類型的討論：二次項系數(shù)a0，a0)，兩相等實根(0)，無根(x2，x1x2，x1<x2.,