第2課時(shí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì),第二章 2.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,學(xué)習(xí)目標(biāo),XUEXIMUBIAO,1.會利用等差數(shù)列性質(zhì)簡化求和運(yùn)算. 2.會利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特征求最值.,NEIRONGSUOYIN,內(nèi)容索引,自主學(xué)習(xí),題型探究,達(dá)標(biāo)檢測,1,自主學(xué)習(xí),PART ONE,知識點(diǎn)一等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的性質(zhì),思考若an是公差為d的等差數(shù)列，那么a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9是否也是等差數(shù)列？如果是，公差是多少？,答案(a4a5a6)(a1a2a3)(a4a1)(a5a2)(a6a3) 3d3d3d9d， (a7a8a9)(a4a5a6)(a7a4)(a8a5)(a9a6)3d3d3d9d. a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9是公差為9d的等差數(shù)列.,知識點(diǎn)二等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征,二次,最大,2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 (1)在等差數(shù)列an中，,最大,最小,最小,1.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和一定是常數(shù)項(xiàng)為0的關(guān)于n的二次函數(shù).() 2.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和SnAn2bn.即an的公差為2A.(),思考辨析 判斷正誤,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,4.數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn21，則an不是等差數(shù)列.(),2,題型探究,PART TWO,即S3m3(S2mSm)3(10030)210.,題型一等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用,例1(1)等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，求數(shù)列an的前3m項(xiàng)的和S3m；,解方法一在等差數(shù)列中， Sm，S2mSm，S3mS2m成等差數(shù)列， 30，70，S3m100成等差數(shù)列. 27030(S3m100)，S3m210.,反思感悟等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的有關(guān)性質(zhì)在解題過程中，如果運(yùn)用得當(dāng)可以達(dá)到化繁為簡、化難為易、事半功倍的效果.,跟蹤訓(xùn)練1一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為100，前100項(xiàng)和為10，求前110項(xiàng)之和.,解設(shè)Snan2bn. S10100，S10010，,題型二求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題,例2在等差數(shù)列an中，若a125，且S9S17，求Sn的最大值.,解方法一S9S17，a125，,解得d2.,(n13)2169. 當(dāng)n13時(shí)，Sn有最大值169. 方法二同方法一，求出公差d2. an25(n1)(2)2n27. a1250，,又nN，當(dāng)n13時(shí)，Sn有最大值169. 方法三同方法一，求出公差d2.S9S17， a10a11a170. 由等差數(shù)列的性質(zhì)得a13a140.a130，a14<0. 當(dāng)n13時(shí)，Sn有最大值169.,方法四同方法一，求出公差d2.設(shè)SnAn2Bn. S9S17，,二次函數(shù)f(x)Ax2Bx的對稱軸為x 13，且開口方向向下，,當(dāng)n13時(shí)，Sn取得最大值169.,反思感悟(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最大(小)值的情形： 若a10，d0，則Sn存在最小值，即所有非正項(xiàng)之和. (2)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的方法 尋找正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，可利用等差數(shù)列性質(zhì)或利用,運(yùn)用二次函數(shù)求最值.,跟蹤訓(xùn)練2已知等差數(shù)列an中，a19，a4a70. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；,解由a19，a4a70， 得a13da16d0，解得d2， ana1(n1)d112n(nN).,(2)當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列an的前n項(xiàng)和取得最大值？,解方法一由(1)知，a19，d2，,當(dāng)n5時(shí)，Sn取得最大值. 方法二由(1)知，a19，d2<0，an是遞減數(shù)列.,nN，n5時(shí)，an0，n6時(shí)，an<0. 當(dāng)n5時(shí)，Sn取得最大值.,題型三求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和,例3若等差數(shù)列an的首項(xiàng)a113，d4，記Tn|a1|a2|an|，求Tn.,解a113，d4，an174n. 當(dāng)n4時(shí)，Tn|a1|a2|an|a1a2an,當(dāng)n5時(shí)，Tn|a1|a2|an| (a1a2a3a4)(a5a6an) S4(SnS4)2S4Sn,反思感悟等差數(shù)列的各項(xiàng)取絕對值后組成數(shù)列|an|.若原等差數(shù)列an中既有正項(xiàng)，也有負(fù)項(xiàng)，那么|an|不再是等差數(shù)列，求和關(guān)鍵是找到數(shù)列an的正負(fù)項(xiàng)分界點(diǎn)處的n值，再分段求和.,跟蹤訓(xùn)練3已知等差數(shù)列an中，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S216，S424，求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Tn.,解設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，,所以等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an112n(nN).,當(dāng)n5時(shí)，Tn|a1|a2|an|a1a2anSnn210n. 當(dāng)n6時(shí)，Tn|a1|a2|an| a1a2a5a6a7an2S5Sn 2(52105)(n210n) n210n50，,核心素養(yǎng)之直觀想象,HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG,用數(shù)形結(jié)合思想求解數(shù)列中的參數(shù)問題,典例在等差數(shù)列an中，a17，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n8時(shí) Sn取得最大值，則d的取值范圍為_.,解析方法一由當(dāng)且僅當(dāng)n8時(shí)Sn最大，知a80且a90，,3,達(dá)標(biāo)檢測,PART THREE,1,2,3,4,5,1.設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a23，a611，則S7等于 A.13 B.35 C.49 D.63,1,2,3,4,5,2.若等差數(shù)列an的前5項(xiàng)和S525，且a23，則a7等于 A.12 B.13 C.14 D.15,解析S55a325，a35，da3a2532， a7a25d31013.故選B.,1,2,3,4,5,3.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S39，S636，則a7a8a9等于 A.63 B.45 C.36 D.27,解析a7a8a9S9S6， 而由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，S3，S6S3，S9S6構(gòu)成等差數(shù)列， 所以S3(S9S6)2(S6S3)， 即a7a8a9S9S62S63S32363945.,1,2,3,4,5,4.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，7a55a90，且a9a5，則Sn取得最小值時(shí)n的值為 A.5 B.6 C.7 D.8,解析由7a55a90，即7a128d5a140d0，,又a9a5，所以d0，a1<0.,取最接近的整數(shù)6，故Sn取得最小值時(shí)n的值為6.,1,2,3,4,5,5.若等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn2n23n，pq5，則apaq_.,20,apaq(pq)d5420.,課堂小結(jié),KETANGXIAOJIE,1.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，有下面幾種常見變形,3.求等差數(shù)列an前n項(xiàng)的絕對值之和，關(guān)鍵是找到數(shù)列an的正負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn).,2.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的方法 (1)二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)的最值方法來求其前n項(xiàng)和的最值，但要注意nN，結(jié)合二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值，更加直觀.,