5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,1.向量的有關(guān)概念,大小,方向,長(zhǎng)度,模,0,1個(gè)單位,相同 相反,方向相同或相反,平行,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,相等,相同,相等,相反,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,2.向量的線性運(yùn)算,b+a,a+(b+c),知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,|a|,相同,相反,a,a+a,a+b,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,3.向量共線定理 (1)向量b與a(a0)共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù),使得. 注:限定a0的目的是保證實(shí)數(shù)的存在性和唯一性. (2)變形形式:已知直線l上三點(diǎn)A,B,P,O為直線l外任一點(diǎn),有且只有一個(gè)實(shí)數(shù),使得,b=a,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,2.四邊形ABCD中, ,則四邊形ABCD是() A.平行四邊形B.菱形 C.矩形D.正方形,C,解析:由于 ,故四邊形是平行四邊形.根據(jù)向量加法和減法的幾何意義可知,該平行四邊形的對(duì)角線相等,故為矩形.,3.已知 ,且四邊形ABCD為平行四邊形,則() A.a-b+c-d=0B.a-b+c+d=0 C.a+b-c-d=0D.a+b+c+d=0,A,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,A,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,5.設(shè)向量a,b不平行,向量a+b與a+2b平行,則實(shí)數(shù)=.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,平面向量的有關(guān)概念 例1(1)對(duì)于非零向量a,b,“a+b=0”是“ab”的 () A.充分不必要條件B.必要不充分條件 C.充要條件D.既不充分也不必要條件 (2)給出下列命題: 若|a|=|b|,則a=b或a=-b;若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),則“ ”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件;若兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同;a=b的充要條件是|a|=|b|,且ab. 其中真命題的序號(hào)是.,A,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,解析: (1)若a+b=0,則a=-b, 所以ab. 若ab,則a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要條件. (2)不正確.兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等,方向可以是任意的;,又A,B,C,D是不共線的四點(diǎn), 四邊形ABCD為平行四邊形. 反之,若四邊形ABCD為平行四邊形,不正確.相等向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)可以都不同; 不正確.當(dāng)ab且方向相反時(shí),即使|a|=|b|,也不能得到a=b. 綜上所述,真命題的序號(hào)是.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,思考學(xué)習(xí)了向量的概念后,你對(duì)向量有怎樣的認(rèn)識(shí)? 解題心得對(duì)于向量的概念應(yīng)注意以下幾條: (1)向量的兩個(gè)特征為大小和方向.向量既可以用有向線段和字母表示,也可以用坐標(biāo)表示. (2)相等向量不僅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量未必是相等向量. (3)向量與數(shù)量不同,數(shù)量可以比較大小,向量則不能,所以向量只有相等與不相等,不可以比較大小.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1給出下列6個(gè)命題: 若|a|=|b|,則a=b或a=-b; 若 ,則ABCD為平行四邊形; 若a與b同向,且|a|b|,則ab; ,為實(shí)數(shù),若a=b,則a與b共線; a=0(為實(shí)數(shù)),則必為零; a,b為非零向量,a=b的充要條件是|a|=|b|且ab. 其中假命題的序號(hào)為 .,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,解析:不正確.|a|=|b|.但a,b的方向不確定,故a,b不一定是相等或相反向量; 不正確.因?yàn)?,A,B,C,D可能在同一直線上,所以ABCD不一定是四邊形. 不正確.兩向量不能比較大小. 不正確.當(dāng)=0時(shí),a與b可以為任意向量,滿足a=b,但a與b不一定共線. 不正確.當(dāng)=1,a=0時(shí),a=0. 不正確.對(duì)于非零向量a,b,a=b的充要條件是|a|=|b|且a,b同向.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,平面向量的線性運(yùn)算,D,D,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,思考在幾何圖形中,用已知向量表示未知向量的一般思路是什么?向量的線性運(yùn)算與代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算有怎樣的聯(lián)系? 解題心得1.進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí),要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線及相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì),把未知向量用已知向量表示出來. 2.向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算,實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形方法在向量的線性運(yùn)算中同樣適用.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,A,D,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,向量共線定理及其應(yīng)用,B,B,D,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,思考如何用向量的方法證明三點(diǎn)共線? 解題心得1.證明三點(diǎn)共線問題,可用向量共線解決,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線. 2.向量a,b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)1,2,使1a+2b=0成立;若1a+2b=0當(dāng)且僅當(dāng)1=2=0時(shí)成立,則向量a,b不共線.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,A,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,1.平面向量的重要結(jié)論: (1)若存在非零實(shí)數(shù),使得 ,則A,B,C三點(diǎn)共線. (2)相等向量具有傳遞性,非零向量的平行具有傳遞性. (3)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量. 2.a與b共線b=a(a0,為實(shí)數(shù)). 3.向量的線性運(yùn)算要滿足三角形法則和平行四邊形法則,做題時(shí),要注意三角形法則與平行四邊形法則的要素.向量加法的三角形法則要素是“首尾相接,指向終點(diǎn)”;向量減法的三角形法則要素是“起點(diǎn)重合,指向被減向量的終點(diǎn)”;平行四邊形法則要素是“起點(diǎn)重合”.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,1.若兩個(gè)向量起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同,則這兩個(gè)向量相等;但兩個(gè)相等向量不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn). 2.零向量和單位向量是兩個(gè)特殊的向量.它們的模確定,但方向不確定. 3.注意區(qū)分向量共線與向量所在的直線平行之間的關(guān)系.向量 是共線向量,但A,B,C,D四點(diǎn)不一定在同一條直線上. 4.在向量共線的充要條件中要注意“a0”,否則可能不存在,也可能有無數(shù)個(gè).,典例(1)下列命題正確的是.(填序號(hào)) 向量a,b共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù),使b=a; 在ABC中, 不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|中兩個(gè)等號(hào)不可能同時(shí)成立; 只有方向相同或相反的向量是平行向量; 若向量a,b不共線,則向量a+b與向量a-b必不共線. (2)下列敘述錯(cuò)誤的是. 若非零向量a與b的方向相同或相反,則a+b與a,b其中之一的方向相同; |a|+|b|=|a+b|a與b的方向相同;,若a=b,則a=b.,易錯(cuò)警示都是零向量“惹的禍”,解析:(1)易知錯(cuò)誤.,反思提升在向量的有關(guān)概念中,定義長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量,其方向是任意的,并且規(guī)定:0與任一向量平行.由于零向量的特殊性,在兩個(gè)向量共線或平行問題上,如果不考慮零向量,那么往往會(huì)得到錯(cuò)誤的判斷或結(jié)論.在向量的運(yùn)算中,很多學(xué)生也往往忽視0與0的區(qū)別,導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤.,