第2節(jié)排列與組合,考試要求1.理解排列、組合的概念；2.能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.,知 識 梳 理,1.排列與組合的概念,一定的順序,2.排列數(shù)與組合數(shù) (1)從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有_的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù). (2)從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有_的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù).,不同排列,不同組合,3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì),n(n1)(n2)(nm1),1,n！,微點提醒,1.解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時標準應統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復或遺漏. 2.對于分配問題，一般先分組，再分配，注意平均分組與不平均分組的區(qū)別，避免重復或遺漏.,基 礎 自 測,1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“”或“”),(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.() (2)一個組合中取出的元素講究元素的先后順序.(),答案(1)(2)(3)(4)(5),2.(選修23P18例3改編)從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學，每人各1本，則不同的送法種數(shù)是() A.12 B.24 C.64 D.81,答案B,答案210,4.(2019濟寧質(zhì)檢)6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為() A.144 B.120 C.72 D.24,答案D,5.(一題多解)(2018全國卷)從2位女生、4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_種(用數(shù)字作答).,答案16,6.(2018浙江卷)從1，3，5，7，9中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個數(shù)字，一共可以組成_個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)(用數(shù)字作答).,答案1 260,考點一排列問題,【例1】 有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù). (1)選5人排成一排； (2)排成前后兩排，前排3人，后排4人； (3)全體排成一排，女生必須站在一起； (4)全體排成一排，男生互不相鄰； (5)(一題多解)全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊； (6)(一題多解)全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊.,規(guī)律方法排列應用問題的分類與解法 (1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法. (2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.,【訓練1】 (2019天津和平區(qū)二模)7人站成兩排隊列，前排3人，后排4人，現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對位置不變，則不同的加入方法種數(shù)為() A.120 B.240 C.360 D.480,解析第一步，從甲、乙、丙三人選一個加到前排，有3種，第二步，前排3人形成了4個空，任選一個空加一人，有4種，第三步，后排4人形成了5個空，任選一個空加一人有5種，此時形成6個空，任選一個空加一人，有6種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有3456360種方法. 答案C,考點二組合問題 【例2】 某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種. (1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？ (5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？,規(guī)律方法組合問題常有以下兩類題型變化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取. (2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理.,【訓練2】 (1)(一題多解)某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為() A.14 B.24 C.28 D.48 (2)(2019杭州二模)若從1，2，3，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有() A.60種 B.63種 C.65種 D.66種,答案(1)A(2)D,考點三分組、分配問題 【例3】 (1)國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應的地區(qū)任教，現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學校去任教，有_種不同的分派方法. (2)(2019西安月考)某學校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠地區(qū)的三所中學進行教學交流，每所中學至少派一名教師，則不同的分配方法有() A.80種 B.90種 C.120種 D.150種 (3)A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌上開會，A是會議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的坐法有() A.24種 B.30種 C.48種 D.60種,答案(1)90 (2)D (3)C,【訓練3】 (1)(2017全國卷)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有() A.12種 B.18種 C.24種 D.36種 (2)在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎.將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有_種(用數(shù)字作答).,答案(1)D(2)60,思維升華 1.對于有附加條件的排列、組合應用題，通常從三個途徑考慮 (1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素. (2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置. (3)先不考慮附加條件，計算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù). 2.排列、組合問題的求解方法與技巧 (1)特殊元素優(yōu)先安排；(2)合理分類與準確分步；(3)排列、組合混合問題先選后排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題倍除法處理；(7)分排問題直排處理；(8)“小集團”排列問題先整體后局部；(9)構(gòu)造模型；(10)正難則反，等價條件.,易錯防范 1.區(qū)分一個問題屬于排列問題還是組合問題，關鍵在于是否與順序有關.如果與順序有關，則是排列；如果與順序無關，則是組合. 2.解組合應用題時，應注意“至少”、“至多”、“恰好”等詞的含義.,