第4課時導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點,考點一判斷零點的個數(shù),【例1】 (2019合肥質(zhì)檢)已知二次函數(shù)f(x)的最小值為4，且關(guān)于x的不等式f(x)0的解集為x|1x3，xR. (1)求函數(shù)f(x)的解析式；,解(1)f(x)是二次函數(shù)，且關(guān)于x的不等式f(x)0的解集為x|1x3，xR， 設(shè)f(x)a(x1)(x3)ax22ax3a，且a0. f(x)minf(1)4a4，a1. 故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)x22x3.,令g(x)0，得x11，x23.,當x變化時，g(x)，g(x)的取值變化情況如下表：,當0<x3時，g(x)g(1)4<0，,又因為g(x)在(3，)上單調(diào)遞增， 因而g(x)在(3，)上只有1個零點， 故g(x)僅有1個零點.,規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點或方程根個數(shù)的常用方法 (1)構(gòu)建函數(shù)g(x)(要求g(x)易求，g(x)0可解)，轉(zhuǎn)化確定g(x)的零點個數(shù)問題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點的個數(shù). (2)利用零點存在性定理：先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點值符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù).,(1)證明：函數(shù)h(x)f(x)g(x)在區(qū)間(1，2)上有零點； (2)求方程f(x)g(x)的根的個數(shù)，并說明理由.,所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(1，2)上有零點.,而h(0)0，則x0為h(x)的一個零點. 又h(x)在(1，2)內(nèi)有零點，,因此h(x)在0，)上至少有兩個零點.,當x(0，)時，(x)0，因此(x)在(0，)上單調(diào)遞增， 易知(x)在(0，)內(nèi)至多有一個零點， 即h(x)在0，)內(nèi)至多有兩個零點， 則h(x)在0，)上有且只有兩個零點， 所以方程f(x)g(x)的根的個數(shù)為2.,考點二已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍 【例2】 函數(shù)f(x)axxln x在x1處取得極值.,(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若yf(x)m1在定義域內(nèi)有兩個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍.,解(1)函數(shù)f(x)axxln x的定義域為(0，). f(x)aln x1，因為f(1)a10，解得a1， 當a1時，f(x)xxln x，即f(x)ln x，令f(x)0，解得x1； 令f(x)<0，解得0<x<1. 所以f(x)在x1處取得極小值，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1).,(2)yf(x)m1在(0，)內(nèi)有兩個不同的零點，可轉(zhuǎn)化為yf(x)與ym1圖象有兩個不同的交點. 由(1)知，f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)1，,由題意得，m11， 即m2， 當0e時，f(x)0. 當x0且x0時，f(x)0； 當x時，顯然f(x). 由圖象可知，m1<0，即m<1， 由可得2<m<1. 所以m的取值范圍是(2，1).,規(guī)律方法與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，并結(jié)合特殊點，從而判斷函數(shù)的大致圖象，討論其圖象與x軸的位置關(guān)系，進而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對方程等價變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題.,解(1)由題意知，函數(shù)f(x)的定義域為R， 又f(0)1a2，得a1， 所以f(x)exx1，求導(dǎo)得f(x)ex1. 易知f(x)在2，0上單調(diào)遞減，在0，1上單調(diào)遞增， 所以當x0時，f(x)在2，1上取得最小值2.,(2)由(1)知f(x)exa，由于ex0， 當a0時，f(x)0，f(x)在R上是增函數(shù)， 當x1時，f(x)exa(x1)0；,【訓練2】 已知函數(shù)f(x)exaxa(aR且a0).,(1)若f(0)2，求實數(shù)a的值，并求此時f(x)在2，1上的最小值； (2)若函數(shù)f(x)不存在零點，求實數(shù)a的取值范圍.,所以函數(shù)f(x)存在零點，不滿足題意. 當a0，f(x)單調(diào)遞增， 所以當xln(a)時，f(x)取最小值. 函數(shù)f(x)不存在零點，等價于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2<a<0. 綜上所述，所求實數(shù)a的取值范圍是(e2，0).,考點三函數(shù)零點的綜合問題 【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)e2xaln x.,(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)零點的個數(shù)；,當a0時，f(x)0，f(x)沒有零點；,所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增.,(2)證明由(1)，可設(shè)f(x)在(0，)上的唯一零點為x0， 當x(0，x0)時，f(x)0. 故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增， 所以當xx0時，f(x)取得最小值，最小值為f(x0).,故當a0時，f(x)存在唯一零點.,規(guī)律方法1.在(1)中，當a0時，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，從而f(x)在(0，)上至多有一個零點，問題的關(guān)鍵是找到b，使f(b)<0.,【訓練3】 (2018東北三省四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ln xxm(m<2，m為常數(shù)).,當x(0，1)時，f(x)0，所以yf(x)在(0，1)遞增； 當x(1，)時，f(x)<0，所以yf(x)在(1，)上遞減.,(2)證明由(1)知x1，x2滿足ln xxm0，且01， ln x1x1mln x2x2m0， 由題意可知ln x2x2m<2<ln 22.,思維升華 1.解決函數(shù)yf(x)的零點問題，可通過求導(dǎo)判斷函數(shù)圖象的位置、形狀和發(fā)展趨勢，觀察圖象與x軸的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法判斷函數(shù)的零點是否存在及零點的個數(shù)等. 2.通過等價變形，可將“函數(shù)F(x)f(x)g(x)的零點”與“方程f(x)g(x)的解”問題相互轉(zhuǎn)化. 易錯防范 函數(shù)yf(x)在某一區(qū)間(a，b)上存在零點，必要時要由函數(shù)零點存在定理作為保證.,