高考大題增分專項(xiàng)六高考中的概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例,從近五年的高考試題來看,在高考的解答題中,對概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例的考查主要有三個方面:一是統(tǒng)計與統(tǒng)計案例,以實(shí)際生活中的事例為背景,通過對相關(guān)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析、抽象概括,作出估計、判斷,其中回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)、用樣本的數(shù)據(jù)特征估計總體的數(shù)據(jù)特征是考查重點(diǎn),常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識交匯考查,考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力;二是統(tǒng)計與概率綜合,以現(xiàn)實(shí)生活為背景,利用頻率估計概率,常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識交匯考查;三是古典概型的綜合應(yīng)用,以現(xiàn)實(shí)生活為背景,求某些事件發(fā)生的概率,常與抽樣方法、莖葉圖等統(tǒng)計知識交匯考查.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,已知樣本的頻率分布表或樣本的頻率分布直方圖,求樣本的中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)字特征.由于每個樣本的具體值不知道,只知道各區(qū)間上的端點(diǎn)值,這時取區(qū)間兩端數(shù)據(jù)的平均值作為樣本的具體值,求樣本的數(shù)字特征.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,例1我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家,某市為了制定合理的節(jié)水方案,對居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查.通過抽樣,獲得了某年100名居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照0,0.5),0.5,1),4,4.5分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,(1)求直方圖中a的值; (2)設(shè)該市有30萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),說明理由; (3)估計居民月均用水量的中位數(shù).,解:(1)由頻率分布直方圖,可知月均用水量在0,0.5)的頻率為0.080.5=0.04. 同理,在0.5,1),1.5,2),2,2.5),3,3.5),3.5,4),4,4.5)等組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02. 由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5a+0.5a,解得a=0.30.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,(2)由(1),100名居民月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上樣本的頻率分布,可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 0000.12=36 000. (3)設(shè)中位數(shù)為x噸. 因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.730.5,而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5,所以2x<2.5. 由0.50(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04. 故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,對點(diǎn)訓(xùn)練1從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表:,(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表); (3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定?,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,解:(1),題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,(2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為,質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為 s2=(-20)20.06+(-10)20.26+00.38+1020.22+2020.08=104. 所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計值為100,方差的估計值為104. (3)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計值為0.38+0.22+0.08=0.68. 由于該估計值小于0.8,因此不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,例2某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響.對近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i=1,2,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計量的值.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx與y=c+d 哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程. (3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題: 當(dāng)年宣傳費(fèi)x=49時,年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少? 當(dāng)年宣傳費(fèi)x為何值時,年利潤的預(yù)報值最大?,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,(3)由(2)知,當(dāng)x=49時,年銷售量y的預(yù)報值,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,對點(diǎn)訓(xùn)練2為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每隔30 min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個零件,并測量其尺寸(單位:cm).下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸:,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,(1)求(xi,i)(i=1,2,16)的相關(guān)系數(shù)r,并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|<0.25,則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小).,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,解:(1)由樣本數(shù)據(jù)得(xi,i)(i=1,2,16)的相關(guān)系數(shù)為,由于|r|<0.25,因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計值為10.02.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,在統(tǒng)計中,一般通過計算現(xiàn)實(shí)生活中某事件的頻率,從而用來估計事件的概率,然后用概率計算其他事件的數(shù)量.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,例3某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率. (1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率; (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率.,解:(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶,當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫低于25的頻率為 =0.6,所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時, 若最高氣溫不低于25, 則Y=6450-4450=900; 若最高氣溫位于區(qū)間20,25), 則Y=6300+2(450-300)-4450=300; 若最高氣溫低于20, 則Y=6200+2(450-200)-4450=-100. 所以,Y的所有可能值為900,300,-100.,因此Y大于零的概率的估計值為0.8.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,對點(diǎn)訓(xùn)練3某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評,根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,記錄他們的分?jǐn)?shù),將數(shù)據(jù)分成7組:20,30),30,40),80,90,并整理得到如下頻率分布直方圖: (1)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,估計其分?jǐn)?shù)小于70的概率; (2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人,試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù); (3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,解:(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知,樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為(0.02+0.04)10=0.6,所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為1-0.6=0.4.所以從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計為0.4. (2)根據(jù)題意,樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)10=0.9,分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)為100-1000.9-5=5.所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)估計為400 =20.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,(3)由題意可知,樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為(0.02+0.04)10100=60,所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為60 =30. 所以樣本中的男生人數(shù)為302=60,女生人數(shù)為100-60=40,男生和女生人數(shù)的比例為6040=32. 所以根據(jù)分層抽樣原理,總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為32.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,在求古典概型的概率時,常常應(yīng)用列舉法找出基本事件數(shù)及所求事件包含基本事件數(shù).列舉的方法通常有直接分類列舉、列表、樹狀圖等.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,例4某優(yōu)質(zhì)高中為了選拔學(xué)生參加“全國中學(xué)生英語能力競賽(NEPCS)”,先在本校進(jìn)行初賽(滿分150分),若該校有100名學(xué)生參加初賽,并根據(jù)初賽成績得到如圖所示的頻率分布直方圖. (1)根據(jù)頻率分布直方圖,計算這100名學(xué)生參加初賽成績的中位數(shù); (2)該校推薦初賽成績在110分以上的學(xué)生代表學(xué)校參加競賽,為了了解情況,在該校推薦參加競賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求選取的2人的初賽成績在頻率分布直方圖中處于不同組的概率.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,解:(1)設(shè)初賽成績的中位數(shù)為x,則(0.001+0.004+0.009)20+0.02(x-70)=0.5, 解得x=81,故初賽成績的中位數(shù)為81. (2)該校學(xué)生的初賽分?jǐn)?shù)在110,130)有0.00220100=4(人),分別記為A,B,C,D;分?jǐn)?shù)在130,150有0.00120100=2(人),分別記為a,b.在這6人中隨機(jī)選取2人,總的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b)共15個,其中符合題設(shè)條件的基本事件有8個. 故選取的2人的初賽成績在頻率分布直方圖中處于不同組的概率為,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,對點(diǎn)訓(xùn)練4(2018陜西延安模擬)某種植園在芒果臨近成熟時,隨機(jī)從一些芒果樹上摘下100個芒果,其質(zhì)量(單位:克)分別在100,150),150,200),200,250),250,300),300,350),350,400中,經(jīng)統(tǒng)計得頻率分布直方圖如圖所示.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,(1)現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為250,300),300,350)的芒果中隨機(jī)抽取6個,再從這6個芒果中隨機(jī)抽取3個,求這3個芒果中恰有1個質(zhì)量在300,350)內(nèi)的概率; (2)某經(jīng)銷商來收購芒果,以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值,用樣本估計總體,該種植園中還未摘下的芒果大約還有10 000個,經(jīng)銷商提出如下兩種收購方案: A方案:所有芒果以10元/千克收購; B方案:對質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個收購,高于或等于250克的以3元/個收購. 通過計算確定該種植園選擇哪種方案獲利更多.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,解:(1)抽取的6個芒果中,質(zhì)量在250,300)和300,350)的分別有4個、2個,設(shè)質(zhì)量在250,300)的4個芒果分別為A,B,C,D,質(zhì)量在300,350)的2個芒果分別為a,b. 從這6個芒果中選出3個芒果的情況共有(A,B,C),(A,B,D),(A,B,a),(A,B,b),(A,C,D),(A,C,a),(A,C,b),(A,D,a),(A,D,b),(A,a,b),(B,C,D),(B,C,a),(B,C,b),(B,D,a),(B,D,b),(B,a,b),(C,D,a),(C,D,b),(C,a,b),(D,a,b),共20種, 其中恰有1個質(zhì)量在300,350)的情況有(A,B,a),(A,B,b),(A,C,a),(A,C,b),(A,D,a),(A,D,b),(B,C,a),(B,C,b),(B,D,a),(B,D,b),(C,D,a),(C,D,b),共12種,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,(2)方案A:(1250.002+1750.002+2250.003+2750.008+3250.004+3750.001)5010 000100.001=25 750(元). 方案B:由題意,得質(zhì)量低于250克獲利(0.002+0.002+0.003)5010 0002=7 000(元); 質(zhì)量高于或等于250克獲利(0.008+0.004+0.001)5010 0003=19 500(元); 7 000+19 500=26 500(元). 由于25 750<26 500,因此B方案獲利更多,應(yīng)選B方案.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,比較多,且公式中兩類數(shù)據(jù)錯綜復(fù)雜,容易代錯,運(yùn)用列表法列出需要的數(shù)據(jù),并對數(shù)據(jù)依據(jù)公式進(jìn)行合并,減少了代入公式量的個數(shù),再代入公式求解運(yùn)算的準(zhǔn)確性高.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,例5某工廠有25周歲及以上的工人300名,25周歲以下的工人200名.為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān),現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù),然后按工人年齡在“25周歲及以上”和“25周歲以下”分為兩組,再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組:50,60),60,70),70,80),80,90),90,100分別加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,25周歲以下組 (1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人,求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率; (2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”,請你根據(jù)已知條件完成22列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”?,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,解:(1)由已知得,樣本中有25周歲及以上組工人60名,25周歲以下組工人40名. 所以,樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中,25周歲以上組工人有600.05=3(人),記為A1,A2,A3;25周歲以下組工人有400.05=2(人),記為B1,B2. 從中隨機(jī)抽取2名工人,所有的可能結(jié)果共有10種,分別是(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2). 其中,至少有1名“25周歲以下組”工人的可能結(jié)果共有7種,分別是(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率為,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,(2)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100名工人中,“25周歲及以上組”中的生產(chǎn)能手有600.25=15(人),“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有400.375=15(人),據(jù)此可得22列聯(lián)表如下:,因?yàn)?.79<2.706, 所以在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下不能推斷“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,對點(diǎn)訓(xùn)練5微信是現(xiàn)代生活進(jìn)行信息交流的重要工具,據(jù)統(tǒng)計,某公司200名員工中90%的人使用微信,其中每天使用微信時間不超過一小時的有60人,其余每天使用微信在一小時以上,若將員工年齡分成青年(年齡小于40歲)和中年(年齡不小于40歲)兩個階段,使用微信的人中75%是青年人,若規(guī)定:每天使用微信時間在一小時以上為經(jīng)常使用微信,經(jīng)常使用微信的員工中 是青年人. (1)若要調(diào)查該公司使用微信的員工經(jīng)常使用微信與年齡的關(guān)系,列出22列聯(lián)表.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,22列聯(lián)表,(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“經(jīng)常使用微信與年齡有關(guān)”. (3)采用分層抽樣的方法從“經(jīng)常使用微信”的人中抽取6人,從這6人中任選2人,求選出的2人均是青年人的概率.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,解:(1)由已知可得,該公司員工中使用微信的共2000.9=180(人). 經(jīng)常使用微信的有180-60=120(人),其中青年人有120 =80(人). 使用微信的青年人共有18075%=135(人). 所以可列下面22列聯(lián)表:,題型一,題型二,題型三,題型四,題型五,(2)將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式可得,所以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認(rèn)為“經(jīng)常使用微信與年齡有關(guān)”. (3)從“經(jīng)常使用微信”的人中抽取6人中,青年人有 6=4人,中年人有2人. 設(shè)4名青年人編號分別為1,2,3,4,2名中年人編號分別為5,6, 則“從這6人中任選2人”的基本事件為 (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15個. 設(shè)“選出的2人均是青年人”為事件A,則事件A包含的基本事件為(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6個.故P(A)= .,解決概率與統(tǒng)計相結(jié)合的綜合問題,讀懂題意是關(guān)鍵,能從題目的統(tǒng)計背景中抽取有關(guān)概率的相關(guān)信息,然后將信息轉(zhuǎn)化為概率試驗(yàn)中的基本關(guān)系,按照求某事件概率的方法,計算試驗(yàn)的基本事件數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù),進(jìn)而依據(jù)古典概型的概率公式求解. 所以原不等式成立. 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,式和式等號成立.,