1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù),1.求過曲線y=x3-2x上的點(diǎn)(1,-1)的切線方程,求過某點(diǎn)的曲線的切線方程時(shí)，除了要判斷該點(diǎn)是否 在曲線上，還要分“該點(diǎn)是切點(diǎn)”和“該點(diǎn)不是切點(diǎn)”兩種 情況進(jìn)行討論，解法復(fù)制。若設(shè)M(x0,y0)為曲線y=f(x)上 一點(diǎn)，則以M為切點(diǎn)的曲線的切線方程可設(shè)為 y-y0=f(x)(x-x0)，利用此切線方程可以簡化解題，避免 疏漏。,（4）.對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):,（5）.指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):,（3）.三角函數(shù) ：,（1）.常函數(shù)：(C)/ 0, (c為常數(shù))；,（2）.冪函數(shù) ： (xn)/ nxn1,一、復(fù)習(xí)回顧：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,函數(shù) y = f (x) 在給定區(qū)間 G 上，當(dāng) x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 時(shí),函數(shù)單調(diào)性判定,單調(diào)函數(shù)的圖象特征,1）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,則 f ( x ) 在G 上是增函數(shù)；,2）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,則 f ( x ) 在G 上是減函數(shù)；,若 f(x) 在G上是增函數(shù)或減函數(shù)，,增函數(shù),減函數(shù),則 f(x) 在G上具有嚴(yán)格的單調(diào)性。,G 稱為單調(diào)區(qū)間,G = ( a , b ),二、復(fù)習(xí)引入:,在（ ，0）和（0, ） 上分別是減函數(shù)。但在定義域上不是減函數(shù)。,在（ ，1）上是減函數(shù)，在（1, ）上是增函數(shù)。,在( ,)上是增函數(shù),概念回顧,畫出下列函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像指出每個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,(1)函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性；,(2)函數(shù)的單調(diào)性是對某個(gè)區(qū)間而言的，它是個(gè)局部概 念。這個(gè)區(qū)間是定義域的子集。,(3)單調(diào)區(qū)間：針對自變量x而言的。 若函數(shù)在此區(qū)間上是增函數(shù)，則為單調(diào)遞增區(qū)間； 若函數(shù)在此區(qū)間上是減函數(shù)，則為單調(diào)遞減區(qū)間。,以前,我們用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性.在假設(shè)x1<x2的前提下,比較f(x1)<f(x2)與的大小,在函數(shù)y=f(x)比較復(fù)雜的情況下,比較f(x1)與f(x2)的大小并不很容易.如果利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性就比較簡單.,觀 察:,下圖(1)表示高臺跳水運(yùn)動員的高度 h 隨時(shí)間 t 變化的函數(shù) 的圖象, 圖(2)表示高臺跳水運(yùn)動員的速度 v 隨時(shí)間 t 變化的函數(shù) 的圖象. 運(yùn)動員從起跳到最高點(diǎn), 以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動狀態(tài)有什么區(qū)別?,a,a,b,b,t,t,v,h,O,O,運(yùn)動員從起跳到最高點(diǎn),離水面的高度h隨時(shí)間t 的增加而增加,即h(t)是增函數(shù).相應(yīng)地,從最高點(diǎn)到入水,運(yùn)動員離水面的高度h隨時(shí)間t的增加而減少,即h(t)是減函數(shù).相應(yīng)地,(1),(2),x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,y = x,y = x2,y = x3,觀察下面一些函數(shù)的圖象, 探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系.,在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),如果 ,那么函數(shù) 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增; 如果 ,那么函數(shù) 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.,如果恒有 ，則 是常數(shù)。,題1 已知導(dǎo)函數(shù) 的下列信息:,當(dāng)1 < x < 4 時(shí),當(dāng) x 4 , 或 x < 1時(shí),當(dāng) x = 4 , 或 x = 1時(shí),試畫出函數(shù) 的圖象的大致形狀.,解:,當(dāng)1 < x < 4 時(shí), 可知 在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;,當(dāng) x 4 , 或 x < 1時(shí), 可知 在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;,當(dāng) x = 4 , 或 x = 1時(shí),綜上, 函數(shù) 圖象的大致形狀如右圖所示.,題2 判斷下列函數(shù)的單調(diào)性, 并求出單調(diào)區(qū)間:,解:,(1) 因?yàn)?, 所以,因此, 函數(shù) 在 上單調(diào)遞增.,(2) 因?yàn)?, 所以,當(dāng) , 即 時(shí), 函數(shù) 單調(diào)遞增;,當(dāng) , 即 時(shí), 函數(shù) 單調(diào)遞減.,題2 判斷下列函數(shù)的單調(diào)性, 并求出單調(diào)區(qū)間:,解:,(3) 因?yàn)?, 所以,因此, 函數(shù) 在 上單調(diào)遞減.,(4) 因?yàn)?, 所以,當(dāng) , 即 時(shí), 函數(shù) 單調(diào)遞增;,當(dāng) , 即 時(shí), 函數(shù) 單調(diào)遞減.,1、求可導(dǎo)函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟： (1)求f(x) (2)解不等式f(x)0(或f(x)<0) (3)確認(rèn)并指出遞增區(qū)間（或遞減區(qū)間）,2、證明可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的單調(diào)性的方法： (1)求f(x) (2)確認(rèn)f(x)在(a,b)內(nèi)的符號 (3)作出結(jié)論,練習(xí),判斷下列函數(shù)的單調(diào)性, 并求出單調(diào)區(qū)間:,例3 如圖, 水以常速(即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中, 請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系圖象.,(A),(B),(C),(D),h,t,O,h,t,O,h,t,O,h,t,O,一般地, 如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大, 那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得快, 這時(shí), 函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下); 反之, 函數(shù)的圖象就“平緩”一些.,如圖,函數(shù) 在 或 內(nèi)的圖象“陡峭”,在 或 內(nèi)的圖象平緩.,練習(xí),2.函數(shù) 的圖象如圖所示, 試畫出導(dǎo)函數(shù) 圖象的大致形狀,練習(xí),3.討論二次函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間.,解:,由 , 得 , 即函數(shù) 的遞增區(qū)間是 ; 相應(yīng)地, 函數(shù)的遞減區(qū)間是,由 , 得 , 即函數(shù) 的遞增區(qū)間是 ; 相應(yīng)地, 函數(shù)的遞減區(qū)間是,練習(xí),4.求證: 函數(shù) 在 內(nèi)是減函數(shù).,解:,由 , 解得 , 所以函數(shù) 的遞減區(qū)間是 , 即函數(shù) 在 內(nèi)是減函數(shù).,一、求參數(shù)的取值范圍,增例2：求參數(shù),解：由已知得,因?yàn)楹瘮?shù)在（0，1上單調(diào)遞增,增例2：,在某個(gè)區(qū)間上， ，f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增 （遞減）；但由f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）而 僅僅得到 是不夠的。還有可能導(dǎo)數(shù)等于0 也能使f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)， 所以對于能否取到等號的問題需要單獨(dú)驗(yàn)證,增例2：,本題用到一個(gè)重要的轉(zhuǎn)化：,作業(yè)： 已知函數(shù)f(x)=ax+3x-x+1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍。,