2.2 直接證明與間接證明,2.2.2 反 證 法,反證法,內(nèi)容：反證法的概念、步驟,應(yīng)用:,1.直接證明難以下手的命題,2.“至少”、“至多” 型命題,3.否定性命題,4.某些存在性命題,本課主要學(xué)習(xí)反證法。反證法是從否定命題的結(jié)論入手，并把對(duì)命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛盾的結(jié)論.本課以視頻王戎的故事引入新課，從生活實(shí)例抽象出反證法的概念、步驟.讓學(xué)生感受到了反證法處處可在，也從這些具體的例子中更加熟悉反證法的步驟.并能利用反證法解決簡單的問題.證明方法的選擇，以及如何發(fā)現(xiàn)證明思路是本課的難點(diǎn).由于學(xué)生的實(shí)際情況不同，且本節(jié)內(nèi)容涉及過多以往知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，建議教師在使用本課件時(shí)靈活掌握. 在講述反證法的應(yīng)用時(shí)，采用例題與變式結(jié)合的方法，通過例1和變式1,讓學(xué)生明白:當(dāng)直接證明命題難以下手時(shí)，改變其思維方向，從反面進(jìn)行思考，問題可能解決得十分干脆。通過例2和例3,告訴學(xué)生:“至少”、“至多” 型命題常用反證法.采用一講一練針對(duì)性講解的方式，重點(diǎn)理解和鞏固反證法的運(yùn)用方法.,1.直接證明的兩種基本證法：,綜合法和分析法,2.這兩種基本證法的推證過程和特點(diǎn)：,由因?qū)Ч?執(zhí)果索因,3、在實(shí)際解題時(shí)，兩種方法如何運(yùn)用？,通常用分析法尋求思路，再由綜合法書寫過程,綜合法,已知條件,結(jié)論,分析法,結(jié)論,已知條件,路邊苦李 古時(shí)候有個(gè)人叫王戎，7歲那年的某天，他和小伙伴在路邊玩，看見一顆李子樹上的果實(shí)多得把樹枝都快壓斷了，小伙伴們都跑去摘，只有王戎站著沒動(dòng).他說：“李子是苦的，我不吃.”小伙伴摘來一嘗，李子果然苦的沒法吃.小伙伴問王戎：“這就怪了！你又沒吃怎么知道李子是苦的?。俊?王戎說：“如果李子是甜的，樹長在路邊，李子早就沒有了！李子現(xiàn)在還這么多，所以啊，肯定李子是苦的，不好吃！”,王戎推斷李子是苦澀的道理和你的方法一樣嗎？是什么方法？,反證法是我們常見的一種證明方法，它隸屬于間接證明，今天我們就來一起探討反證法在證明問題中的應(yīng)用.,反證法,路邊苦李,（1）如果有5只鴿子飛進(jìn)兩只鴿籠，至少有3只鴿子在同一只鴿籠，對(duì)嗎？,（2）A、B、C三個(gè)人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A、B都撒謊。則C在撒謊嗎？為什么？,分析:假設(shè)C沒有撒謊, 則A、B都撒謊.,由A撒謊, 知B沒有撒謊.,那么假設(shè)C沒有撒謊不成立,則C必定是在撒謊.,這與B撒謊矛盾.,把這種不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法稱為間接證明,注：反證法是最常見的間接證法，,反證法：假設(shè)命題結(jié)論的反面成立,經(jīng)過正確的推理,引出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明原命題成立,這樣的的證明方法叫反證法.（歸謬法）,反證法的思維方法：正難則反,例1：求證： 是無理數(shù)。,解析：直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從反面進(jìn)行思考，問題可能解決得十分干脆。,例1：求證： 是無理數(shù)。,證明：假設(shè) 是有理數(shù),則存在互質(zhì)的整數(shù)m,n使得,反證法的證明過程：,否定結(jié)論推出矛盾肯定結(jié)論， 即分三個(gè)步驟：反設(shè)歸謬存真,反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；,存真由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不成立，從而 肯定原結(jié)論成立。,歸謬從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的推理， 得出矛盾；,用反證法證明命題的過程用框圖表示為：,肯定條件 否定結(jié)論,導(dǎo) 致 邏輯矛盾,反設(shè) 不成立,結(jié)論 成立,證明:,因?yàn)?所以,例2 已知a0，證明x的方程ax=b有且只有一個(gè)根。,注:結(jié)論中的有且只有(有且僅有)形式出現(xiàn), 是唯一性問題,常用反證法,不妨設(shè)方程的兩根分別為,證：由于 ，因此方程至少有一個(gè)根,假設(shè)方程 至少存在兩個(gè)根。,則：,與已知 矛盾，故假設(shè)不成立，結(jié)論成立。,例3：已知x0,y0，x + y 2， 求證： 中至少有一個(gè)小于2。,分析：所謂至少有一個(gè),就是不可能沒有,要證“至少有一個(gè)”只要證明它的反面“所有都”不成立即可.,注:“至少”、“至多” 型命題常用反證法,常見否定用語,是不是 有沒有 等不等 成立不成立 都是不都是，即至少有一個(gè)不是 都有不都有，即至少有一個(gè)沒有 都不是部分或全部是，即至少有一個(gè)是 唯一至少有兩個(gè) 至少有一個(gè)有（是）全部沒有（不是） 至少有一個(gè)不全部都,應(yīng)用反證法的情形： (1)直接證明困難; (2)需分成很多類進(jìn)行討論 (3)結(jié)論為“至少”、“至多”、“有無窮多個(gè)” 類命題； (4)結(jié)論為 “唯一”類命題；,正難則反!,三個(gè)步驟：反設(shè)歸謬存真,歸繆矛盾： （1）與已知條件矛盾； （2）與已有公理、定理、定義矛盾； （3）自相矛盾。,一般地，假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），,經(jīng)過正確的推理，,最后得出矛盾。,因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，,這樣的證明方法叫做反證法。,推理與證明,推理,證明,合情推理,演繹推理,直接證明,間接證明,類比推理,歸納推理,分析法,綜合法,反證法,已知：整數(shù)a的平方能被2整除， 求證：a是偶數(shù)。,證明：假設(shè)a不是偶數(shù)， 則a是奇數(shù)，不妨設(shè)a=2n+1(n是整數(shù)) a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1 a2是奇數(shù)，與已知矛盾。 假設(shè)不成立，所以a是偶數(shù)。,