第二章 數列,2.2 等差數列,觀察：這些數列有什么共同特點？,(1)第23到第28屆奧運會舉行的年份依次為 1984,1988,1992,1996,2000,2004 (2)某劇場前10排的座位數分別是： 38,40,42,44,46,48,50,52,54,56 (3)3,0,-3,-6,-9,-12, (4)2,4,6,8,10 (5)1,1,1,1,1,1,從第二項起，第一項與前一項的差都是同一個常數.,等差數列的定義,一般地，如果一個數列an,從第2項起每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差。公差通常用字母 d 表示。,定義的符號表示是：an - an-1=d(n2,nN),這就是數列的遞推公式。,（1）從0開始，將5的倍數按從小到大的順序排列，組成的數列為：,（2）在2000年悉尼奧運會上，女子舉重被正式列為比賽項目，該項目共設置了7個級別，其中較輕的4個級別體重（單位：kg），組成數列 : 48，53，58，63.,0，5，10，15，20，25，.,（3）水庫管理人員為了保證優(yōu)質魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放 水清庫的辦法清理水庫中的雜魚.如果一個水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位（單位m）組成的數列為：,18，15.5，13，10.5，8，5.5.,（4）我國現行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本息計算下一期的利息.按照單利計算本利和的公式是：本利和本金(1利率存期）.按活期存入10 000元錢，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內各年末的本利和（單位：元）組成的數列為：,10072，10144，10216，10288，10360.,請你寫出這些數列的公差,3、常數列a，a，a，是否為等差數列?若是，則公差是多少?若不是，說明理由,公差d=0,4、數列0，1，0，1，0，1是否為等差數列?若是，則公差是多少?若不是，說明理由,2、若將數列中各項的次序作一次顛倒所得的數列29,22,15,8,1;是否為等差數列？若是，是否與原數列相同?公差是多少?若不是，說明理由,公差d=7,不是,公差d=7,1 、已知數列1, 8, 15, 22, 29；,在如下的兩個數之間，插入一個什么數后這三個數就會成為一個等差數列：,（1）2 ，( ) ， 4 （2）-12，( ) ，0,3,-6,如果在a與b中間插入一個數A，使a，A，b成等差數列， 那么A叫做a與b的等差中項。,等差中項,( 3 ) , ( ) ,通項公式的推導一：,已知等差數列an的首項是a1，公差是d,a2-a1=d,a2=a1+d,a3-a2=d,a3=a2+d,=(a1+d)+d,=a1+2d,a4-a3=d,an+1an=d,a4=a3+d,=(a1+2d)+d,=a1+3d,a5呢?,a9呢?, 由此得到,an=,a1+（n-1）d , nN+,d是常數,通項公式的推導二：,a2-a1=d,a3-a2=d,an-an-1=d,a3-a2=d,+),an-a1=(n-1)d,an=a1+(n-1)d,這個方法我們稱之為累加法，或者疊加法。,總之,已知等差數列是的首項為a1，公差為d,則等差數列的通項公式為：,例3:已知等差數列的首項 a1=3 ，公差 d =2，求它的通項公式an。,分析：知道a1,d ,求an ;代入通項公式。,解： a1=3 , d=2 an=a1+(n-1)d,等差數列的通項公式為:an=a1+(n-1)d,=3+(n-1) 2,=2n+1,典例展示,例4: (1) 求等差數列8，5，2，的第20項。,解：,(2) 等差數列 -5，-9，-13，的第幾項是 401？,解：,因此，,解得,1. 求等差數列3，7，11，的第4，7，10項；,2. 100是不是等差數列2，9，16，中的項？,3. -20是不是等差數列0，- ，-7中的項；,變式1：,例5：在等差數列中,已知a5=10,a12=31,求首項a1與公差d.,解：由題意可知,這是一個以 和 為未知數的二元一次方程組，解這個方程組，得,即這個等差數列的首項是-，公差是.,1.求基本量a1和d ：根據已知條件列方程，由此解出a1和d ，再代入通項公式。,2.像這樣根據已知量和未知量之間的關系，列出方程求解的思想方法，稱方程思想。這是數學中的常用思想方法之一。,求通項公式的關鍵步驟：,變式2：(1)求等差數列9，5，1，的第10項；,an = a1+(n-1)d9(n-1)(4)134n.,當n10時，,所以，等差數列an的首項a11，公差d4.,(2)已知等差數列an，an4n3，求首項a1和公差d.,解：(1)由a19，d594，得,a10 =1341027.,(2)由an4n3知,a14131 且 da2a1(423)14,an = a1+(n-1)d 有,變式3：已知等差數列an中，a520， a2035，試求出數列的通項公式.,故數列an的通項公式為 an16(n1)(1)15n.,解：由等差數列的通項公式：,解得：a1=16，d=1,思考：,等差數列,an=a1+(n-1)d,定義:,如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數,公差: d=an-an-1 (n2，nN*),通項公式:,等差中項,性質,