成才之路 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,人教B版 必修3,概 率,第三章,3.1事件與概率 3.1.4概率的加法公式,第三章,第二次世界大戰(zhàn)中，英美盟軍因?yàn)檫\(yùn)輸隊(duì)在大西洋上常常受到德國(guó)潛艇的襲擊而焦頭爛額為此，有位美國(guó)海軍將領(lǐng)專門去請(qǐng)教了幾位數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家們運(yùn)用概率論分析后發(fā)現(xiàn)，艦隊(duì)與敵潛艇相遇近似于一個(gè)隨機(jī)事件，從數(shù)學(xué)角度來看這一問題，它具有一定的規(guī)律一定數(shù)量的船(如100艘)編隊(duì)規(guī)模越小，編次就越多(如每次20艘，就要有5個(gè)編次)；編次越多，與敵人相遇的概率就越大美國(guó)海軍接受了數(shù)學(xué)家的建議，命令船隊(duì)在指定海域集合，再集體通過危險(xiǎn)海域，然后各自駛向預(yù)定港口結(jié)果奇跡出現(xiàn)了，盟軍艦隊(duì)遭到襲擊的概率由原來的25%降低為1%，大大減少了損失，保證了物資的及時(shí)供應(yīng).,一、事件的關(guān)系與運(yùn)算 1互斥事件 不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫_(或稱為_) 2并(和)事件 若事件A和事件B中_有一個(gè)發(fā)生，則C發(fā)生；若C發(fā)生，則A、B中_有一個(gè)發(fā)生，稱事件C為A與B的并(或和),互斥事件,互不相容事件,至少,至少,至少,(3)并事件包含三種情形：事件A發(fā)生，事件B不發(fā)生；事件A不發(fā)生，事件B發(fā)生；事件A、B同時(shí)發(fā)生 (4)推廣：如果事件A1、A2、An中的任何兩個(gè)都互斥，就稱事件A1、A2、An彼此互斥，從集合角度看，n個(gè)事件彼此互斥是指各個(gè)事件所含結(jié)果的集合彼此不相交 如在一次投擲骰子的實(shí)驗(yàn)中，若 C1出現(xiàn)1點(diǎn)；C2出現(xiàn)2點(diǎn)；C3出現(xiàn)3點(diǎn)； C4出現(xiàn)4點(diǎn)或出現(xiàn)5點(diǎn)；C5出現(xiàn)6點(diǎn)； 則事件C1，C2，C3，C4，C5彼此互斥,3對(duì)立事件 不可能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件互為對(duì)立事件 (1)事件A與B對(duì)立是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生 (2)對(duì)立事件是針對(duì)兩個(gè)事件來說的，一般地，兩個(gè)事件對(duì)立，則兩個(gè)事件必是互斥事件；反之，兩個(gè)事件是互斥事件，卻未必是對(duì)立事件,1P(A),二、概率的幾條基本性質(zhì) 1概率P(A)的取值范圍 由于事件的頻數(shù)總是小于或等于試驗(yàn)的次數(shù)，所以頻率在0和1之間，從而任何事件的概率在0到1之間，即0P(A)1. (1)必然事件B一定發(fā)生，則P(B)1. (2)不可能事件C一定不發(fā)生，因此P(C)0.,P(A)P(B),如擲骰子試驗(yàn)中，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，“出現(xiàn)2點(diǎn)”分別記為事件A、B，則A、B不互斥，P(AB)P(A)P(B) (3)如果事件A1、A2、An彼此互斥，那么 P(A1A2An)_. 即彼此互斥的事件并的概率等于它們的概率的和 (4)在求某些復(fù)雜的事件的概率時(shí)，可將其分解成一些較易求的彼此互斥的事件，化整為零，化難為易,P(A1)P(A2)P(An),3對(duì)立事件的概率公式 若事件A與B互為對(duì)立事件，則AB為必然事件，所以P(AB)1，又P(AB)P(A)P(B)，P(A)1P(B) (1)公式使用的前提必須是對(duì)立事件，否則不能使用此公式 (2)當(dāng)一事件的概率不易直接求，但其對(duì)立事件的概率易求時(shí)，可運(yùn)用此公式使用間接法求概率,答案B,2下列說法正確的是() A事件A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A、B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大 B事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率一定比事件A、B恰有一個(gè)發(fā)生的概率小 C互斥事件一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件并不一定是互斥事件 D互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件 答案D 解析由互斥事件及對(duì)立事件的定義知選D.,3(2015湖南津市一中高一月考)袋內(nèi)分別有紅、白、黑球?yàn)?個(gè)、2個(gè)、1個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是() A至少有一個(gè)白球；紅、黑球各1個(gè) B至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球 C恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球 D至少有一個(gè)白球；都是白球 答案A 解析至少有一個(gè)白球與紅、黑球各1個(gè)是互斥事件但不是對(duì)立事件,4甲、乙兩人下象棋，甲獲勝的概率為30%，兩人下成和棋的概率為50%，則乙獲勝的概率為_，甲不輸?shù)母怕蕿開 答案20%80% 解析設(shè)事件“甲勝”、“乙勝”、“甲乙和棋”分別為A、B、C，則P(A)30%，P(C)50%， 甲不輸?shù)母怕蕿椋篜(AC)P(A)P(C)80%， P(B)1P(AC)180%20%.,5在某一時(shí)期內(nèi)，一條河流某處的最高水位在各個(gè)范圍內(nèi)的概率如下：,判斷下列每對(duì)事件是否為互斥事件 (1)將一枚硬幣拋兩次，事件A：兩次出現(xiàn)正面，事件B：只有一次出現(xiàn)正面； (2)某人射擊一次，事件A：中靶，事件B：射中9環(huán)； (3)某人射擊一次，事件A：射中環(huán)數(shù)大于5，事件B：射中環(huán)數(shù)小于5.,互斥事件的概念,解析(1)若“兩次出現(xiàn)正面”發(fā)生，則“只有一次出現(xiàn)正面”不發(fā)生，反之亦然，即事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生，A、B互斥 (2)某人射擊一次中靶不一定擊中9環(huán)，但擊中9環(huán)一定中靶，即B發(fā)生則A一定發(fā)生，A、B不互斥 (3)事件A發(fā)生，則事件B一定不發(fā)生，故A、B互斥,某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件，如果是，再判別它們是不是對(duì)立事件 (1)恰有一名男生與兩名全是男生； (2)至少有1名男生與全是男生； (3)至少有1名男生與全是女生； (4)至少有1名男生與至少有1名女生,解析判別兩個(gè)事件是否互斥，就是考察它們是否能同時(shí)發(fā)生；判別兩個(gè)互斥事件是否對(duì)立，就要考察它們是否必有一個(gè)發(fā)生 (1)因?yàn)椤扒∮?名男生”與“兩名全是男生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們是互斥事件；當(dāng)兩名都是女生時(shí)它們都不發(fā)生，所以它們不是對(duì)立事件 (2)因?yàn)椤皟擅悄猩卑l(fā)生時(shí)“至少有一名男生”也同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件 (3)因?yàn)椤爸辽儆幸幻猩迸c“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們互斥；由于它們必有一個(gè)發(fā)生，所以它們對(duì)立,(4)由于選出的是“一名男生一名女生”時(shí)“至少有一名男生”與“至少有一名女生”同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件 點(diǎn)評(píng)兩個(gè)互斥事件是否對(duì)立要依據(jù)試驗(yàn)條件本題條件若改成“某小組有3名男生1名女生，任取2人”，則“恰有1名男生”與“恰有2名男生”便是對(duì)立事件.,國(guó)際上通用的茶葉分類法，是按發(fā)酵程度把茶葉分為不發(fā)酵茶(如：龍井、碧螺春)和發(fā)酵茶(如：茉莉花茶、鐵觀音、烏龍茶、普洱茶)兩大類， 現(xiàn)有6個(gè)完全相同的紙盒，里面分別裝有龍井、碧螺春、茉莉花茶、鐵觀音、烏龍茶和普洱茶，從中任取一盒，根據(jù)以上材料，判斷下列兩個(gè)事件是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說明理由 (1)“取出龍井”和“取出鐵觀音”； (2)“取出不發(fā)酵茶”和“取出發(fā)酵茶”； (3)“取出發(fā)酵茶”和“取出普洱茶”； (4)“取出不發(fā)酵茶”和“取出烏龍茶”,對(duì)立事件的概念,解析(1)事件“取出龍井”和事件“取出鐵觀音”不可能同時(shí)發(fā)生，也有可能都不發(fā)生，所以是互斥事件而不是對(duì)立事件 (2)事件“取出不發(fā)酵茶”和事件“取出發(fā)酵茶”不可能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生，所以既是互斥事件又是對(duì)立事件 (3)事件“取出發(fā)酵茶”和事件“取出普洱茶”不是互斥事件，因?yàn)椤叭〕銎斩琛睍r(shí)，事件“取出發(fā)酵茶”也發(fā)生了 (4)事件“取出不發(fā)酵茶”和事件“取出烏龍茶”不可能同時(shí)發(fā)生，也有可能都不發(fā)生，所以是互斥事件而不是對(duì)立事件,(2015河北成安縣一中高一月考)抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A：“至少有兩件次品”，則A的對(duì)立事件為() A至多兩件次品B至多一件次品 C至多兩件正品D至少兩件正品 答案B 解析“至少有兩件次品”的對(duì)立事件為“至多有一件次品”.,一盒中裝有各色球12只，其中5紅、4黑、2白、1綠，從中取1球求： (1)取出球的顏色是紅或黑的概率； (2)取出球的顏色是紅或黑或白的概率,互斥事件與對(duì)立事件的概率,在數(shù)學(xué)考試中，小明的成績(jī)?cè)?0分以上的概率是0.18，在8089分的概率是0.51，在7079分的概率是0.15，在6069分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.計(jì)算下列事件的概率： (1)小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上； (2)小明考試及格 解析小明的成績(jī)?cè)?0分以上可以看作是互斥事件“8089分”、“90分以上”的并事件，小明考試及格可看作是“6069分”、“7079分”、“8089分”、“90分以上”這幾個(gè)彼此互斥的事件的并事件，又可看作是“不及格”的對(duì)立事件,分別記小明的成績(jī)?cè)凇?0分以上”、在“8089分”、在“7079分”、在“6069分”為事件B、C、D、E，這四個(gè)事件彼此互斥 (1)小明的成績(jī)?cè)?0分以上的概率是P(BC) P(B)P(C)0.180.510.69. (2)解法一：小明考試及格的概率是 P(BCDE)P(B)P(C)P(D)P(E) 0.180.510.150.090.93.,解法二：小明考試不及格的概率是0.07，所以小明考試及格的概率是P(A)10.070.93. 小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上成績(jī)的概率是0.69，考試及格的概率是0.93.,辨析錯(cuò)誤的原因?yàn)檎`認(rèn)為事件A與事件B互斥,