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2.4 等比數(shù)列,1,如果能將一張厚度為0.05mm的報紙對折，再對折，再對折‥‥‥依次對折50次，你相信這時報紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋？,情境一:折紙,問題情境:,2,對折一次,對折二次,對折三次,對折四次,….,對折 次,對折紙的 次數(shù),紙的 層數(shù),….,,,,,,….,,3,情境二:《莊子·天下篇》中寫到： “一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。,4,,設木棰長度為1,木棰長度,第一天取半,,第二天取半,第三天取半,第四天取半,,,,,,,,,,,,,,第 天取半,,5,觀察上述情境中得到的這幾個數(shù)列，看有何共同特點?,2, 4, 8, 16, …;,①②,共同特點：從第二項起，每一項與前一項 的比都等于同一個常數(shù)．,-2, 2, -2, 2, …. ④,6,講授新課,1. 等比數(shù)列的定義:,一般地，若一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫等比數(shù)列的公比，用字母q 表示.,(q≠0),7,2.等比數(shù)列定義的符號語言:,(q為常數(shù)，且q≠0 ；n∈N*),8,(1) 1，3，9，27，…,(3) 5， 5， 5， 5，…,(4) 1，-1，1，-1，…,(2),(5) 1，0，1，0，…,練 習,判斷下列各組數(shù)列中哪些是等比數(shù)列，哪些不是？如果是，寫出首項a1和公比q, 如果不是，說明理由。,是,是,是,是,a1=1, q=3,a1=5, q=1,a1=1, q= -1,不是,9,(6) 0，0，0，0，…,(7) 1, a, a2, a3 , …,(8) x0, x, x2, x3 , …,(9) 1，2，6，18，…,不是,不是,小結：判斷一個數(shù)列是不是等比數(shù)列，主要是由定義進行判斷：,a1=x0, q=x,是,不是,看 是不是同一個常數(shù)？,10,注意：,(2)公比q一定是由后項比前項所得，而不 能用前項比后項來求，且q≠0；,(1) 等比數(shù)列｛an｝中, an≠0；,(3)若q＝1，則該數(shù)列為常數(shù)列．,(4)常數(shù)列 a, a , a , a , …,時,既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列;,時,只是等差數(shù)列，而不是等比數(shù)列.,11,思考：,如果在a與b的中間插入一個數(shù)G，使a, G, b成等比數(shù)列，那么G應該滿足什么條件？,反之，若,即a,G,b成等比數(shù)列.,∴a, G, b成等比數(shù)列,則,分析：,由a, G, b成等比數(shù)列得：,(ab0),12,如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a, G，b成等比數(shù)列，那么稱這個數(shù)G為a與 b的等比中項.,,3.等比中項：,即：,注意：若a，b異號則無等比中項, 若a，b同號則有兩個等比中項.,13,,練習：,14,一、等比數(shù)列的通項公式:遞推法,……,,,15,等比數(shù)列的通項公式：疊乘法,,,,,等比數(shù)列注： （1）等比數(shù)列的首項不為0；,（2）等比數(shù)列的每一項都不為0，即,（3） q=1時，{an}為常數(shù)列；,16,以a1為首項，q為公比的等比數(shù)列{an}的通項公式為：,4.等比數(shù)列的通項公式：,5.等比數(shù)列通項公式的推廣：,7.等比數(shù)列通項公式的應用：知三求一,6.等比數(shù)列的公比公式：,17,例、一個等比數(shù)列的第3項與第4項分別是12與18,求它的第1項與第2項.,解：設這個等比數(shù)列的第1項是 ,公比是q ，那么,解得， ，,因此,答：這個數(shù)列的第1項與第2項分別是 與 8.,,18,課堂互動,（2）一個等比數(shù)列的第2項是10,第3項是20,求它的第1項與第4項.,(1)一個等比數(shù)列的第5項是 ,公比是 ，求它的第1項；,解得，,答：它的第一項是36 .,解：設它的第一項是 ，則由題意得,解：設它的第一項是 ，公比是 q ，則由題意得,答：它的第一項是5，第4項是40.,，,因此,19,答案：,20,課堂小結,從第2項起,每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù),公差(d ),d 可正、可負、可零,從第2項起,每一項與它前一項的比等于同一個常數(shù),公比(q ),q可正、可負、不可零,21,精講精練、創(chuàng)新,課后作業(yè),已知等差數(shù)列{an}的公差為2,若a1,a3,a4成等比數(shù)列,求a2=？,22,練習．在等比數(shù)列{an}中，,且q=2，求a1和n.,,23,A,練習:,24,若數(shù)列{an}的首項是a1=1,公比q=2,則用通項公式表示是： ＿＿＿＿＿＿,an=2 n－1,上式還可以寫成,可見，表示這個等比數(shù)列 的各點都在函數(shù) 的圖象上，如右圖所示。,,,0 1 2 3 4 n,an 8 7 6 5 4 3 2 1,·,·,·,·,,通項公式法:an= b·cn,25,判斷等比數(shù)列的方法:,1、(定義法)利用an / an-1是否是一個與n無關的常數(shù),2、(通項公式法)判斷an= b·cn (bc≠ 0 為常數(shù)),26,例、有三個數(shù)成等比數(shù)列，若它們的積 等于64，和等于14，求此三個數(shù)？,注意：等比數(shù)列中若三個數(shù)成等比數(shù)列，可以設為,練習：已知三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27， 它們的立方和為81，求這三個數(shù)。,2，4，8或者8，4，2,3，3，3,27,例、有四個數(shù)，若其中前三個數(shù)成等比數(shù)列， 它們的積等于216，后三個數(shù)成等差數(shù)列，它們 的和等于12，求此四個數(shù)？,注意：等比數(shù)列中若四個數(shù)成等比數(shù)列，不能設為,因為這種設法表示公比大于零！,練習：有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求這四個數(shù)。,可以設這四個數(shù)為a,b,c,d,15,9,3,1或0,4,8,16,答案：9，6，4，2,28,,,某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經(jīng)過一年剩留的這種物質是原來的84%.這種物質的半衰期為多長(精確到1年)？,放射性物質衰變到原來的一半所需時間稱為這種物質的半衰期,29,30,1.等差數(shù)列：銀行利息按單利計算（利息沒有利息） 本利和=本金×（1+利率×存期）,例如：存入10000元，利率為0.72%,特點：每一項與前一項的差是同一個常數(shù),31,2.等比數(shù)列：銀行利息按復利計算（利滾利） 本金和=本金×（1+利率）存期,,例如：存入10000元，利率為1.98%,特點：后一頂與前一項的比是同一個常數(shù),32,33,結論：如果 是項數(shù)相同的等比數(shù)列，那么 也是等比數(shù)列．,證明：設數(shù)列 的公比為p， 的公比為q，那么數(shù)列 的第n項與第n+1項分別為 與 ，即 與 ． 因為 它是一個與n無關的常數(shù)，所以是一個以pq為公比的等比數(shù)列．,特別地，如果是 等比數(shù)列，c是不等于０的常數(shù)，那么數(shù)列 也是等比數(shù)列．,34,探究,對于例４中的等比數(shù)列 與 ，數(shù) 列 也一定是等比數(shù)列嗎？,是,35,a．若{an}{bn}是項數(shù)相同的等比數(shù)列，,都是等比數(shù)列,則{anbn}和,b．若{an}是等比數(shù)列，c是不等于0的常數(shù)， 那么{can}也是等比數(shù)列,等比數(shù)列的性質,36,性質 : 在等比數(shù)列 中， 為公比， 若 且,那么：,等比數(shù)列的性質,特殊地:,37,小組展示任務分配表,,典型例題：,?,?,?,?,,除,38,小組展示任務分配表,,典型例題：,變式、在160與5中間插入4個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成 等比數(shù)列,39,小組展示任務分配表,,典型例題：,變式、在160與5中間插入4個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成 等比數(shù)列,40,小組展示任務分配表,,典型例題：,例2、已知數(shù)列{ }的通項公式為 ,試問這個數(shù)列是 等比數(shù)列嗎？為什么？,41,小組展示任務分配表,,典型例題：,例2、已知數(shù)列{ } 的通項公式為 ,試問這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎？為什么？,42,