2.2.2反證法,第二章2.2直接證明與間接證明,學(xué)習(xí)目標(biāo),1.了解反證法是間接證明的一種基本方法. 2.理解反證法的思考過程，會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問題.,問題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測(cè),題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),知識(shí)點(diǎn)反證法,王戎小時(shí)候，愛和小朋友在路上玩耍.一天，他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨(dú)有王戎沒動(dòng)，等到小朋友們摘了李子一嘗，原來是苦的！他們都問王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的.” 思考本故事中王戎運(yùn)用了什么論證思想？ 答案運(yùn)用了反證法思想.,梳理(1)定義：假設(shè)原命題 ，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明 ，從而證明了 ，這樣的證明方法叫做反證法. (2)反證法常見的矛盾類型 反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾.這個(gè)矛盾可以是與 矛盾，或與 矛盾，或與 矛盾等.,不成立,假設(shè)錯(cuò)誤,原命題成立,已知條件,假設(shè),定義、公理、定理、事實(shí),1.反證法屬于間接證明問題的方法.() 2.反證法的證明過程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理.() 3.反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾.(),思考辨析 判斷正誤,題型探究,類型一用反證法證明否定性命題,證明,例1已知a，b，c，dR，且adbc1，求證：a2b2c2d2abcd1. 證明假設(shè)a2b2c2d2abcd1. 因?yàn)閍dbc1， 所以a2b2c2d2abcdbcad0， 即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20. 所以ab0，cd0，ad0，bc0， 則abcd0， 這與已知條件adbc1矛盾，故假設(shè)不成立. 所以a2b2c2d2abcd1.,反思與感悟(1)用反證法證明否定性命題的適用類型： 結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法. (2)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟,證明,a，b，c成等比數(shù)列，b2ac， ,ac，從而abc. 這與已知a，b，c不成等差數(shù)列相矛盾，,類型二用反證法證明“至多、至少”類問題,證明,例2a，b，c(0,2)，求證：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.,證明假設(shè)(2a)b，(2b)c，(2c)a都大于1. 因?yàn)閍，b，c(0,2)， 所以2a0,2b0,2c0.,所以(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.,證明,引申探究 已知a，b，c(0,1)，求證：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于,a，b，c都是小于1的正數(shù)， 1a,1b,1c都是正數(shù).,反思與感悟應(yīng)用反證法常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞” 當(dāng)命題中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語時(shí)，直接證明不易入手且討論較復(fù)雜.這時(shí)，可用反證法證明，證明時(shí)常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如：,證明,跟蹤訓(xùn)練2已知a，b，c是互不相等的實(shí)數(shù)，求證：由y1ax22bxc，y2bx22cxa和y3cx22axb確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).,證明假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 由y1ax22bxc，y2bx22cxa，y3cx22axb， 得14b24ac0，24c24ab0， 且34a24bc0. 同向不等式求和，得 4b24c24a24ac4ab4bc0， 所以2a22b22c22ab2bc2ac0， 所以(ab)2(bc)2(ac)20，所以abc. 這與題設(shè)a，b，c互不相等矛盾， 因此假設(shè)不成立，從而命題得證.,類型三用反證法證明唯一性命題,證明,例3求證：方程2x3有且只有一個(gè)根. 證明2x3，xlog23. 這說明方程2x3有根. 下面用反證法證明方程2x3的根是唯一的. 假設(shè)方程2x3至少有兩個(gè)根b1，b2(b1b2)， 則 3, 3，兩式相除得 1， b1b20，則b1b2，這與b1b2矛盾. 假設(shè)不成立，從而原命題得證.,反思與感悟用反證法證明唯一性命題的一般思路：證明“有且只有一個(gè)”的問題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性.當(dāng)證明結(jié)論是以“有且只有”“只有一個(gè)”“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，可先證“存在性”，由于假設(shè)“唯一性”結(jié)論不成立易導(dǎo)出矛盾，因此可用反證法證其唯一性.,跟蹤訓(xùn)練3若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，求證：方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多有一個(gè)實(shí)根. 證明假設(shè)方程f(x)0在區(qū)間a，b上至少有兩個(gè)實(shí)根， 設(shè)，為其中的兩個(gè)實(shí)根. 因?yàn)?，不妨設(shè)<， 又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在a，b上是增函數(shù)，所以f()<f(). 這與假設(shè)f()0f()矛盾，所以方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多有一個(gè)實(shí)根.,證明,達(dá)標(biāo)檢測(cè),1.證明“在ABC中至多有一個(gè)直角或鈍角”，第一步應(yīng)假設(shè) A.三角形中至少有一個(gè)直角或鈍角 B.三角形中至少有兩個(gè)直角或鈍角 C.三角形中沒有直角或鈍角 D.三角形中三個(gè)角都是直角或鈍角,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,2.已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么直線c與b的位置關(guān)系為 A.一定是異面直線 B.一定是相交直線 C.不可能是平行直線 D.不可能是相交直線 解析假設(shè)cb，而由ca，可得ab，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線.,解析,答案,3.用反證法證明“在三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60”，應(yīng)先假設(shè)這個(gè)三角形中 A.有一個(gè)內(nèi)角小于60 B.每一個(gè)內(nèi)角都小于60 C.有一個(gè)內(nèi)角大于60 D.每一個(gè)內(nèi)角都大于60,1,2,3,4,5,答案,4.用反證法證明“在同一平面內(nèi)，若ac，bc，則ab”時(shí)，應(yīng)假設(shè) A.a不垂直于c B.a，b都不垂直于c C.ab D.a與b相交,1,2,3,4,5,答案,證明,1,2,3,4,5,證明假設(shè)三個(gè)方程都沒有實(shí)數(shù)根，則由判別式都小于零，,1,2,3,4,5,用反證法證題要把握三點(diǎn) (1)必須先否定結(jié)論，對(duì)于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不全面的； (2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行論證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行論證，就不是反證法； (3)反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以與已知矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾，但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.,規(guī)律與方法,