2.1.1合情推理,第二章2.1合情推理與演繹推理,學(xué)習(xí)目標(biāo),1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理. 2.了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.,問題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測,題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),知識(shí)點(diǎn)一歸納推理,思考(1)銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導(dǎo)電，猜想：一切金屬都能導(dǎo)電. (2)統(tǒng)計(jì)學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計(jì)總體. 以上屬于什么推理？ 答案屬于歸納推理.,梳理(1)定義：由某類事物的 具有某些特征，推出該類事物的 都具有這些特征的推理，或者由 概括出_的推理，稱為歸納推理(簡稱歸納). (2)特征：由 到 ，由 到 的推理.,部分對象,全部對象,個(gè)別事實(shí),一般結(jié)論,部分,整體,個(gè)別,一般,思考科學(xué)家對火星進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類似的特征： (1)火星也是繞太陽公轉(zhuǎn)、繞軸自轉(zhuǎn)的行星；(2)有大氣層，在一年中也有季節(jié)更替；(3)火星上大部分時(shí)間的溫度適合地球上某些已知生物的生存，等等.由此，科學(xué)家猜想：火星上也可能有生命存在.他們使用了什么樣的推理？ 答案類比推理.,知識(shí)點(diǎn)二類比推理,梳理(1)定義：由兩類對象具有某些 特征和其中一類對象的某些 特征，推出 也具有這些特征的推理稱為類比推理. (2)特征：由 到 的推理.,類似,已知,另一類對象,特殊,特殊,思考?xì)w納推理與類比推理有何區(qū)別與聯(lián)系？ 答案區(qū)別：歸納推理是由特殊到一般的推理；而類比推理是由個(gè)別到個(gè)別的推理或是由特殊到特殊的推理. 聯(lián)系：在前提為真時(shí)，歸納推理與類比推理的結(jié)論都可真可假.,知識(shí)點(diǎn)三合情推理,梳理(1)定義：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過 、 、 、 ，再進(jìn)行 、 ，然后提出 的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.通俗地說，合情推理就是合乎情理的推理. (2)推理的過程,觀察,分析,比較,聯(lián)想,歸納,類比,猜想,1.類比推理得到的結(jié)論可作為定理應(yīng)用.() 2.由個(gè)別到一般的推理為歸納推理.() 3.在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適.(),思考辨析 判斷正誤,題型探究,類型一歸納推理,命題角度1數(shù)、式中的歸納推理 例1(1)觀察下列等式： 1121， (21)(22)2213， (31)(32)(33)23135， 照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_.,解析,答案,(n1)(n2)(nn)2n13(2n1),解析觀察規(guī)律可知，左邊為n項(xiàng)的積，最小項(xiàng)和最大項(xiàng)依次為(n1)，(nn)，右邊為連續(xù)奇數(shù)之積乘以2n，則第n個(gè)等式為(n1)(n2)(nn)2n13(2n1).,(2)已知f(x) ，設(shè)f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n1，且nN*)，則f3(x)的表達(dá)式為_，猜想fn(x)(nN*)的表達(dá)式為_.,解析,答案,又fn(x)fn1(fn1(x)，,解答,引申探究 在本例(2)中，若把“fn(x)fn1(fn1(x)”改為“fn(x)f(fn1(x)”，其他條件不變，試猜想fn(x) (nN*)的表達(dá)式.,又fn(x)f(fn1(x)，,反思與感悟(1)已知等式或不等式進(jìn)行歸納推理的方法 要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中項(xiàng)數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律； 要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形成的特征； 提煉出等式(或不等式)的綜合特點(diǎn)； 運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論. (2)數(shù)列中的歸納推理：在數(shù)列問題中，常常用到歸納推理猜測數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和. 通過已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和； 根據(jù)數(shù)列中的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和與對應(yīng)序號之間的關(guān)系求解； 運(yùn)用歸納推理寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式.,跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a13，滿足Sn62an1(nN*). (1)求a2，a3，a4的值；,解答,解因?yàn)閍13，且Sn62an1(nN*)，,(2)猜想an的表達(dá)式.,解答,命題角度2圖形中的歸納推理 例2有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是 A.26 B.31 C.32 D.36,解析,答案,解析有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)如下表：,由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是65(61)31.故選B.,反思與感悟歸納推理在圖形中的應(yīng)用策略,跟蹤訓(xùn)練2用火柴棒擺“金魚”，如圖所示： 按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為 A.6n2 B.8n2 C.6n2 D.8n2,解析,答案,解析歸納“金魚”圖形的構(gòu)成規(guī)律知，后面“金魚”都比它前面的“金魚”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分，故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項(xiàng)為8，公差是6的等差數(shù)列，所以第n個(gè)“金魚”圖需要的火柴棒的根數(shù)為an8(n1)66n2.,類型二類比推理,解析,答案,解析由于等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，因此當(dāng)?shù)炔顢?shù)列依次每4項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列時(shí)，類比等比數(shù)列為依次每4項(xiàng)的積成等比數(shù)列.下面證明該結(jié)論的正確性： 設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，首項(xiàng)為b1，,反思與感悟已知等差數(shù)列與等比數(shù)列有類似的性質(zhì)，在類比過程中也有一些規(guī)律，如下表所示的部分結(jié)論(其中d，q分別是公差和公比)：,解析,答案,命題角度2幾何中的類比推理 例4如圖，在RtABC中，C90.設(shè)a，b，c分別表示三條邊的長度，由勾股定理，得c2a2b2.類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想.,解答,解如題圖，在RtABC中，C90. 設(shè)a，b，c分別表示3條邊的長度，由勾股定理，得c2a2b2. 類似地，如圖所示，在四面體PDEF中， PDFPDEEDF90. 設(shè)S1，S2，S3和S分別表示PDF，PDE，EDF和PEF的面積， 相對于直角三角形的兩條直角邊a，b和1條斜邊c， 圖中的四面體有3個(gè)“直角面”S1，S2，S3和1個(gè)“斜面”S.,反思與感悟(1)類比推理的一般步驟,(2)中學(xué)階段常見的類比知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列，向量與實(shí)數(shù)，空間與平面，圓與球等等，比如平面幾何的相關(guān)結(jié)論類比到立體幾何的相關(guān)類比點(diǎn)如下,跟蹤訓(xùn)練4在長方形ABCD中，對角線AC與兩鄰邊所成的角分別為，cos2cos21，則在立體幾何中，給出類比猜想并證明.,解答,解在長方形ABCD中，,于是類比到長方體中，猜想其體對角線與共頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為， 則cos2cos2cos21. 證明如下：,達(dá)標(biāo)檢測,1,2,3,4,5,解析,答案,1,2,3,4,5,2.如圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來，那么第36顆珠子的顏色為 A.白色 B.黑色 C.白色可能性大 D.黑色可能性大,解析,答案,解析由題圖知，三白二黑周而復(fù)始相繼排列，根據(jù)3657余1， 可得第36顆應(yīng)與第1顆珠子的顏色相同，即白色.,3.觀察下列各式： ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10等于 A.28 B.76 C.123 D.199 解析利用歸納法：ab1，a2b23，a3b3314，a4b4437，a5b57411，a6b611718，a7b7181129，a8b8291847，a9b9472976，a10b107647123，規(guī)律為從第三組開始，其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和.,1,2,3,4,5,解析,答案,答案,解析,4.在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長的比為12，則它們的面積比為14，類似地，在空間上，若兩個(gè)正四面體的棱長的比為12，則它們的體積比為_.,1,2,3,4,5,18,解析設(shè)兩個(gè)正四面體的體積分別為V1，V2，,5.按照圖1、圖2、圖3的規(guī)律，第10個(gè)圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_.,答案,解析,40,解析圖1中的點(diǎn)數(shù)為414， 圖2中的點(diǎn)數(shù)為824， 圖3中的點(diǎn)數(shù)為1234， 所以圖10中的點(diǎn)數(shù)為10440.,1,2,3,4,5,1.合情推理主要包括歸納推理和類比推理.數(shù)學(xué)研究中，在得到一個(gè)新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向. 2.合情推理的過程概括為,規(guī)律與方法,