第3講導數及其應用,專題六函數與導數,板塊三專題突破核心考點,考情考向分析,1.導數的意義和運算是導數應用的基礎，是高考的一個熱點. 2.利用導數解決函數的單調性與極值(最值)問題是高考的常見題型. 3.導數與函數零點、不等式的結合常作為高考壓軸題出現(xiàn).,熱點分類突破,真題押題精練,內容索引,熱點分類突破,1.函數f(x)在x0處的導數是曲線f(x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率，曲線f(x)在點P處的切線的斜率kf(x0)，相應的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0). 2.求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的不同.,熱點一導數的幾何意義,解析,答案,例1(1)(2018全國)設函數f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)為奇函數，則曲線yf(x)在點(0,0)處的切線方程為 A.y2x B.yx C.y2x D.yx,解析方法一f(x)x3(a1)x2ax， f(x)3x22(a1)xa. 又f(x)為奇函數，f(x)f(x)恒成立， 即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立， a1，f(x)3x21，f(0)1， 曲線yf(x)在點(0,0)處的切線方程為yx. 故選D.,方法二f(x)x3(a1)x2ax為奇函數， f(x)3x22(a1)xa為偶函數， a1，即f(x)3x21，f(0)1， 曲線yf(x)在點(0,0)處的切線方程為yx. 故選D.,解析,答案,(1)求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點. (2)利用導數的幾何意義解題，主要是利用導數、切點坐標、切線斜率之間的關系來進行轉化.以平行、垂直直線斜率間的關系為載體求參數的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關系，進而和導數聯(lián)系起來求解.,解析,答案,跟蹤演練1(1)(2018全國)曲線y2ln x在點(1,0)處的切線方程為_.,2xy20,所以切線方程為y02(x1)，即2xy20.,(2)若函數f(x)ln x(x0)與函數g(x)x22xa(x<0)有公切線，則實數a的取值范圍是 A. B.(1，) C.(1，) D.(ln 2，),解析,答案,解析設公切線與函數f(x)ln x切于點A(x1，ln x1)(x10)，,h(t)在(0,2)上為減函數，,熱點二利用導數研究函數的單調性,1.f(x)0是f(x)為增函數的充分不必要條件，如函數f(x)x3在(，)上單調遞增，但f(x)0. 2.f(x)0是f(x)為增函數的必要不充分條件，當函數在某個區(qū)間內恒有f(x)0時，則f(x)為常函數，函數不具有單調性.,解答,(1)討論函數f(x)的單調性；,當m0時，f(x)0在x(0，)時恒成立， f(x)在(0，)上單調遞增.,綜上所述，當m0時，f(x)在(0，)上單調遞增；,解答,令g(x)0，得1<x< ；令g(x)<0，得 <x<e.,g(x)在(1， )上單調遞增，在( ，e)上單調遞減.,方法二要使f(x)0恒成立，只需f(x)max0，,f(x)maxf(e)4me210，,若m0，,f(x)maxf(e)4me210，,則f(x)maxf(1)m10，m1. 又m2，m2.,利用導數研究函數單調性的一般步驟 (1)確定函數的定義域. (2)求導函數f(x). (3)若求單調區(qū)間(或證明單調性)，只要在函數定義域內解(或證明)不等式f(x)0或f(x)<0即可； 若已知函數的單調性，則轉化為不等式f(x)0或f(x)0在單調區(qū)間上恒成立問題來求解.,跟蹤演練2(1)(2018河南省中原名校質量考評)已知f(x)(x22ax)ln x x22ax在(0，)上是增函數，則實數a的取值范圍是 A.1 B.1 C.(0,1 D.1,0),解析,答案,f(x)在(0，)上是增函數， f(x)0在(0，)上恒成立， 當x1時，f(x)0滿足題意， 當x1時，ln x0，要使f(x)0恒成立， 則xa0恒成立. xa1a，1a0，解得a1， 當0<x<1時，ln x<0，要使f(x)0恒成立， 則xa0恒成立， xa<1a，1a0，解得a1. 綜上所述，a1.,解析,答案,所以f(x)周期為3，f(x)為偶函數， 所以f(2 018)f(2)f(1)f(1)， 令g(x)ex2f(x)， 則g(x)ex2f(x)f(x)0， g(x)在R上單調遞增，g(1)1，,1.若在x0附近左側f(x)0，右側f(x)0，則f(x0)為函數f(x)的極小值. 2.設函數yf(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內可導，則f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在極值點或端點處取得.,熱點三利用導數求函數的極值、最值,解答,例3(2018北京)設函數f(x)ax2(3a1)x3a2ex. (1)若曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線斜率為0，求a；,解因為f(x)ax2(3a1)x3a2ex， 所以f(x)ax2(a1)x1ex，f(2)(2a1)e2.,解答,(2)若f(x)在x1處取得極小值，求a的取值范圍.,解由(1)得f(x)ax2(a1)x1ex(ax1)(x1)ex.,當x(1，)時，f(x)0. 所以f(x)在x1處取得極小值. 若a1，則當x(0,1)時，ax1x10. 所以1不是f(x)的極小值點. 綜上可知，a的取值范圍是(1，).,(1)求函數f(x)的極值，則先求方程f(x)0的根，再檢查f(x)在方程根的左右函數值的符號. (2)若已知極值大小或存在情況，則轉化為已知方程f(x)0根的大小或存在情況來求解. (3)求函數f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值時，在得到極值的基礎上，結合區(qū)間端點的函數值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進行比較得到函數的最值.,解答,跟蹤演練3(2018四川省 “聯(lián)測促改”活動試題)已知函數f(x)是偶函數，且滿足2f(x2)f(x)0，當x(0,2時，f(x)exax(a1)，當x 時，f(x)的最大值為4e216. (1)求實數a的值；,解2f(x2)f(x)0，即2f(x2)f(x)，,當x(0,2時，f(x)exax(a1)，,又a1，f(x)4ex44a0恒成立，,f(x)maxf(2)4e28a， 令4e28a4e216，解得a2.實數a的值為2.,解答,解當x(1,2)時，f(x)ex2x， f(x)ex20， 函數f(x)在(1,2)上單調遞增， 當x(1,2)時，f(x)<f(2)e24.,當b0時，g(x)0， 函數g(x)在區(qū)間(1,2)上單調遞增，,對任意的x1(1,2)，總存在x2(1,2)， 使不等式f(x1)<g(x2)恒成立，,當b<0時，g(x)<0，函數g(x)在區(qū)間(1,2)上單調遞減，,真題押題精練,1.(2017浙江改編)函數yf(x)的導函數yf(x)的圖象如圖所示，則函數yf(x)的圖象可能是_.(填序號),真題體驗,答案,解析,解析觀察導函數f(x)的圖象可知，f(x)的函數值從左到右依次為小于0，大于0，小于0，大于0， 對應函數f(x)的增減性從左到右依次為減、 增、減、增. 觀察圖象可知，排除. 如圖所示，f(x)有3個零點， 從左到右依次設為x1，x2，x3， 且x1，x3是極小值點，x2是極大值點，且x20，故正確.,2.(2017全國改編)若x2是函數f(x)(x2ax1)ex1的極值點，則f(x)的極小值為_.,解析,答案,1,解析函數f(x)(x2ax1)ex1， 則f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1 ex1x2(a2)xa1. 由x2是函數f(x)的極值點，得 f(2)e3(42a4a1)(a1)e30， 所以a1，所以f(x)(x2x1)ex1， f(x)ex1(x2x2). 由ex10恒成立，得當x2或x1時，f(x)0，且x0；當2<x<1時，f(x)<0；,當x1時，f(x)0. 所以x1是函數f(x)的極小值點. 所以函數f(x)的極小值為f(1)1.,3.(2017山東改編)若函數exf(x)(e2.718 28是自然對數的底數)在f(x)的定義域上單調遞增，則稱函數f(x)具有M性質，下列函數中具有M性質的是_.(填序號) f(x)2x; f(x)x2； f(x)3x; f(x)cos x.,解析,答案,解析若f(x)具有性質M， 則exf(x)exf(x)f(x)0在f(x)的定義域上恒成立， 即f(x)f(x)0在f(x)的定義域上恒成立. 對于式，f(x)f(x)2x2xln 22x(1ln 2)0，符合題意. 經驗證，均不符合題意.,xy10,答案,解析,即曲線在點(1,2)處的切線的斜率k1， 切線方程為y2x1，即xy10.,押題預測,答案,解析,押題依據,押題依據曲線的切線問題是導數幾何意義的應用，是高考考查的熱點，對于“在某一點處的切線”問題，也是易錯易混點.,1.設函數yf(x)的導函數為f(x)，若yf(x)的圖象在點P(1，f(1)處的切線方程為xy20，則f(1)f(1)等于 A.4 B.3 C.2 D.1,解析依題意有f(1)1,1f(1)20， 即f(1)3， 所以f(1)f(1)4.,答案,解析,押題依據,押題依據函數的極值是單調性與最值的“橋梁”，理解極值概念是學好導數的關鍵.極值點、極值的求法是高考的熱點.,解析由題意知f(x)3x22axb，f(1)0，f(1)10，,3.已知函數f(x)x2ax3在(0,1)上為減函數，函數g(x)x2aln x在(1,2)上為增函數，則a的值等于_.,答案,解析,押題依據,押題依據函數單調性問題是導數最重要的應用，體現(xiàn)了“以直代曲”思想，要在審題中搞清“在(0,1)上為減函數”與“函數的減區(qū)間為(0,1)”的區(qū)別.,2,解析函數f(x)x2ax3在(0,1)上為減函數，,依題意g(x)0在(1,2)上恒成立， 得2x2a在(1,2)上恒成立， a2，a2.,答案,解析,押題依據,押題依據不等式恒成立或有解問題可以轉化為函數的值域解決.考查了轉化與化歸思想，是高考的一個熱點.,因此函數f(x)在0,1上單調遞增， 所以當x0,1時，f(x)minf(0)1. 根據題意可知存在x1,2， 使得g(x)x22ax41，,則要使ah(x)在1,2上能成立， 只需使ah(x)min，,