第1講空間幾何體,專題四立體幾何與空間向量,板塊三專題突破核心考點,考情考向分析,1.以三視圖為載體，考查空間幾何體面積、體積的計算. 2.考查空間幾何體的側(cè)面展開圖及簡單的組合體問題.,熱點分類突破,真題押題精練,內(nèi)容索引,熱點分類突破,1.一個物體的三視圖的排列規(guī)則 俯視圖放在正(主)視圖的下面，長度與正(主)視圖的長度一樣，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣.即“長對正、高平齊、寬相等”. 2.由三視圖還原幾何體的步驟 一般先依據(jù)俯視圖確定底面再利用正(主)視圖與側(cè)(左)視圖確定幾何體.,熱點一三視圖與直觀圖,例1(1)(2018全國)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來.構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是,解析,答案,解析由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A.,解析,(2)有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，則這塊菜地的面積 為_.,答案,解析如圖，在直觀圖中，過點A作AEBC，垂足為點E，,而四邊形AECD為矩形，AD1，,由此可還原原圖形如圖所示.,且ADBC，ABBC，,空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖問題時，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結(jié)果.在還原空間幾何體實際形狀時，一般是以正(主)視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)(左)視圖進行綜合考慮.,答案,解析,跟蹤演練1(1)(2018衡水調(diào)研)某幾何體的正(主)視圖與俯視圖如圖所示，則其側(cè)(左)視圖可以為,解析由俯視圖與正(主)視圖可知，該幾何體可以是一個三棱柱挖去一個圓柱，因此其側(cè)(左)視圖為矩形內(nèi)有一條虛線，虛線靠近矩形的左邊部分，只有選項B符合題意，故選B.,(2)(2018合肥質(zhì)檢)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱CD，CC1，A1B1的中點，用過點E，F(xiàn)，G的平面截正方體，則位于截面以下部分的幾何體的側(cè)(左)視圖為,答案,解析,解析取AA1的中點H，連接GH，則GH為過點E，F(xiàn)，G的平面與正方體的面A1B1BA的交線. 延長GH，交BA的延長線與點P，連接EP，交AD于點N，則NE為過點E，F(xiàn)，G的平面與正方體的面ABCD的交線. 同理，延長EF，交D1C1的延長線于點Q，連接GQ，交B1C1于點M，則FM為過點E，F(xiàn)，G的平面與正方體的面BCC1B1的交線. 所以過點E，F(xiàn)，G的平面截正方體所得的截面為圖中的六邊形EFMGHN.,故可得位于截面以下部分的幾何體的側(cè)(左)視圖為選項C所示.,熱點二幾何體的表面積與體積,空間幾何體的表面積和體積計算是高考中常見的一個考點，解決這類問題，首先要熟練掌握各類空間幾何體的表面積和體積計算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不規(guī)則幾何體分割成幾個規(guī)則幾何體的技巧，把一個空間幾何體納入一個更大的幾何體中的補形技巧.,答案,例2(1)(2018百校聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為,解析,解析由三視圖可知，該幾何體的下底面是長為4，寬為2的矩形，,所以該幾何體的表面積為,(2)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積 是_，表面積是_.,解析由三視圖知，該幾何體是由四分之一球與半個圓錐組合而成，,解析,答案,(1)求多面體的表面積的基本方法就是逐個計算各個面的面積，然后求和. (2)求簡單幾何體的體積時，若所給的幾何體為柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式求解；求組合體的體積時，若所給定的幾何體是組合體，不能直接利用公式求解，常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等進行求解；求以三視圖為背景的幾何體的體積時，應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.,跟蹤演練2(1)(2018齊魯名校教科研協(xié)作體模擬)中國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中記載了公元前344年商鞅督造一種標準量器商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸)，若取3，其體積為12.6立方寸，則圖中的x為 A.1.6 B.1.8 C.2.0 D.2.4,解析由三視圖知，商鞅銅方升由一圓柱和一長方體組合而成.,解析,解得x1.6.,答案,答案,(2)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是 A.11 B.9 C.7 D.5,解析,解析由三視圖知，該幾何體如圖，它可分成一個三棱錐EABD和一個四棱錐BCDEF，,熱點三多面體與球,與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑.球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心(或“切點”“接點”)作出截面圖.,例3(1)(2018武漢調(diào)研)已知正三棱錐SABC的頂點均在球O的球面上，過側(cè)棱SA及球心O的平面截三棱錐及球面所得截面如圖所示，已知三棱錐的體積為2 ，則球O的表面積為 A.16 B.18 C.24 D.32,答案,解析,解析設(shè)正三棱錐的底面邊長為a，外接球的半徑為R， 因為正三棱錐的底面為正三角形，邊長為a，,解得R2，所以球的表面積為S4R216.,(2)(2018衡水金卷信息卷)如圖是某三棱錐的三視圖，則此三棱錐內(nèi)切球的體積為,答案,解析,解析把此三棱錐嵌入長、寬、高分別為20,24,16的長方體ABCDA1B1C1D1中， 三棱錐BKLJ即為所求的三棱錐， 其中KC19，C1LLB112，B1B16，,則KC1LLB1B，KLB90， 故可求得三棱錐各面面積分別為 SBKL150，SJKL150，SJKB250，SJLB250， 故表面積為S表800.,三棱錐PABC可通過補形為長方體求解外接球問題的兩種情形 (1)點P可作為長方體上底面的一個頂點，點A，B，C可作為下底面的三個頂點. (2)PABC為正四面體，則正四面體的棱都可作為一個正方體的面對角線.,跟蹤演練3(1)(2018咸陽模擬)在三棱錐PABC中，PA平面ABC，ABBC，若AB2，BC3，PA4，則該三棱錐的外接球的表面積為 A.13 B.20 C.25 D.29,答案,解析,解析把三棱錐PABC放到長方體中，如圖所示，,答案,解析,(2)(2018四川成都名校聯(lián)考)已知一個圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，記該圓錐的內(nèi)切球的表面積為S1，外接球的表面積為S2，則 等于 A.12 B.13 C.14 D.18,解析如圖， 由已知圓錐側(cè)面積是底面積的2倍， 不妨設(shè)底面圓半徑為r，l為底面圓周長，R為母線長，,解得R2r，故ADC30，則DEF為等邊三角形， 設(shè)B為DEF的重心，過B作BCDF， 則DB為圓錐的外接球半徑，BC為圓錐的內(nèi)切球半徑，,真題押題精練,1.(2018全國改編)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖.圓柱表面上的點M在正(主)視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱表面上的點N在側(cè)(左)視圖上的對應(yīng)點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為_.,真題體驗,答案,解析,解析先畫出圓柱的直觀圖，根據(jù)題中的三視圖可知，點M，N的位置如圖所示. 圓柱的側(cè)面展開圖及M，N的位置 (N為OP的四等分點)如圖所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑.,2.(2017北京改編)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為_.,解析,解析在正方體中還原該四棱錐，如圖所示， 可知SD為該四棱錐的最長棱. 由三視圖可知，正方體的棱長為2，,答案,3.(2017天津)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體 的表面積為18，則這個球的體積為_.,解析,答案,答案,解析,4.(2017全國)已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐SABC的體積為9，則球O的表面積為_.,36,解析如圖，連接OA，OB. 由SAAC，SBBC，SC為球O的直徑知， OASC，OBSC. 由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC， OA平面SCB. 設(shè)球O的半徑為r，則 OAOBr，SC2r，,押題預(yù)測,答案,解析,押題依據(jù),押題依據(jù)求空間幾何體的表面積或體積是立體幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考命題的熱點.此類題常以三視圖為載體，給出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，求幾何體的表面積或體積.,1.一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示，則該幾何體的表面積為,高PD2的四棱錐PABCD， 因為PD平面ABCD，且四邊形ABCD是正方形， 易得BCPC，BAPA，,答案,解析,押題依據(jù),押題依據(jù)靈活運用正三棱錐中線與棱之間的位置關(guān)系來解決外接球的相關(guān)問題，是高考的熱點.,2.在正三棱錐SABC中，點M是SC的中點，且AMSB，底面邊長AB2 ，則正三棱錐SABC的外接球的表面積為 A.6 B.12 C.32 D.36,解析因為三棱錐SABC為正三棱錐，所以SBAC， 又AMSB，ACAMA，AC，AM平面SAC， 所以SB平面SAC， 所以SBSA，SBSC，同理SASC，,所以SASBSC2， 所以(2R)232212， 所以球的表面積S4R212，故選B.,解析,押題依據(jù),押題依據(jù)求空間幾何體的體積是立體幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考的熱點問題之一，主要是求柱體、錐體、球體或簡單組合體的體積.本題通過球的內(nèi)接圓柱，來考查球與圓柱的體積計算，命題角度新穎，值得關(guān)注.,3.已知半徑為1的球O中內(nèi)接一個圓柱，當圓柱的側(cè)面積最大時，球的體 積與圓柱的體積的比值為_.,答案,解析如圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為r，,