第3講分類討論思想、 轉(zhuǎn)化與化歸思想,思想方法詮釋,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,從近五年高考試題來看,分類討論思想在高考試題中頻繁出現(xiàn),現(xiàn)已成為高考數(shù)學(xué)的一個熱點,也是高考的難點.高考中經(jīng)常會有幾道題,解題思路直接依賴于分類討論,特別在解答題中(尤其導(dǎo)數(shù)與函數(shù))常有一道分類討論求解的把關(guān)題,選擇題、填空題也會出現(xiàn)不同情形的分類討論題.,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,1.分類討論思想的含義 分類討論思想就是當(dāng)問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時,首先需要把研究對象按某個標(biāo)準(zhǔn)分類,然后對每一類分別研究,得出每一類的結(jié)論,最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答. 2.分類討論的原則 (1)不重不漏;(2)標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一,層次要分明;(3)能不分類的要盡量避免,決不無原則地討論. 3.分類討論的常見類型 (1)由數(shù)學(xué)概念而引起的分類討論;(2)由數(shù)學(xué)運算要求而引起的分類討論;(3)由性質(zhì)、定理、公式的限制而引起的分類討論;(4)由圖形的不確定性而引起的分類討論;(5)由參數(shù)的變化而引起的分類討論;(6)由實際意義引起的討論.,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,應(yīng)用一由數(shù)學(xué)的概念引起的分類討論 例1已知a,b0,且a1,b1.若logab1,則() A.(a-1)(b-1)0 C.(b-1)(b-a)0,答案 D,解析 當(dāng)01得b0,(a-1)(a-b)0. 排除A,B,C. 當(dāng)a1時,由logab1得ba1. b-a0,b-10. (b-1)(b-a)0.故選D.,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,思維升華由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論有:絕對值的定義、二次函數(shù)的定義、分段函數(shù)的定義、異面直線所成角的定義、直線的斜率、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)等.,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,突破訓(xùn)練1若函數(shù)f(x)=ln(ax2+x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍為.,解析 若函數(shù)f(x)=ln(ax2+x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增, 即函數(shù)g(x)=ax2+x在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增, 當(dāng)a=0時,g(x)=x在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,符合題意,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,應(yīng)用二由數(shù)學(xué)運算、性質(zhì)、定理、公式引起的分類討論 例2設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn.若S3+S6=2S9,則數(shù)列的公比q是(),答案 C,解析 若q=1,則有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1,但a10, 即得S3+S62S9,與題設(shè)矛盾,故q1.,化簡,得q3(2q6-q3-1)=0,即(2q3+1)(q3-1)=0, 因為q1,所以q3-10,則2q3+1=0,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,思維升華1.在中學(xué)數(shù)學(xué)中,一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,基本不等式,等比數(shù)列的求和公式等在不同的條件下有不同的結(jié)論,或者在一定的限制條件下才成立,應(yīng)根據(jù)題目條件確定是否進行分類討論. 2.有些分類討論的問題是由運算的需要引發(fā)的.比如除以一個數(shù)時,這個數(shù)能否為零的討論;解方程及不等式時,兩邊同乘一個數(shù)是零、是正數(shù)、還是負(fù)數(shù)的討論;二次方程運算中對兩根大小的討論;差值比較中的差的正負(fù)的討論;有關(guān)去絕對值或根號問題中等價變形引發(fā)的討論等.,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,突破訓(xùn)練2若關(guān)于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0對一切xR恒成立,則a的取值范圍是() A.(-,2B.-2,2 C.(-2,2D.(-,-2),答案 C,解析 當(dāng)a-2=0,即a=2時,不等式為-4<0,滿足題意,所以a=2; 當(dāng)a-20,則a滿足 解得-2<a<2,所以a的取值范圍是a|-2<a2.,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,應(yīng)用三根據(jù)字母的取值情況分類討論 例3已知a,bR,且exa(x-1)+b對xR恒成立,則ab的最大值是(),答案 A,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,解析 令f(x)=ex-a(x-1)-b,則f(x)=ex-a, 若a=0,則f(x)=ex-b-b0,得b0,此時ab=0; 若a0,函數(shù)單調(diào)增,x-,此時f(x)-, 不可能恒有f(x)0. 若a0,由f(x)=ex-a=0,得極小值點x=ln a, 由f(ln a)=a-aln a+a-b0,得ba(2-ln a), aba2(2-ln a).令g(a)=a2(2-ln a).,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,思維升華含有參數(shù)的分類討論問題主要包括:(1)含有參數(shù)的不等式的求解;(2)含有參數(shù)的方程的求解;(3)函數(shù)解析式中含參數(shù)的最值與單調(diào)性問題;(4)二元二次方程表示曲線類型的判定等.,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,突破訓(xùn)練3若函數(shù)f(x)=aex-x-2a有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍是(),答案 D,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,1.簡化分類討論的策略:(1)消去參數(shù);(2)整體換元;(3)變更主元;(4)考慮反面;(5)整體變形;(6)數(shù)形結(jié)合;(7)縮小范圍等. 2.分類討論遵循的原則是:不遺漏、不重復(fù),科學(xué)地劃分,分清主次,不越級討論.,思想方法詮釋,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位,數(shù)學(xué)問題的解決,離不開轉(zhuǎn)化與化歸,如未知向已知的轉(zhuǎn)化、新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學(xué)問題之間的互相轉(zhuǎn)化、實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化等.,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,1.轉(zhuǎn)化與化歸思想的含義 轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法,就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時,采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化,進而得到解決的一種思想方法. 2.轉(zhuǎn)化與化歸的原則 (1)熟悉化原則;(2)簡單化原則;(3)直觀化原則;(4)正難則反原則;(5)等價性原則. 3.常見的轉(zhuǎn)化與化歸的方法 (1)直接轉(zhuǎn)化法;(2)換元法;(3)數(shù)形結(jié)合法;(4)構(gòu)造法;(5)坐標(biāo)法;(6)類比法;(7)特殊化方法;(8)等價問題法;(9)補集法.,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,應(yīng)用一特殊與一般的轉(zhuǎn)化,答案 A,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,思維升華1.當(dāng)問題難以入手時,應(yīng)先對特殊情形進行觀察、分析,發(fā)現(xiàn)問題中特殊的數(shù)量或關(guān)系,再推廣到一般情形,以完成從特殊情形的研究到一般問題的解答的過渡,這就是特殊化的化歸策略. 2.數(shù)學(xué)題目有的具有一般性,有的具有特殊性,解題時,有時需要把一般問題化歸為特殊問題,有時需要把特殊問題化歸為一般問題.,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,突破訓(xùn)練1在定圓C:x2+y2=4內(nèi)過點P(-1,1)作兩條互相垂直的直線與C分別交于A,B和M,N,則 的取值范圍是.,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,應(yīng)用二命題的等價轉(zhuǎn)化 例2若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱,則f(x)的最大值為.,答案 16,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,(法二)據(jù)已知可設(shè)f(x)=-(x+2)4+m(x+2)2+n,據(jù)f(1)=f(-1)=0, 解出m=10,n=-9, 則f(x)=-(x+2)4+10(x+2)2-9 =-(x+2)2-52+16, 故最大值為16.,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,轉(zhuǎn)化一 若只根據(jù)f(x)圖象關(guān)于直線x=-2對稱,得零點對稱,條件轉(zhuǎn)化為f(-1)=f(-3),f(1)=f(-5),解得a=8,b=15,其余由求導(dǎo)完成,恐有因式分解的障礙. 轉(zhuǎn)化二 由于函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,當(dāng)x取一對相反數(shù)時,函數(shù)值不變,將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移2個單位,得函數(shù)y=f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱,當(dāng)(x+2)取一對相反數(shù)時,函數(shù)值不變,于是,函數(shù)的解析式只能含(x+2)的偶次方. 思維升華將已知條件進行轉(zhuǎn)換,有幾種轉(zhuǎn)換方法就有可能得出幾種解題方法.,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,答案 D,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,應(yīng)用三常量與變量的轉(zhuǎn)化 例3已知函數(shù)f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).對滿足-1a1的一切a的值,都有g(shù)(x)<0,則實數(shù)x的取值范圍為.,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,思維升華在處理多變量的數(shù)學(xué)問題時,當(dāng)常量(或參數(shù))在某一范圍取值,求變量x的范圍時,經(jīng)常進行常量與變量之間的轉(zhuǎn)化,即可以選取其中的參數(shù),將其看作是變量,而把變量看作是常量,從而達到簡化運算的目的.,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,突破訓(xùn)練3設(shè)f(x)是定義在R上的增函數(shù),若f(1-ax-x2)f(2-a)對任意a-1,1恒成立,則x的取值范圍為.,答案 (-,-10,+) 解析 因為f(x)是R上的增函數(shù),所以1-ax-x22-a,a-1,1. (*) (*)式可化為(x-1)a+x2+10對a-1,1恒成立. 令g(a)=(x-1)a+x2+1,解得x0或x-1, 即實數(shù)x的取值范圍是(-,-10,+).,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,應(yīng)用四函數(shù)、方程與不等式之間的轉(zhuǎn)化 例4關(guān)于x的不等式x+ -1-a2+2a0對x(0,+)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為.,答案 (-1,3),思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,思維升華函數(shù)、方程與不等式三者之間存在著密不可分的聯(lián)系,解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助,解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助,因此借助于函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化可以將問題化繁為簡,常常將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題;將證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與最值問題;將方程的求解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題、兩個函數(shù)圖象的交點問題等.,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,突破訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)=3e|x|.若存在實數(shù)t-1,+),使得對任意的x1,m,mZ,且m1,都有f(x+t)3ex,求m的最大值.,解 因為當(dāng)t-1,+),且x1,m時,x+t0, 所以f(x+t)3exex+text1+ln x-x. 所以原命題等價轉(zhuǎn)化為:存在實數(shù)t-1,+),使得不等式t1+ln x-x對任意x1,m恒成立. 令h(x)=1+ln x-x(x1). 因為h(x)= -10, 所以函數(shù)h(x)在1,+)內(nèi)為減函數(shù). 又x1,m,所以h(x)min=h(m)=1+ln m-m. 所以要使得對任意x1,m,t值恒存在,只需1+ln m-m-1.,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,且函數(shù)h(x)在1,+)內(nèi)為減函數(shù), 所以滿足條件的最大整數(shù)m的值為3.,思想分類應(yīng)用,應(yīng)用方法歸納,思想方法詮釋,1.在應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時,沒有一個統(tǒng)一的模式,它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進行轉(zhuǎn)換. 2.轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用 (1)在三角函數(shù)和解三角形中,主要的方法有公式的“三用”(順用、逆用、變形用)、角度的轉(zhuǎn)化、函數(shù)的轉(zhuǎn)化、通過正弦、余弦定理實現(xiàn)邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化. (2)在解決平面向量與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等知識的綜合題目時,常將平面向量語言與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何語言進行轉(zhuǎn)化. (3)在解決數(shù)列問題時,常將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解. (4)在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時,常將函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)、切線問題,轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)f(x)構(gòu)成的方程、不等式問題求解.,