第4講從審題中尋找解題思路,審題亦即提取有效信息,挖掘隱含信息,提煉關(guān)鍵信息.條件是題目的“泉眼”.為考察學(xué)生的觀察、理解、分析、推理等能力,高考試題往往變換概念的表述形式,精簡(jiǎn)試題從條件到結(jié)論的中間環(huán)節(jié),透析試題的條件之間的聯(lián)系,隱去問題涉及的數(shù)學(xué)思想及背景.如何科學(xué)地審題是同學(xué)們最需要掌握的基本技能.事實(shí)上,審題能力的培養(yǎng)并未引起應(yīng)有的重視,很多同學(xué)熱衷于題型的總結(jié)與解題方法和技巧的訓(xùn)練,把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等同于解題訓(xùn)練,一味地機(jī)械模仿導(dǎo)致應(yīng)變能力不強(qiáng),遇到陌生的問題往往束手無策,致使解題失誤或陷入誤區(qū).,審題和解題是解答數(shù)學(xué)試題的重要兩步,其中,審題是解題的前提,詳細(xì)全面地審題為順利解題掃除大部分障礙,正確把握數(shù)學(xué)試題中的已知條件和所求,從題目關(guān)鍵詞語中挖掘隱含條件、啟發(fā)解題思路,最短時(shí)間內(nèi)理解條件和結(jié)論所包含的詳細(xì)信息是保障解題效率與解題質(zhì)量的必需條件.解題作為審題活動(dòng)的升華,是全面解答數(shù)學(xué)試題的核心.,怎樣才算審清題意了呢?主要是弄清題目已經(jīng)告訴了什么信息,需要我們?nèi)プ鍪裁?從題目本身獲取“如何解這道題”的邏輯起點(diǎn)、推理目標(biāo)以及溝通起點(diǎn)與目標(biāo)之間聯(lián)系的更多信息.試題的條件和結(jié)論是兩個(gè)信息源,為了從中獲取盡可能多的信息,我們要字斟句酌地分析條件、分析結(jié)論、分析條件與結(jié)論之間的關(guān)系,常常還要輔以圖形或記號(hào),以求手段與目標(biāo)的統(tǒng)一.,一,二,三,四,五,六,七,一、審清條件信息 審視條件一般包括“挖掘隱含信息、洞察結(jié)構(gòu)特征、洞悉圖形趨勢(shì)、研讀圖表數(shù)據(jù)”等幾方面. 審題時(shí)要避開過去熟悉的同類題目的影響,看似相同,就按過去同類型題目進(jìn)行求解,要審出同還是不同,不能似是而非.,一,二,三,四,五,六,七,例1在ABC中,D為邊BC上一點(diǎn),BD= DC,ADB=120,AD=2,若ADC的面積為3- ,則BAC=.,答案 60,一,二,三,四,五,六,七,一,二,三,四,五,六,七,一,二,三,四,五,六,七,審題指導(dǎo)一 先作出草圖了解題意,由ADC的面積為3- DCDBBC. 在ADC中,由余弦定理得AC,在ABD中,由余弦定理得AB,在ABC中,由余弦定理得BAC. 審題指導(dǎo)二 考慮已知的條件ADB=120,AD=2,SADC=3- ,作AEBC,在RtDAE中易得AE,DE,由SADC易得DC,從而得BC;分別在RtAEC,RtAEB中由勾股定理易得AC,AB,這樣由余弦定理得BAC. 審題指導(dǎo)三 在審題指導(dǎo)二得出AE,DE,BE后,如能及時(shí)審視出AE=BE,則有EAB=45,在RtAEC中易求tanEAC,從而利用tanBAC=tan(45+EAC)得出BAC.,一,二,三,四,五,六,七,二、審條件中的隱含 有的數(shù)學(xué)試題條件并不明顯,審題時(shí)要注意挖掘隱含條件和信息,對(duì)條件進(jìn)行再認(rèn)識(shí)、再加工,只有這樣,方可避免因忽視隱含條件而出現(xiàn)錯(cuò)誤.要注意已知條件中的概念本身容易疏忽的限定信息,關(guān)注問題中易于疏忽的特殊情形、可能情形,相近概念之間的差異,要清晰定理成立、公式存在的前提.,一,二,三,四,五,六,七,例2(1)若鈍角三角形三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列,且最大邊長(zhǎng)與最小邊長(zhǎng)的比值為m,則m的取值范圍是() A.(1,2)B.(2,+) C.3,+)D.(3,+) (2)設(shè)點(diǎn)P在曲線y= ex上,點(diǎn)Q在曲線y=ln(2x)上,則|PQ|的最小值為(),答案 (1)B(2)B,一,二,三,四,五,六,七,一,二,三,四,五,六,七,一,二,三,四,五,六,七,一,二,三,四,五,六,七,一,二,三,四,五,六,七,三、審條件中的結(jié)構(gòu)特征 高考數(shù)學(xué)試題中的已知條件,很多都是以數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行搭配和呈現(xiàn)的.在這些問題的數(shù)式結(jié)構(gòu)中,往往隱含著某種特殊關(guān)系,我們不僅要認(rèn)真審視數(shù)式的淺層結(jié)構(gòu)特征,還要對(duì)數(shù)式結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入的分析、加工、轉(zhuǎn)化,努力弄清其深層結(jié)構(gòu)特征,在這個(gè)逐步清晰的過程中,力爭(zhēng)尋找到突破問題的方案.,一,二,三,四,五,六,七,例3已知an是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列bn滿足b1=1,b2= , anbn+1+bn+1=nbn. (1)求an的通項(xiàng)公式; (2)求bn的前n項(xiàng)和.,一,二,三,四,五,六,七,一,二,三,四,五,六,七,四、審圖形特點(diǎn)尋簡(jiǎn)捷 在一些高考數(shù)學(xué)試題中,問題的條件往往是以圖形的形式給出,或?qū)l件隱含在圖形之中,因此在審題時(shí),最好畫一個(gè)圖,并在圖中標(biāo)出必要的條件和數(shù)據(jù),畫圖的過程是一個(gè)熟悉問題的過程,是一個(gè)對(duì)已知條件進(jìn)行再認(rèn)識(shí)的過程.不僅如此,還要善于觀察圖形,洞悉圖形所隱含的特殊的關(guān)系、數(shù)值的特點(diǎn)、變化的趨勢(shì),抓住圖形的特征,利用圖形所提供的信息來解決問題.,一,二,三,四,五,六,七,例4函數(shù)y=2x2-e|x|在-2,2的圖象大致為(),一,二,三,四,五,六,七,答案 D 解析 特殊值驗(yàn)證法,取x=2,則y=24-e28-2.71820.6(0,1),排除A,B; 當(dāng)0<x<2時(shí),y=2x2-ex,則y=4x-ex, 由函數(shù)零點(diǎn)的判定可知,y=4x-ex在(0,2)內(nèi)存在零點(diǎn), 即函數(shù)y=2x2-ex在(0,2)內(nèi)有極值點(diǎn),排除C,故選D.,一,二,三,四,五,六,七,審題指導(dǎo) 這類題型的最佳解法應(yīng)為結(jié)合函數(shù)的性質(zhì),選取特殊點(diǎn)進(jìn)行排除.y=f(x)=2x2-e|x|為偶函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)=4x-ex,作y=4x與y=ex的圖象如圖所示,故存在實(shí)數(shù)x0(0,1),使得f(x0)=0,則當(dāng)x(0,x0)時(shí),f(x0)0,所以f(x)在(0,x0)內(nèi)單調(diào)遞減,在(x0,2)內(nèi)單調(diào)遞增,又f(2)=8-e28-7.4=0.6,故選D.,一,二,三,四,五,六,七,五、審圖表數(shù)據(jù)找關(guān)聯(lián) 數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一.此類問題關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活,其試題中的圖表、數(shù)據(jù)隱藏著豐富的數(shù)據(jù)和信息及其內(nèi)在聯(lián)系,也往往暗示著解決問題的目標(biāo)和方向,要求考生發(fā)現(xiàn)生活中的問題,學(xué)著運(yùn)用課堂上學(xué)到的知識(shí)來分析、解決.在審題時(shí),要認(rèn)真觀察分析圖表、數(shù)據(jù)的特征和規(guī)律,找到其中的內(nèi)在聯(lián)系,為解決問題提供有效的途徑.,一,二,三,四,五,六,七,例5某公司計(jì)劃購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面條形圖.,記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元),n表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).,一,二,三,四,五,六,七,(1)若n=19,求y與x的函數(shù)解析式; (2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5,求n的最小值; (3)假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買19個(gè)易損零件,或每臺(tái)都購(gòu)買20個(gè)易損零件,分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買19個(gè)還是20個(gè)易損零件?,一,二,三,四,五,六,七,解 (1)當(dāng)x19時(shí),y=3 800; 當(dāng)x19時(shí),y=3 800+500(x-19)=500 x-5 700. 所以y與x的函數(shù)解析式為,(2)由條形圖知,需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46,不大于19的頻率為0.7,故n的最小值為19.,一,二,三,四,五,六,七,(3)若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買19個(gè)易損零件,則這100臺(tái)機(jī)器中有70臺(tái)在購(gòu)買易損零件上的費(fèi)用為3 800,20臺(tái)的費(fèi)用為4 300,10臺(tái)的費(fèi)用為4 800,因此這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為 (3 80070+4 30020+4 80010)=4 000. 若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買20個(gè)易損零件,則這100臺(tái)機(jī)器中有90臺(tái)在購(gòu)買易損零件上的費(fèi)用為4 000,10臺(tái)的費(fèi)用為4 500,因此這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為 (4 000 90+4 50010)=4 050. 比較兩個(gè)平均數(shù)可知,購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買19個(gè)易損零件.,一,二,三,四,五,六,七,審題指導(dǎo) 把統(tǒng)計(jì)與函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查,有綜合性但難度不大. (1)當(dāng)n=19時(shí),探求y與x的函數(shù)解析式,由于機(jī)器使用前額外購(gòu)買這種零件的價(jià)格與機(jī)器使用期間再購(gòu)買這種零件的價(jià)格不同,需對(duì)1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)x與購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù)n=19加以比較,自然應(yīng)用分類討論思想對(duì)x19與x19,分別探求y與x的函數(shù)解析式; (2)本題的統(tǒng)計(jì)圖表不是高頻考查的頻率分布直方圖,而是統(tǒng)計(jì)圖表中的條形圖; (3)許多考生沒有讀懂題意,本問是判斷購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買19個(gè)還是20個(gè)易損零件,而判斷的決策依據(jù)是:這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù),為此需計(jì)算兩種方案時(shí)的平均數(shù).每一種方案,如何求解其平均數(shù)呢?自然借助于條形圖!,一,二,三,四,五,六,七,六、審結(jié)論善轉(zhuǎn)換 結(jié)論是解題的最終目標(biāo),解決問題的思維在很多情形下都是在目標(biāo)意識(shí)下啟動(dòng)和定向的.審視結(jié)論是要探索已知條件和結(jié)論間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化規(guī)律,可以從結(jié)論中捕捉解題信息,確定解題方向.有些問題的結(jié)論看似不明確或不利于解決,我們可以轉(zhuǎn)換角度,達(dá)到解決問題的目的.,一,二,三,四,五,六,七,例6如圖,已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6.頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G. (1)證明G是AB的中點(diǎn); (2)在題圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由),并求四面體PDEF的體積.,一,二,三,四,五,六,七,解 (1)因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D, 所以ABPD. 因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投影為E,所以ABDE.所以AB平面PED,故ABPG.又由已知可得,PA=PB,從而G是AB的中點(diǎn). (2)在平面PAB內(nèi),過點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F,F即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.,一,二,三,四,五,六,七,理由如下:由已知可得PBPA,PBPC, 又EFPB,所以EFPA,EFPC. 因此EF平面PAC,即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影. 連接CG, 因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以D是正三角形ABC的中心. 由(1)知,G是AB的中點(diǎn),所以D在CG上,一,二,三,四,五,六,七,審題指導(dǎo) (1)本題條件中出現(xiàn)正三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,可得ABPD,又D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,則ABDE,AB平面PED;而待證G是AB的中點(diǎn),由于PA=PB,只需證明ABPG.,一,二,三,四,五,六,七,七、審已知與結(jié)論建聯(lián)系 高考試題的條件和結(jié)論是兩個(gè)信息源,其條件和結(jié)論,很多都是以數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行搭配和呈現(xiàn)的.弄清問題不僅要弄清條件,弄清結(jié)論,而且還要弄清條件與所求結(jié)論的相互聯(lián)系,以求手段與目標(biāo)的統(tǒng)一.,一,二,三,四,五,六,七,一,二,三,四,五,六,七,1.試題的條件和結(jié)論是解題的兩個(gè)信息源,題目的條件對(duì)于得出結(jié)論是充分的,解題的鑰匙就放在題目的條件里,其中的許多信息常常是通過語言文字、公式符號(hào)以及它們之間的聯(lián)系間接地告訴我們,所以,審題要逐字逐句看清楚,力求從語法結(jié)構(gòu)、邏輯關(guān)系、數(shù)字含義、條件特征、答題形式、數(shù)據(jù)聯(lián)系等各方面真正弄懂題意.只有細(xì)致審題才能挖掘出來,讓其“現(xiàn)出原形”,避免發(fā)生會(huì)而不對(duì)、對(duì)而不全的現(xiàn)象.欲速則不達(dá),磨刀不誤砍柴工,審題不要怕慢!當(dāng)然這有待于平時(shí)的審題訓(xùn)練. 2.審題決定成敗.審題是解題的一個(gè)重要步驟,通過審題收集信息、加工信息,熟悉題目并深入到題目?jī)?nèi)部去思考,去分析,我們就會(huì)找到問題解決的突破口.審題是通向成功的起點(diǎn),也是成功的歸宿.,