8.3空間點、直線、平面之間 的位置關(guān)系,知識梳理,考點自測,1.平面的基本性質(zhì),兩點,同一條直線上的三點,知識梳理,考點自測,有且只有一條,知識梳理,考點自測,平行,相交,任何,銳角(或直角),知識梳理,考點自測,4.等角定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補(bǔ). 5.直線與平面的位置關(guān)系有平行、相交、在平面內(nèi)三種情況. 6.平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況.,知識梳理,考點自測,1.公理2的三個推論 推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面. 推論2:經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面. 推論3:經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面. 2.異面直線判定的一個定理 過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線,與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線.,知識梳理,考點自測,知識梳理,考點自測,1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”. (1)兩個不重合的平面只能把空間分成四個部分.() (2)兩個平面,有一個公共點A,就說,相交于A點,記作=A. () (3)已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,則c與b不可能是平行直線. () (4)兩個不重合的平面,有一條公共直線a,就說平面,相交,并記作=a. () (5)若a,b是兩條直線,是兩個平面,且a,b,則a,b是異面直線. (),知識梳理,考點自測,2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為BC,BB1的中點,則下列直線與直線EF相交的是() A.直線AA1 B.直線A1B1 C.直線A1D1 D.直線B1C1,D,解析:只有B1C1與EF在同一平面內(nèi),是相交的.選項A,B,C中直線與EF都是異面直線,故選D.,知識梳理,考點自測,3.已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,則c與b () A.一定是異面直線B.一定是相交直線 C.不可能是平行直線D.不可能是相交直線,C,解析:由已知得,直線c與b可能為異面直線,也可能為相交直線,但不可能為平行直線,若bc,則ab,與已知a,b為異面直線相矛盾.,知識梳理,考點自測,4.(2017全國,文6)如圖,在下列四個正方體中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,Q為所在棱的中點,則在這四個正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是(),A,知識梳理,考點自測,解析:易知選項B中,ABMQ,且MQ平面MNQ,AB平面MNQ,則AB平面MNQ;選項C中,ABMQ,且MQ平面MNQ,AB平面MNQ,則AB平面MNQ;選項D中,ABNQ,且NQ平面MNQ,AB平面MNQ,則AB平面MNQ.故排除選項B,C,D.故選A.,知識梳理,考點自測,5.下列命題正確的個數(shù)為. 經(jīng)過三點確定一個平面; 梯形可以確定一個平面; 兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面; 若兩個平面有三個公共點,則這兩個平面重合.,2,解析:經(jīng)過不共線的三點可以確定一個平面,不正確;兩條平行線可以確定一個平面,正確;兩兩相交的三條直線可以確定一個或三個平面,正確;命題中沒有說清三個點是否共線,不正確.,考點一,考點二,考點三,平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用 例1(1)如圖所示,四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形,BAD= FAB=90, ,G,H分別為FA,FD的中點. 四邊形BCHG的形狀是; 點C,D,E,F,G中,能共面的四點是. (2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,對角線A1C與平面BDC1交于點O,AC與BD交于點M,則點O與直線C1M的關(guān)系是.,平行四邊形,C,D,E,F,點O在直線C1M上,考點一,考點二,考點三,考點一,考點二,考點三,(2)如圖所示,因為A1C平面A1ACC1,OA1C,所以O(shè)平面A1ACC1,而O是平面BDC1與直線A1C的交點,所以O(shè)平面BDC1,所以點O在平面BDC1與平面A1ACC1的交線上.因為ACBD=M,所以M平面BDC1.又M平面A1ACC1,所以平面BDC1平面A1ACC1=C1M,所以O(shè)C1M.,考點一,考點二,考點三,思考共面、共線、共點問題的證明有哪些方法? 解題心得共面、共線、共點問題的證明 (1)證明點或線共面問題的兩種方法:首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面,然后證其余的線(或點)在這個平面內(nèi);將所有條件分為兩部分,然后分別確定平面,再證兩平面重合. (2)證明點共線問題的兩種方法:先由兩點確定一條直線,再證其他各點都在這條直線上;直接證明這些點都在同一條特定直線上. (3)證明線共點問題的常用方法是:先證其中兩條直線交于一點,再證其他直線經(jīng)過該點.,考點一,考點二,考點三,對點訓(xùn)練1(1)如圖,=l,A,B,C,且Cl,直線ABl=M,過A,B,C三點的平面記作,則與的交線必通過() A.點A B.點B C.點C但不過點M D.點C和點M (2)以下四個命題中: 不共面的四點中,其中任意三點不共線;若點A,B,C,D共面,點A,B,C,E共面,則點A,B,C,D,E共面;若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面;依次首尾相接的四條線段必共面.正確命題的個數(shù)是() A.0B.1C.2D.3,D,B,考點一,考點二,考點三,解析: (1)A,B,MAB,M. 又=l,Ml,M. 根據(jù)公理3可知,M在與的交線上. 同理可知,點C也在與的交線上. (2)正確,否則三點共線和第四點必共面;錯,如圖三棱錐,能符合題意,但A,B,C,D,E不共面;從的幾何體知,錯;由空間四邊形可知,錯.,考點一,考點二,考點三,空間兩條直線的位置關(guān)系(多考向) 考向1兩直線位置關(guān)系的判定 例2a,b,c為三條不重合的直線,已知下列結(jié)論: 若ab,ac,則bc; 若ab,ac,則bc; 若ab,bc,則ac. 其中正確的個數(shù)為() A.0B.1C.2D.3,B,解析:方法一:在空間中,若ab,ac,則b,c可能平行,也可能相交,還可能異面,所以錯誤,顯然成立. 方法二:構(gòu)造長方體或正方體模型可快速判斷,錯誤,正確.,思考如何比較直觀地判斷兩直線的位置關(guān)系?,考點一,考點二,考點三,考向2異面直線的判定 例3如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點,有以下四個結(jié)論: 直線AM與CC1是相交直線; 直線AM與BN是平行直線; 直線BN與MB1是異面直線; 直線AM與DD1是異面直線. 其中正確的結(jié)論為(把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上).,解析:因為點A在平面CDD1C1外,點M在平面CDD1C1內(nèi),直線CC1在平面CDD1C1內(nèi),CC1不過點M,所以AM與CC1是異面直線,故錯;取DD1中點E,連接AE,則BNAE,但AE與AM相交,故錯;因為點B1與直線BN都在平面BCC1B1內(nèi),點M在平面BCC1B1外,BN不過點B1,所以BN與MB1是異面直線,故正確;同理正確.故填.,考點一,考點二,考點三,思考空間兩條直線位置關(guān)系的判定方法有哪些?,考點一,考點二,考點三,考向3異面直線所成的角 例4(2017全國,理10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中, ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(),C,解析:方法一:如圖,取AB,BB1,B1C1的中點M,N,P,連接MN,NP,PM, 可知AB1與BC1所成的角等于MN與NP所成的角.,考點一,考點二,考點三,考點一,考點二,考點三,思考求異面直線所成角的方法有哪些?,考點一,考點二,考點三,解題心得1.點、線、面之間的位置關(guān)系可借助正方體為模型,以正方體為主線直觀感知并認(rèn)識空間點、線、面的位置關(guān)系,準(zhǔn)確判定線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直. 2.空間兩條直線位置關(guān)系的判定方法,考點一,考點二,考點三,3.求解異面直線所成角的方法,考點一,考點二,考點三,對點訓(xùn)練2(1)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面內(nèi),l2在平面內(nèi),l是平面與平面的交線,則下列命題正確的是() A.l與l1,l2都不相交 B.l與l1,l2都相交 C.l至多與l1,l2中的一條相交 D.l至少與l1,l2中的一條相交 (2)若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿足l1l2,l2l3,l3l4,則下列結(jié)論一定正確的是() A.l1l4 B.l1l4 C.l1與l4既不垂直也不平行 D.l1與l4的位置關(guān)系不確定,D,D,考點一,考點二,考點三,(3)在圖中,G,N,M,H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有.(填上所有正確答案的序號),考點一,考點二,考點三,(4)(2017四川成都三診,文8)在我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中,將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑,如圖,在鱉臑ABCD中,AB平面BCD,且AB=BC=CD,則異面直線AC與BD所成角的余弦值為(),A,考點一,考點二,考點三,解析: (1)l1與l在平面內(nèi),l2與l在平面內(nèi),若l1,l2與l都不相交,則l1l,l2l,根據(jù)直線平行的傳遞性,則l1l2,與已知矛盾,故l至少與l1,l2中的一條相交. (2)構(gòu)造如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1,取l1為AD,l2為AA1,l3為A1B1,當(dāng)取l4為B1C1時,l1l4,當(dāng)取l4為BB1時,l1l4,故排除A,B,C,選D.,考點一,考點二,考點三,(3)圖中,直線GHMN;圖中,G,H,N三點共面,但M平面GHN,因此直線GH與MN異面;圖中,連接GM,則GMHN,因此GH與MN共面;圖中,G,M,N共面,但H平面GMN,因此GH與MN異面.所以在圖中,GH與MN異面. (4)如圖所示,分別取AB,AD,BC,BD的中點E,F,G,O, 則EFBD,EGAC,FOOG, FEG為異面直線AC與BD所成角.,考點一,考點二,考點三,空間中線面的位置關(guān)系 例5設(shè)直線m與平面相交但不垂直,則下列說法正確的是() A.在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直 B.過直線m有且只有一個平面與平面垂直 C.與直線m垂直的直線不可能與平面平行 D.與直線m平行的平面不可能與平面垂直,B,考點一,考點二,考點三,解析:如圖,m是平面的斜線,PA,l,lAB,則lm,平面內(nèi)所有與l平行的直線都垂直于m,故A錯; 由題意可知過m有且只有一個平面PAB與平面垂直,假設(shè)有兩個平面都與平面垂直,則這兩個平面的交線m應(yīng)與平面垂直,與條件矛盾,故B正確; 又l,ll,l, lm,lm,故C錯; 又在平面內(nèi)取不在直線AB上的一點D, 過D可作平面與平面PAB平行, m, 平面PAB,平面,故D錯.,考點一,考點二,考點三,思考如何借助空間圖形確定線面位置關(guān)系? 解題心得解決這類問題的關(guān)鍵就是熟悉直線與直線、直線與平面、平面與平面的各種位置關(guān)系及相應(yīng)的公理定理,歸納整理平面幾何中成立但立體幾何中不成立的命題,并在解題過程中注意避免掉入由此設(shè)下的陷阱.判斷時可由易到難進(jìn)行,一般是作圖分析,構(gòu)造出符合題設(shè)條件的圖形或反例來判斷.,考點一,考點二,考點三,對點訓(xùn)練3已知正方體ABCD-A1B1C1D1,點P,Q,R分別是線段B1B,AB和A1C上的動點,觀察直線CP與D1Q,CP與D1R,給出下列結(jié)論: 對于任意給定的點P,存在點Q,使得D1QCP; 對于任意給定的點Q,存在點P,使得CPD1Q; 對于任意給定的點P,存在點R,使得D1RCP; 對于任意給定的點R,存在點P,使得CPD1R. 其中正確的結(jié)論是.(填序號),考點一,考點二,考點三,解析:當(dāng)點P與B重合時,DD1CP,若D1QCP,又DD1D1Q=D1,則CP平面DD1Q,CPDQ,此時,在AB上不存在點Q使CPDQ,所以錯誤; 當(dāng)點P與B1重合時,CPAB,且CPAD1,所以CP平面ABD1. 因為對于任意給定的點Q,都有D1Q平面ABD1,所以對于任意給定的點Q,存在點P,使得CPD1Q,所以正確; 只有CP垂直D1R在平面BCC1B1中的射影時,D1RCP,所以正確; 當(dāng)點R與A1重合時,D1RB1C1,若D1RCP,則B1C1CP,此時在BB1上不存在點P使B1C1CP,所以錯誤.,考點一,考點二,考點三,1.公理1是判斷一條直線是否在某個平面內(nèi)的依據(jù);公理2及其推論是判斷或證明點、線共面的依據(jù);公理3是證明三線共點或三點共線的依據(jù).要能夠熟練用文字語言、符號語言、圖形語言來表示公理. 2.判定空間兩條直線是異面直線的方法 (1)判定定理:平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線. (2)反證法:證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面,從而可得兩線異面.,考點一,考點二,考點三,1.異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”,實質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個平面,因此異面直線既不平行,也不相交. 2.直線與平面的位置關(guān)系在判斷時最易忽視“線在面內(nèi)”.,