1.2不等關(guān)系及簡單不等式的解法,知識梳理,考點自測,1.兩個實數(shù)比較大小的方法,=,<,=,<,知識梳理,考點自測,2.不等式的性質(zhì) (1)對稱性:abbb,bc. (3)可加性:aba+cb+c;ab,cda+cb+d. (4)可乘性: ab,c0acbc;ab,cb0,cd0acbd. (5)可乘方:ab0anbn(nN,n1).,ac,<,知識梳理,考點自測,3.三個“二次”之間的關(guān)系,x|xx2或x<x1,x|x1<x<x2,知識梳理,考點自測,2.(x-a)(x-b)0或(x-a)(x-b)f(x)恒成立af(x)max;af(x)恒成立af(x)min. 4.能成立問題的轉(zhuǎn)化:af(x)能成立af(x)min;af(x)能成立af(x)max.,知識梳理,考點自測,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,答案,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,2.(2017江西吉撫七校質(zhì)量監(jiān)測2,理4)若01D.lg(b-a)<0,答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,3.(2018福建廈門期末,理3)若實數(shù)x,y滿足xy0,則(),答案,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,4.(2017遼寧大連一模,理2)已知集合A=x|x2-2x-3<0, A.x|1<x<3 B.x|-1<x<3 C.x|-1<x<0或0<x<3 D.x|-1<x<0或1<x<3,答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,例1(1)已知a1,a2(0,1),若M=a1a2,N=a1+a2-1,則M與N的大小關(guān)系是() A.MNC.M=ND.不確定 A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c,答案:(1)B(2)B,考點1,考點2,考點3,考點4,解析: (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1). a1(0,1),a2(0,1),a1-10,即M-N0.MN. (2)(方法一)由題意可知a,b,c都是正數(shù). 故ce時,f(x)f(4)f(5),即c<b<a.,考點1,考點2,考點3,考點4,思考比較兩個數(shù)(式)大小常用的方法有哪些? 解題心得比較大小常用的方法有作差法、作商法、構(gòu)造函數(shù)法. (1)作差法的一般步驟:作差;變形;定號;下結(jié)論.變形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式. (2)作商法一般適用于分式、指數(shù)式、對數(shù)式,作商只是思路,關(guān)鍵是化簡變形,從而使結(jié)果能夠與1比較大小. (3)構(gòu)造函數(shù)法:構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.,考點1,考點2,考點3,考點4,對點訓(xùn)練1(1)已知實數(shù)a,b,c滿足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,則a,b,c的大小關(guān)系是() A.cbaB.acb C.cbaD.acb (2)已知a,b是實數(shù),且e<a<b,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),則ab與ba的大小關(guān)系是.,答案: (1)A(2)abba,考點1,考點2,考點3,考點4,解析: (1)c-b=4-4a+a2=(a-2)20,cb. 又b+c=6-4a+3a2,2b=2+2a2. b=a2+1. ba.cba. 當(dāng)xe時,f(x)f(b), bln aaln b.abba.,考點1,考點2,考點3,考點4,例2(1)如果aR,且a2+aa-a2-aB.a2-aa-a2 C.-aa2a-a2D.-aa2-a2a (2)設(shè)a,b為正實數(shù).現(xiàn)有下列命題: 若a2-b2=1,則a-b<1; 若|a3-b3|=1,則|a-b|<1. 其中的真命題有.(寫出所有真命題的序號),答案,考點1,考點2,考點3,考點4,思考判斷多個不等式是否成立常用的方法有哪些? 解題心得判斷多個不等式是否成立的常用方法:方法一是直接使用不等式的性質(zhì),逐個驗證;方法二是用特殊值法,即舉反例排除.而常見的反例構(gòu)成方式可從以下幾個方面思考:(1)不等式兩邊都乘一個代數(shù)式時,要注意所乘的代數(shù)式是正數(shù)、負數(shù)還是0;(2)不等式左邊是正數(shù),右邊是負數(shù),當(dāng)兩邊同時平方后不等號方向不一定保持不變;(3)不等式左邊是正數(shù),右邊是負數(shù),當(dāng)兩邊同時取倒數(shù)后不等號方向不變等.,考點1,考點2,考點3,考點4,對點訓(xùn)練2(1)已知aabab2B.ab2aba C.abaab2D.abab2a (2)已知a,b,cR,則下列命題中正確的是() A.若ab,則ac2bc2,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,考向1不含參數(shù)的一元二次不等式 例3不等式-2x2+x+3<0的解集為. 思考如何求解不含參數(shù)的一元二次不等式?,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考向2分式不等式 思考解分式不等式的基本思路是什么?,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考向3含參數(shù)的一元二次不等式 例5解關(guān)于x的不等式:x2-(a+1)x+a<0. 思考解含參數(shù)的一元二次不等式時分類討論的依據(jù)是什么?,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,解題心得1.不含參數(shù)的一元二次不等式的解法:當(dāng)二次項的系數(shù)為負時,要先把二次項系數(shù)化為正,再根據(jù)判別式的符號判斷對應(yīng)方程根的情況,有根時求出相應(yīng)方程的根,最后結(jié)合相應(yīng)二次函數(shù)的圖象寫出不等式的解集.,考點1,考點2,考點3,考點4,3.解含參數(shù)的一元二次不等式要分類討論,分類討論的依據(jù)是:(1)二次項的系數(shù)中若含有參數(shù),則應(yīng)討論它是等于0,小于0,還是大于0,然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項系數(shù)為正的形式;(2)當(dāng)不等式對應(yīng)方程的根的個數(shù)不確定時,應(yīng)討論判別式與0的關(guān)系;(3)不等式對應(yīng)的方程確定無根時,根據(jù)二次項系數(shù)的正、負可直接寫出解集,確定有兩個根時,要討論兩根的大小關(guān)系,從而確定解集的形式.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,考點4,考向1不等式在R上恒成立求參數(shù)范圍 例6若一元二次不等式2kx2+kx- <0對一切實數(shù)x都成立,則k的取值范圍為() A.(-3,0B.-3,0)C.-3,0D.(-3,0) 思考一元二次不等式在R上恒成立的條件是什么?,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考向2不等式在給定區(qū)間上恒成立求參數(shù)范圍 例7已知二次函數(shù)f(x)=ax2+x+1在區(qū)間0,2上恒有f(x)0,求a的取值范圍. 思考解決在給定區(qū)間上恒成立問題有哪些方法?,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,考向3給定參數(shù)范圍的恒成立問題 例8已知對任意的k-1,1,函數(shù)f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,則x的取值范圍是. 思考如何求解給定參數(shù)范圍的恒成立問題?,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,解題心得1.ax2+bx+c0(a0)對任意實數(shù)x恒成立的條件是 2.含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間內(nèi)恒成立問題,常有兩種解決方法:一是利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值來解決;二是先分離出參數(shù),再通過求函數(shù)的最值來解決. 3.已知參數(shù)范圍求函數(shù)自變量的范圍的一般思路是更換主元法.把參數(shù)當(dāng)作函數(shù)的自變量,得到一個新的函數(shù),然后利用新函數(shù)求解.,考點1,考點2,考點3,考點4,對點訓(xùn)練4(1)已知a為常數(shù), xR,ax2+ax+10,則a的取值范圍是() A.(0,4)B.0,4)C.(0,+)D.(-,4) (2)已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1,若對于任意xm,m+1,都有f(x)<0成立,則實數(shù)m的取值范圍是. (3)已知不等式xyax2+2y2對x1,2,y2,3恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,考點4,1.比較法是不等式性質(zhì)證明的理論依據(jù),是不等式證明的主要方法之一.作差法的主要步驟為作差變形判斷正負. 2.判斷不等式是否成立,主要有利用不等式的性質(zhì)和特殊值驗證兩種方法,特別是對于有一定條件限制的選擇題,用特殊值驗證的方法更簡單. 3.簡單的分式不等式可以等價轉(zhuǎn)化,利用一元二次不等式的解法進行求解. 4.“三個二次”的關(guān)系是解一元二次不等式的理論基礎(chǔ);一般可把a0的情形.,考點1,考點2,考點3,考點4,5.(1)對于一元二次不等式恒成立問題,恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方,恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值. (2)解決恒成立問題一定要搞清誰是主元,誰是參數(shù).一般地,知道誰的范圍,誰就是主元,求誰的范圍,誰就是參數(shù).,