7.2基本不等式及其應(yīng)用,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),a=b,2.利用基本不等式求最值 已知x0,y0, (1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),x+y有最值是 (簡(jiǎn)記:積定和最小). (2)如果和x+y是定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),xy有最值是 (簡(jiǎn)記:和定積最大).,x=y,小,x=y,大,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,答案,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,A.充分不必要條件B.必要不充分條件 C.充要條件D.既不充分也不必要條件,答案,解析,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,A.(-,0)B.(-,-2 C.2,+)D.(-,+),答案,解析,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,答案,解析,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,5.(2017江蘇,10)某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運(yùn)費(fèi)為6萬元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x的值是.,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考利用基本不等式證明不等式的方法技巧有哪些? 解題心得利用基本不等式證明不等式時(shí),首先要觀察題中要證明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式,則考慮利用拆項(xiàng)、配湊等方法對(duì)不等式進(jìn)行變形,使之達(dá)到能使用基本不等式的條件;若題目中還有已知條件,則首先觀察已知條件和所證不等式之間的聯(lián)系,當(dāng)已知條件中含有1時(shí),要注意1的代換.另外,解題中要時(shí)刻注意等號(hào)能否取到.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考向1求不含等式條件的函數(shù)最值 例2(1)(2017天津,理12)若a,bR,ab0,則 的最小值為. (2)若函數(shù)f(x)= (x2)在x=a處取最小值,則a=. 思考依據(jù)題目特征,如何求不含等式條件的函數(shù)最值?,答案: (1)4(2)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考向2求含有等式條件的函數(shù)最值 (2)(2017江西南昌模擬)已知x0,y0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為. 思考如何應(yīng)用基本不等式求含有已知等式的函數(shù)最值?,答案: (1)B(2)6,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(方法二)x0,y0,x+3y+xy=9, 當(dāng)且僅當(dāng)x=3y時(shí)等號(hào)成立. 設(shè)x+3y=t0,則t2+12t-1080,即(t-6)(t+18)0, 又t0,t6. 當(dāng)x=3,y=1時(shí),(x+3y)min=6.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考向3已知不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍 例4當(dāng)xR時(shí),32x-(k+1)3x+20恒成立,則k的取值范圍是(),答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考已知不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的一般方法是什么? 解題心得1.若條件中不含等式,在利用基本不等式求最值時(shí),則先根據(jù)式子的特征靈活變形,配湊出積或和為常數(shù)的等式,再利用基本不等式. 2.條件最值的求解通常有兩種方法:一是消元法,即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系,然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解;二是將條件靈活變形,利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造積或和為常數(shù)的式子,然后利用基本不等式求解最值. 3.(1)已知不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的一般方法是分離參數(shù)法,且有af(x)恒成立af(x)max,a<f(x)恒成立a<f(x)min; (2)求最值時(shí)要注意其中變量的條件,有些不能用基本不等式的問題可考慮利用函數(shù)的單調(diào)性.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)(2017山東青島一模,理9)已知x1,y1,且lg x, ,lg y成等比數(shù)列,則xy有() A.最小值10B.最小值 C.最大值10D.最大值 A.4B.6C.8D.12 (4)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是. (5)已知函數(shù)f(x)= (p為常數(shù),且p0),若f(x)在(1,+)內(nèi)的最小值為4,則實(shí)數(shù)p的值為.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,例5某廠家擬在2018年舉行某產(chǎn)品的促銷活動(dòng),經(jīng)調(diào)查測(cè)算,該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元(m0)滿足 (k為常數(shù)),如果不搞促銷活動(dòng),則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元,每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金). (1)將2018年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù); (2)該廠家2018年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí),廠家的利潤最大?,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際應(yīng)用問題的基本思路是什么? 解題心得1.利用基本不等式解決實(shí)際問題時(shí),應(yīng)先仔細(xì)閱讀題目信息,理解題意,明確其中的數(shù)量關(guān)系,并引入變量,依題意列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,然后用基本不等式求解. 2.在用基本不等式求所列函數(shù)的最值時(shí),若等號(hào)取不到,則可利用函數(shù)單調(diào)性求解.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5某單位在國家科研部門的支持下,進(jìn)行技術(shù)攻關(guān),采用了新工藝,把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸,最多為600噸,月處理成本y(單位:元)與月處理量x(單位:噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y= x2-200 x +80 000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元. (1)該單位每月處理量為多少噸時(shí),才能使每噸的平均處理成本最低? (2)該單位每月能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則需要國家至少補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損?,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,1.應(yīng)用基本不等式求最值的常用方法有: (1)若直接滿足基本不等式的條件,則直接應(yīng)用基本不等式. (2)有些題目雖然不具備直接用基本不等式求最值的條件,但可以通過添項(xiàng)、構(gòu)造“1”的代換、分離常數(shù)、平方等手段使之能運(yùn)用基本不等式.常用的方法還有:拆項(xiàng)法、變系數(shù)法、湊因子法、分離常數(shù)法、換元法、整體代換法等. 2.基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能,常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式,解決問題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),選擇好利用基本不等式的切入點(diǎn).,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,1.利用基本不等式求最值的三個(gè)條件為“一正、二定、三相等”,忽視哪一個(gè)都可能致誤. 2.連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號(hào)成立的條件一致.,