7.4直接證明與間接證明,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測,1.直接證明,成立,充分,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測,2.間接證明 間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法,反證法是一種常用的間接證明方法. (1)反證法的定義:假設(shè)原命題(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出,因此說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明的證明方法. (2)用反證法證明的一般步驟:反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立;歸謬根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推出矛盾為止;結(jié)論斷言假設(shè)不成立,從而肯定原命題的結(jié)論成立.,不成立,矛盾,原命題成立,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測,2,3,4,1,5,1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯(cuò)誤的畫“”. (1)綜合法的思維過程是由因?qū)Ч?逐步尋找已知的必要條件.() (2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.() (3)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定,推出矛盾.() (4)用反證法證明時(shí),推出的矛盾不能與假設(shè)矛盾.() (5)常常用分析法尋找解題的思路與方法,用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.(),答案,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測,2,3,4,1,5,2.命題“對(duì)于任意角,cos4-sin4=cos 2”的證明:“cos4-sin4=(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos 2”過程應(yīng)用了() A.分析法B.綜合法 C.綜合法、分析法綜合使用D.間接證明法,答案,解析,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測,2,3,4,1,5,3.若實(shí)數(shù)a,b滿足a+b<0,則() A.a,b都小于0B.a,b都大于0 C.a,b中至少有一個(gè)大于0D.a,b中至少有一個(gè)小于0,答案,解析,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測,2,3,4,1,5,4.用分析法證明不等式 (n0)時(shí),最后推得的顯然成立的最簡不等式是.,答案,解析,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測,2,3,4,1,5,5. (教材習(xí)題改編P15T(2) 用反證法證明“把100個(gè)球放在90個(gè)盒子里,至少有一個(gè)盒子里不少于2個(gè)球”應(yīng)假設(shè).,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考向1數(shù)列中的證明 例1設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知3an-2Sn=2. (1)證明an是等比數(shù)列并求出通項(xiàng)公式an;,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考哪些問題的證明適合用綜合法? 解題心得綜合法的適用范圍是:(1)定義明確的問題,如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等,求證沒有限制條件的等式或不等式.(2)已知條件明確,并且容易通過分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2017湖北黃岡模擬)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(nN*),其中m為常數(shù),且m-3. (1)求證:an是等比數(shù)列;,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考向2立體幾何中的證明 例2如圖,在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABCD是菱形,AB=2A1B1,AA1平面ABCD.求證: (1)BDC1C; (2)C1C平面A1BD.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,證明: (1)連接AC,AA1平面ABCD, AA1BD. 四邊形ABCD是菱形,ACBD, 又ACAA1=A,BD平面ACC1A1. CC1平面ACC1A1,BDCC1. (2)連接AC和A1C1,設(shè)ACBD=E. 底面ABCD是菱形,E為菱形ABCD的中心,由棱臺(tái)的定義及AB=2A1B1,可得ECA1C1,且EC=A1C1, 故ECC1A1為平行四邊形,CC1A1E.CC1平面A1BD,A1E 平面A1BD, CC1平面A1BD.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,解題心得用綜合法證明立體幾何中的平行或垂直問題常用轉(zhuǎn)化法,例如證明線面平行或垂直一般轉(zhuǎn)化成證明線線平行或垂直.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAB平面ABCD,AB=AD,BAD=60,E,F分別是AP,AB的中點(diǎn). 求證:(1)直線EF平面PBC; (2)平面DEF平面PAB.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,證明: (1)在PAB中,因?yàn)镋,F分別為PA,AB的中點(diǎn), 所以EFPB. 又因?yàn)镋F 平面PBC,PB 平面PBC, 所以直線EF平面PBC. (2)連接BD,因?yàn)锳B=AD,BAD=60, 所以ABD為正三角形. 因?yàn)镕是AB的中點(diǎn),所以DFAB. 因?yàn)槠矫鍼AB平面ABCD,DF 平面ABCD, 平面PAB平面ABCD=AB, 所以DF平面PAB. 又因?yàn)镈F 平面DEF,所以平面DEF平面PAB.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考向3證明不等式 例3已知x,y,z是互不相等的正數(shù),且x+y+z=1,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考綜合法證明的特點(diǎn)是什么? 解題心得用綜合法證明的特點(diǎn)是“由因?qū)Ч?即從命題的條件出發(fā),利用定義、公理、定理及運(yùn)算法則,通過演繹推理,一步一步地接近要證明的結(jié)論,直到完成命題的證明.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,例4已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,且a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考哪些問題的證明適合用分析法? 解題心得分析法證明問題的適用范圍:當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接,或證明過程中所需知識(shí)不太明確、具體時(shí),往往采用分析法,特別是含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式,從正面不易推導(dǎo)時(shí),?？紤]用分析法.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,例5設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和. (1)求證:數(shù)列Sn不是等比數(shù)列. (2)數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎?為什么?,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考反證法的適用范圍及證題的關(guān)鍵是什么? 解題心得反證法的適用范圍及證題的關(guān)鍵 (1)適用范圍:當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí),宜用反證法來證. (2)關(guān)鍵:在正確的推理下得出矛盾,矛盾可以是與已知條件矛盾,與假設(shè)矛盾,與定義、公理、定理矛盾,與事實(shí)矛盾等.推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列,且q1,證明數(shù)列an+1不是等比數(shù)列.,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,1.分析法是從結(jié)論出發(fā),逆向思維,尋找使結(jié)論成立的充分條件.應(yīng)用分析法要嚴(yán)格按分析法的語言表達(dá),下一步是上一步的充分條件. 2.證明問題的常用思路:在解題時(shí),常常把分析法和綜合法結(jié)合起來運(yùn)用,先以分析法尋求解題思路,再用綜合法表述解答或證明過程. 3.用反證法證明問題要把握三點(diǎn):(1)必須先否定結(jié)論,即肯定結(jié)論的反面;(2)必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理,即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件,且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證;(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣,有的與已知矛盾,有的與假設(shè)矛盾,有的與已知事實(shí)矛盾等,且推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,1.應(yīng)用分析法要書寫規(guī)范,常用“要證”“只需證”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論. 2.應(yīng)用反證法要將假設(shè)作為條件進(jìn)行推理,不使用假設(shè)而推出矛盾的,其推理過程是錯(cuò)誤的. 3.注意推理的嚴(yán)謹(jǐn)性,在證明過程中每一步推理都要有充分的依據(jù),這些依據(jù)就是命題的已知條件和已經(jīng)掌握了的數(shù)學(xué)結(jié)論,不可盲目使用正確性未知的自造結(jié)論.,