3.3定積分與微積分基本定理,知識梳理,考點自測,知識梳理,考點自測,2.定積分的幾何意義 (1)當函數f(x)的圖象在區(qū)間a,b上連續(xù)且恒有f(x)0時,定積分 的幾何意義是由直線x=a,x=b(ab),y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形(圖中陰影部分)的面積.,知識梳理,考點自測,(2)一般情況下,定積分 的幾何意義是介于x軸、曲線y=f(x)以及直線x=a,x=b之間的曲邊梯形(圖中陰影部分)面積的代數和,其中在x軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值,在x軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數.,知識梳理,考點自測,4.微積分基本定理 一般地,如果f(x)是圖象在區(qū)間a,b上連續(xù)的函數,并且F(x)=f(x),那么 這個結論叫做微積分基本定理,又叫做牛頓萊布尼茨公式,其中F(x)叫做f(x)的一個原函數. 為了方便,我們常把F(b)-F(a)記作,即 5.定積分在物理中的兩個應用: (1)變速直線運動的路程:如果變速直線運動物體的速度為v=v(t),那么從時刻t=a到t=b所經過的路程 (2)變力做功:某物體在變力F(x)的作用下,沿著與F(x)相同的方向從x=a移動到x=b時,力F(x)所做的功是,F(b)-F(a),知識梳理,考點自測,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,答案,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,思考計算定積分有哪些步驟? 解題心得計算定積分的步驟: (1)把被積函數變形為冪函數、正弦函數、余弦函數、指數函數與常數的積的和或差. (2)把定積分變形為求被積函數為上述函數的定積分. (3)分別用求導公式的逆運算找到一個相應的原函數. (4)利用微積分基本定理求出各個定積分的值,然后求其代數和.,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考向2已知曲線圍成的面積求參數 例3已知函數y=x2與y=kx(k0)的圖象所圍成的封閉圖形的面積為 ,則k等于() A.2B.1C.3D.4 思考應用怎樣的數學思想解決已知曲線圍成的面積求參數問題?,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考向3與概率的交匯問題 例4(2017貴州貴陽模擬)若任取x,y0,1,則點P(x,y)滿足 的概率為(),思考怎樣求定積分與概率的交匯問題?,答案,解析,考點1,考點2,考點3,解題心得1.對于求平面圖形的面積問題,應首先畫出平面圖形的大致形狀,然后根據圖形特點,選擇相應的積分變量及被積函數,并確定被積區(qū)間,最后用定積分求解. 2.已知圖形的面積求參數,一般是先畫出它的草圖;再確定積分的上、下限,確定被積函數,由定積分求出其面積,然后應用方程的思想建立關于參數的方程,從而求出參數的值. 3.與概率相交匯的問題.解決此類問題應先利用定積分求出相應平面圖形的面積,再用相應的概率公式進行計算.,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,答案,解析,考點1,考點2,考點3,例5(1)(2017湖北武漢調研)一輛汽車在高速公路上行駛,由于遇到緊急情況而剎車,以速度v(t)=7-3t+ (t的單位:s,v的單位:m/s)行駛至停止.在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離(單位:m)是() C.4+25ln 5D.4+50ln 2 (2)已知變力F(x)作用在質點M上,使M沿x軸正向從x=1運動到x=10,若F(x)=x2+1,且方向和x軸正向相同,則變力F(x)對質點M所做的功為J(x的單位:m;力的單位:N).,答案,解析,考點1,考點2,考點3,思考利用定積分解決變速運動問題和變力做功問題的關鍵是什么? 解題心得利用定積分解決變速運動問題和變力做功問題時,關鍵是求出物體做變速運動的速度函數和變力與位移之間的函數關系,確定好積分區(qū)間,得到積分表達式,再利用微積分基本定理計算即得所求.,考點1,考點2,考點3,對點訓練3(1)一質點運動時速度與時間的關系為v(t)=t2-t+2,質點做直線運動,則此質點在時間1,2內的位移為() (2)一物體在力 的作用下沿與力F相同的方向,從x=0處運動到x=4處,則力F(x)做的功為J(力的單位:N,x的單位:m).,答案,解析,考點1,考點2,考點3,1.求定積分的方法: (1)利用定義求定積分,可操作性不強. (2)利用微積分基本定理求定積分的步驟如下: 求被積函數f(x)的一個原函數F(x); 計算F(b)-F(a). (3)利用定積分的幾何意義求定積分.,考點1,考點2,考點3,1.被積函數若含有絕對值號,應去掉絕對值號,再分段積分. 2.若積分式子中有幾個不同的參數,則必須分清誰是被積變量. 3.定積分式子中隱含的條件是積分上限大于積分下限. 4.定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積,但要注意:面積非負,而定積分的結果可以為負.,