5.3平面向量的數(shù)量積 與平面向量的應(yīng)用,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),1.平面向量的數(shù)量積 (1)定義:已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為,則數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab,即ab=,規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0a=0. (2)幾何意義:數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積.,|a|b|cos ,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),為向量a,b的夾角. (1)數(shù)量積:ab=|a|b|cos = .,x1x2+y1y2,(5)已知兩非零向量a與b,abab=0; abab=|a|b|. (6)|ab|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立),即,x1x2+y1y2=0,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)ab=ba(交換律). (2)ab=(ab)=a(b)(結(jié)合律). (3)(a+b)c=ac+bc(分配律).,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“”,錯(cuò)誤的畫(huà)“”. (1)一個(gè)非零向量在另一個(gè)非零向量方向上的投影為數(shù)量,且有正有負(fù).() (2)若ab0,則a和b的夾角為銳角;若ab<0,則a和b的夾角為鈍角.() (3)若ab=0,則必有ab.() (4)(ab)c=a(bc).() (5)若ab=ac(a0),則b=c.(),答案,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,2.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,則m=() A.-8B.-6C.6D.8,答案,解析,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,A.30B.45C.60D.120,答案,解析,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,4.(2017全國(guó),理13)已知向量a,b的夾角為60,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=.,答案,解析,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,5.已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,則m=.,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,例1(1)(2017浙江,10) 如圖,已知平面四邊形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點(diǎn)O,記 A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2 C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I3 (2)已知點(diǎn)P在圓x2+y2=1上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),O為原點(diǎn),則,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考求向量數(shù)量積的運(yùn)算有幾種形式? 解題心得1.求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法: (1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí),利用定義求解,即ab=|a|b|cos (其中是向量a與b的夾角). (2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí),可利用坐標(biāo)法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2. (3)利用數(shù)量積的幾何意義.數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積. 2.解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題時(shí),可利用向量的加減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn).但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ).,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)已知ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F,使得DE=2EF,則 值為(),答案: (1)B(2)C,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(2)(2017浙江,15)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考求向量的模及求向量模的最值有哪些方法? 解題心得1.求向量的模的方法: (1)公式法,利用 及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算; (2)幾何法,先利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量,再利用余弦定理等方法求解. 2.求向量模的最值(或范圍)的方法: (1)求函數(shù)最值法,把所求向量的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)再求最值(或范圍); (2)數(shù)形結(jié)合法,弄清所求的模表示的幾何意義,結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)(2017山東濰坊一模)已知向量a,b,|a|=2,|b|=1,且(a+b)a,則|a-2b|=.,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考兩個(gè)向量數(shù)量積的正負(fù)與兩個(gè)向量的夾角有怎樣的關(guān)系?,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考向2平面向量a在b上的投影 例4已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)(2a+b)=9. (1)求向量a與b的夾角; (2)求|a+b|及向量a在a+b方向上的投影.,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考向3求參數(shù)的值或范圍 例5(2017天津,理13)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2,若 思考兩向量的垂直與其數(shù)量積有何關(guān)系?,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,解題心得1.數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩個(gè)向量的夾角為銳角;數(shù)量積等于0說(shuō)明不共線的兩個(gè)向量的夾角為直角;數(shù)量積小于0說(shuō)明不共線的兩個(gè)向量的夾角為鈍角.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)(2017山西晉中二模,理13)若兩個(gè)非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|=2|a|,則向量a+b與a-b的夾角是. (2)已知非零向量a,b滿足|a|=2,且|a+b|=|a-b|,則向量b-a在向量a方向上的投影是. (3)(2017山東,理12)已知e1,e2是互相垂直的單位向量,若 e1-e2與e1+e2的夾角為60,則實(shí)數(shù)的值是.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,1.平面向量的坐標(biāo)表示與向量表示的比較: 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),是向量a與b的夾角.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,2.計(jì)算數(shù)量積的三種方法:定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義,要靈活選用,與圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用. 3.利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問(wèn)題常用的方法與技巧.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,1.根據(jù)兩個(gè)非零向量夾角為銳角或鈍角與數(shù)量積的正、負(fù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí),不要遺漏向量共線的情況. 2.|ab|a|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立. 3.注意向量夾角和三角形內(nèi)角的關(guān)系.,