8.5直線、平面垂直的判定與性質(zhì),知識梳理,考點(diǎn)自測,1.直線與平面垂直,任意,mn=O,a,知識梳理,考點(diǎn)自測,b,ab,知識梳理,考點(diǎn)自測,2.平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義 兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是,就說這兩個(gè)平面互相垂直.,直二面角,知識梳理,考點(diǎn)自測,(2)判定定理與性質(zhì)定理,垂線,交線,l,知識梳理,考點(diǎn)自測,直線與平面垂直的五個(gè)結(jié)論 (1)若一條直線垂直于一個(gè)平面,則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線. (2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面. (3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行. (4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè),則這一條直線與另一個(gè)平面也垂直. (5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面,它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.,知識梳理,考點(diǎn)自測,2,3,4,1,5,1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯(cuò)誤的畫“”. (1)已知直線a,b,c,若ab,bc,則ac.() (2)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,則l.() (3)設(shè)m,n是兩條不同的直線,是一個(gè)平面,若mn,m,則n.() (4)若兩平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.() (5)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,則.(),答案,知識梳理,考點(diǎn)自測,2,3,4,1,5,2.設(shè)l,m,n均為直線,其中m,n在平面內(nèi),則“l(fā)”是“l(fā)m且ln”的() A.充分不必要條件B.必要不充分條件 C.充要條件D.既不充分也不必要條件,答案,解析,知識梳理,考點(diǎn)自測,2,3,4,1,5,3.已知,表示兩個(gè)不同的平面,m為平面內(nèi)的一條直線,則“m ”是“ ”的() A.充分不必要條件B.必要不充分條件 C.充要條件D.既不充分也不必要條件,答案,解析,知識梳理,考點(diǎn)自測,2,3,4,1,5,4.如圖所示,在立體圖形D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是() A.平面ABC平面ABD B.平面ABD平面BDC C.平面ABC平面BDE,且平面ADC平面BDE D.平面ABC平面ADC,且平面ADC平面BDE,答案,解析,知識梳理,考點(diǎn)自測,2,3,4,1,5,5.在矩形ABCD中,AB<BC,現(xiàn)將ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進(jìn)行翻折,在翻折的過程中,給出下列結(jié)論: 存在某個(gè)位置,使得直線AC與直線BD垂直; 存在某個(gè)位置,使得直線AB與直線CD垂直; 存在某個(gè)位置,使得直線AD與直線BC垂直. 其中正確結(jié)論的序號是.(寫出所有正確結(jié)論的序號),答案:,知識梳理,考點(diǎn)自測,2,3,4,1,5,解析:如圖,AEBD,CFBD,連接CE, AB<BC,CE不垂直于BD. 若存在某個(gè)位置,使得直線AC與直線BD垂直,BDAE, BD平面AEC,從而BDEC,這與已知矛盾,排除; 若存在某個(gè)位置,使得直線AB與直線CD垂直,則CD平面ABC. 作MECF,交BC于點(diǎn)M,連接AM(圖略),則MEBD, 又AEBD,AEME=E, BD平面AME,AMBD.,知識梳理,考點(diǎn)自測,2,3,4,1,5,又CD平面ABC,CDAM. 又CDBD=D,AM平面BCD,即點(diǎn)A在平面BCD上的射影M位于邊BC上時(shí),直線AB與直線CD垂直,故正確; 若存在某個(gè)位置,使得直線AD與直線BC垂直,則BC平面ACD,從而平面ACD平面BCD,即A在底面BCD上的射影應(yīng)位于線段CD上,這是不可能的,排除. 故答案為.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,例1 如圖,在三棱臺ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (1)求證:BF平面ACFD; (2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,(1)證明: 延長AD,BE,CF相交于一點(diǎn)K,如圖所示. 因?yàn)槠矫鍮CFE平面ABC,ACBC,平面BCFE平面ABC=BC, 所以AC平面BCK,因此BFAC. 又因?yàn)镋FBC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以BCK為等邊三角形,且F為CK的中點(diǎn),則BFCK. 所以BF平面ACFD.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,思考證明線面垂直的常用方法有哪些? 解題心得證明線面垂直的常用方法 (1)利用線面垂直的判定定理. (2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直,則另一條也與這個(gè)平面垂直”. (3)利用“一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè),則與另一個(gè)也垂直”. (4)利用面面垂直的性質(zhì)定理.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對點(diǎn)訓(xùn)練1 在如圖所示的空間幾何體中,EC平面ABCD,四邊形ABCD是菱形,CEBF,且CE=2BF,G,H,P分別為AF,DE,AE的中點(diǎn).求證: (1)GH平面BCEF; (2)FP平面ACE.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,證明: (1)取EC中點(diǎn)M,FB中點(diǎn)N,連接HM,GN. 由題意可知ABCD,AB=CD, HMGN, 四邊形HMNG是平行四邊形, GHMN, GH 平面BCEF,MN 平面BCEF,GH平面BCEF. (2)連接BD,與AC交于O,連接OP,則OP EC, 又ECBF,EC=2BF,OPBF, 四邊形PFBO是平行四邊形, PFBO, BOAC,BOEC,ACEC=C, BO平面ACE,FP平面ACE.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,例2 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,ADC=60,AB= AD,PA平面ABCD,E為PD的中點(diǎn). (1)求證:ABPC; (2)若PA=AB= AD=2,求三棱錐P-AEC的體積.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,(1)證明: PA平面ABCD,又AB平面ABCD,ABPA, 在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos 60=BC2-AB2, AB2+AC2=BC2,即ABAC, 又PAAC=A,PA平面PAC,AC平面PAC, AB平面PAC,又PC平面PAC, ABPC.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,思考證明空間兩條直線垂直有哪些基本方法? 解題心得1.證明線線垂直的常用方法 (1)利用特殊圖形中的垂直關(guān)系. (2)利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì). (3)利用勾股定理的逆定理. (4)利用直線與平面垂直的性質(zhì). 2.在證明線線垂直時(shí),要注意題中隱含的垂直關(guān)系,如等腰三角形底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形(或給出線段長度,經(jīng)計(jì)算滿足勾股定理)、直角梯形等等.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對點(diǎn)訓(xùn)練2 如圖所示,四棱錐P-ABCD的側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形,底面ABCD是菱形,ABC=60,M為PC的中點(diǎn),PC= . (1)求證:PCAD; (2)求三棱錐M-PAB的體積.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,(1)證明: 證法一:連接AC,由已知得PAD,ACD均為正三角形,PA=AC,PD=CD, M為PC的中點(diǎn), PCAM,PCDM, 又AM平面AMD,DM平面AMD,AMDM=M, PC平面AMD, 又AD平面AMD,PCAD. 證法二:取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OC,AC, 由已知得PAD,ACD均為正三角形,OCAD,OPAD, 又OCOP=O,OC平面POC,OP平面POC, AD平面POC, 又PC平面POC,PCAD.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,例3 如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點(diǎn),BE平面ABCD. (1)證明:平面AEC平面BED; (2)若ABC=120,AEEC,三棱錐E-ACD的體積為 ,求該三棱錐的側(cè)面積.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,(1)證明: 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以ACBD. 因?yàn)锽E平面ABCD, 所以ACBE.故AC平面BED. 又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,思考證明面面垂直的常用方法有哪些? 解題心得1.面面垂直的證明方法 (1)定義法:利用面面垂直的定義,即判定兩平面所成的二面角為直二面角,將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題. (2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,把問題轉(zhuǎn)化成證明線面垂直加以解決. 2.三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化,因此整個(gè)證明過程圍繞著線面垂直這個(gè)核心展開,這是化解空間垂直關(guān)系難點(diǎn)的技巧所在. 3.兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù),運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”這一條件.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對點(diǎn)訓(xùn)練3 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABCD為平行四邊形,AA1平面ABCD,BAD=60,AB=2,BC=1,AA1= ,E為A1B1的中點(diǎn). (1)求證:平面A1BD平面A1AD; (2)求多面體A1E-ABCD的體積.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,(1)證明: AB=2,AD=BC=1,BAD=60, BD2+AD2=AB2,BDAD, AA1平面ABCD,BD平面ABCD, BDAA1,又AA1AD=A,AA1平面A1AD,AD平面A1AD, BD平面A1AD,又BD平面A1BD, 平面A1BD平面A1AD.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,例4 如圖,四邊形ABCD為梯形,ABCD,PD平面ABCD, BAD=ADC=90,DC=2AB=2,DA= . (1)線段BC上是否存在一點(diǎn)E,使平面PBC平面PDE?若存在,請給出 的值,并進(jìn)行證明;若不存在,請說明理由. (2)若PD= ,線段PC上有一點(diǎn)F,且PC=3PF,求三棱錐A-FBD的體積.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,E為BC的中點(diǎn),BCDE, PD平面ABCD,BCPD, DEPD=D,BC平面PDE, BC平面PBC, 平面PBC平面PDE.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,思考探索性問題的一般處理方法是什么? 解題心得線面垂直中的探索性問題同“平行關(guān)系中的探索性問題”的規(guī)律方法一樣,一般是先探求點(diǎn)的位置,多為線段的中點(diǎn)或某個(gè)三等分點(diǎn),然后給出符合要求的證明.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對點(diǎn)訓(xùn)練4如圖1,在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=2CD,DEAB,沿DE將AED折起到A1ED的位置,連接A1B,A1C,M,N分別為A1C,BE的中點(diǎn),如圖2 (1)求證:DEA1B. (2)求證:MN平面A1ED. (3)在棱A1B上是否存在一點(diǎn)G,使得EG丄平面A1BC?若存在,求出 的值;若不存在,說明理由.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,(1)證明: 在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=2CD,DEAB, 沿DE將AED折起到A1ED的位置,DEA1E,DEBE, A1EBE=E,DE平面A1BE, A1B平面A1BE,DE丄A1B. (2)證明: 取CD中點(diǎn)F,連接NF,MF, M,N分別為A1C,BE的中點(diǎn), MFA1D,NFDE, 又DEA1D=D,NFMF=F,DE平面A1DE,A1D平面A1DE,NF平面MNF,MF平面MNF, 平面A1DE平面MNF. MN平面A1ED.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,(3)解: 取A1B的中點(diǎn)G,連接EG, A1E=BE,EGA1B, 由(1)知DE平面A1BE, DEBC,BC平面A1BE, EGBC, 又A1BBC=B,EG平面A1BC.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,1.轉(zhuǎn)化思想:垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 2.在證明兩平面垂直時(shí),一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若圖中不存在這樣的直線,則可通過作輔助線來解決.如有平面垂直時(shí),一般要用性質(zhì)定理,在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線,使之轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.故熟練掌握“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問題的關(guān)鍵.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,1.在解決直線與平面垂直的問題過程中,要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用,即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化. 2.面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù).我們要作一個(gè)平面的一條垂線,通常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面,在這個(gè)垂面中,作交線的垂線即可.,