4.7解三角形,知識梳理,考點自測,1.正弦定理和余弦定理 在ABC中,若角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,則,知識梳理,考點自測,知識梳理,考點自測,知識梳理,考點自測,3.實際問題中的常用角 (1)仰角和俯角:與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線的角叫做仰角,目標(biāo)視線在水平視線的角叫做俯角(如圖). (2)方向角:相對于某正方向的水平角,如南偏東30、北偏西45、西偏北60等. (3)方位角:指從正北方向轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如點B的方位角為(如圖). (4)坡度:坡面與水平面所成的二面角的度數(shù).,上方,下方,順時針,知識梳理,考點自測,1.在ABC中,常有以下結(jié)論 (1)A+B+C=. (2)在三角形中大邊對大角,大角對大邊. (3)任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊. (4)sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;tan(A+B)=-tan C; (5)tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. (6)ABabsin Asin Bcos A0時,可知A為銳角; 當(dāng)b2+c2-a2=0時,可知A為直角; 當(dāng)b2+c2-a2<0時,可知A為鈍角.,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”. (1)在ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求邊c.() (2)在三角形中,已知兩角和一邊或已知兩邊和一角都能解三角形.() (3)在ABC中,sin Asin B的充分不必要條件是AB.() (4)在ABC中,a2+b2<c2是ABC為鈍角三角形的充分不必要條件.() (5)在ABC的角A,B,C,邊長a,b,c中,已知任意三個可求其他三個.(),答案,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,4.ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=60,b= ,c=3,則A=.,答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,5.ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,則B=.,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,例1(2017全國,理17)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知ABC的面積為 (1)求sin Bsin C; (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周長.,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,思考已知怎樣的條件能用正弦定理解三角形?已知怎樣的條件能用余弦定理解三角形? 解題心得1.已知兩邊和一邊的對角或已知兩角和一邊都能用正弦定理解三角形.正弦定理的形式多樣,其中a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C能夠?qū)崿F(xiàn)邊角互化. 2.已知兩邊和它們的夾角、已知兩邊和一邊的對角或已知三邊都能直接運用余弦定理解三角形,在運用余弦定理時,要注意整體思想的運用. 3.已知兩角和一邊,該三角形是確定的,其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對角,該三角形具有不唯一性,通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷.,考點1,考點2,考點3,考點4,對點訓(xùn)練1(2017北京,理15)在ABC中,A=60,c= a. (1)求sin C的值; (2)若a=7,求ABC的面積.,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,例2在ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角A的大小; (2)若sin B+sin C= ,試判斷ABC的形狀.,解: (1)由2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C及正弦定理, 得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c, 即bc=b2+c2-a2, A=60.,考點1,考點2,考點3,考點4,即sin(B+30)=1. 0<B<120,30<B+30<150. B+30=90,即B=60. A=B=C=60, ABC為等邊三角形.,考點1,考點2,考點3,考點4,思考判斷三角形的形狀時主要有哪些方法? 解題心得判斷三角形的形狀時主要有以下兩種方法: (1)利用正弦定理、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系,通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀; (2)利用正弦定理、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系,通過三角恒等變換,得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷出三角形的形狀,此時要注意應(yīng)用A+B+C=這個結(jié)論.,考點1,考點2,考點3,考點4,對點訓(xùn)練2(2017云南楚雄州一模,理17)如圖,在ABC中, (1)若BAC=,求AB和BC的長.(結(jié)果用表示) (2)當(dāng)AB+BC=6時,試判斷ABC的形狀.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,考點4,例3(2017全國,理17)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2 . (1)求cos B; (2)若a+c=6,ABC的面積為2,求b.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,考點4,思考在三角形中進行三角變換要注意什么? 解題心得1.在三角形中進行三角變換要注意隱含條件A+B+C=,使用這個隱含條件可以減少未知數(shù)的個數(shù). 2.在解三角形問題中,因為面積公式 中既有邊又有角,所以要和正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來;要靈活運用正弦定理、余弦定理實現(xiàn)邊角互化,為三角變換提供了條件.,考點1,考點2,考點3,考點4,對點訓(xùn)練3(2017吉林三模,理17)已知函數(shù)f(x)=cos 2x+2sin2x+2sin x.,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,例4設(shè)ABC三個角A,B,C的對邊分別為a,b,c,向量p=(a,2b),q=(sin A,1),且pq. (1)求B的大小; (2)若ABC是銳角三角形,m=(cos A,cos B),n=(1,sin A-cos Atan B),求mn的取值范圍.,解: (1)p=(a,2b),q=(sin A,1),且pq,a-2bsin A=0, 由正弦定理得sin A-2sin Bsin A=0. A,B,C是ABC的內(nèi)角,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,考點4,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,例5如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西方向行駛,到A處時測得公路北側(cè)一山腳C在西偏北30的方向上,行駛600 m后到達B處,測得此山腳C在西偏北75的方向上,山頂D的仰角為30,則此山的高度CD= m.,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,思考利用正弦定理、余弦定理解決實際問題的一般思路是什么? 解題心得利用正弦定理、余弦定理解決實際問題的一般思路: (1)實際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解; (2)實際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形,這時需作出這些三角形,先解夠條件的三角形,再逐步求解其他三角形,有時需設(shè)出未知量,根據(jù)條件列出方程(組),解方程(組)得出所要求的解.,考點1,考點2,考點3,考點4,對點訓(xùn)練5如圖,小明同學(xué)在山頂A處觀測到,一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛,小明在A處測得公路上B,C兩點的俯角分別為30,45,且BAC=135.若山高AD=100 m,汽車從點B到點C歷時14 s,則這輛汽車的速度為m/s.(精確到0.1 m/s,參考數(shù)據(jù):,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,1.正弦定理和余弦定理其主要作用是將已知條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系. 2.在已知關(guān)系式中,既含有邊又含有角,通常的解題思路:先將角都化成邊或?qū)⑦叾蓟山?再結(jié)合正弦定理、余弦定理即可求解. 3.在ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理時,會出現(xiàn)解的不確定性,一般可根據(jù)“大邊對大角”來取舍. 1.在解三角形中,三角形內(nèi)角和定理起著重要作用,在解題中要注意根據(jù)這個定理確定角的范圍,確定三角函數(shù)值的符號,防止出現(xiàn)增解等擴大范圍的現(xiàn)象. 2.在判斷三角形的形狀時,等式兩邊一般不要約去公因式,應(yīng)移項提取公因式,以免漏解.,