專題四：函數(shù)與方程思想【考情分析】縱觀近幾年的高考試題，函數(shù)的主干知識(shí)、知識(shí)的綜合應(yīng)用以及函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)思想方法的考查，一直是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一。在高考試卷上，與函數(shù)相關(guān)的試題所占比例始終在20%左右，且試題中既有靈活多變的客觀性試題，又有一定能力要求的主觀性試題。函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學(xué)思想，高考中所占比重比較大，綜合知識(shí)多、題型多、應(yīng)用技巧多。在高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)中，還安排了函數(shù)與方程這一節(jié)內(nèi)容，可見其重要所在。在近幾年的高考中，函數(shù)思想主要用于求變量的取值范圍、解不等式等，方程觀點(diǎn)的應(yīng)用可分為逐步提高的四個(gè)層次：（1）解方程；（2）含參數(shù)方程討論；（3）轉(zhuǎn)化為對(duì)方程的研究，如直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系，函數(shù)的性質(zhì)，集合關(guān)系；（4）構(gòu)造方程求解。預(yù)測(cè)2012年高考對(duì)本講考查趨勢(shì)：函數(shù)的零點(diǎn)問題、二次函數(shù)、二次方程、二次不等式間的關(guān)系；特別注意客觀形題目，大題一般難度略大?！局R(shí)交匯】函數(shù)與方程（不等式）的思想貫穿于高中學(xué)習(xí)的各個(gè)內(nèi)容，求值的問題就要涉及到方程，求取值范圍的問題就離不開不等式，但方程、不等式更離不開函數(shù)，函數(shù)與方程（不等式）思想的運(yùn)用使我們解決問題的重要手段。函數(shù)與方程是兩個(gè)不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)0的解就是函數(shù)yf(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0通過方程進(jìn)行研究。就中學(xué)數(shù)學(xué)而言，函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的目的。許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決，反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決。函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，也是歷年高考的重點(diǎn)。1函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問題；2方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決。方程的數(shù)學(xué)是對(duì)方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問題。方程思想是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系；3函數(shù)的思想與方程的思想的關(guān)系在中學(xué)數(shù)學(xué)中，很多函數(shù)的問題需要用方程的知識(shí)和方法來支持，很多方程的問題需要用函數(shù)的知識(shí)和方法去解決對(duì)于函數(shù)yf(x)，當(dāng)y0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)0，也可以把函數(shù)yf(x)看作二元方程yf(x)0，函數(shù)與方程可相互轉(zhuǎn)化。4函數(shù)方程思想的幾種重要形式（1）函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，對(duì)于函數(shù)yf(x)，當(dāng)y0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)f(x)看做二元方程yf(x)0。函數(shù)問題（例如求反函數(shù)，求函數(shù)的值域等）可以轉(zhuǎn)化為方程問題來求解，方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，如解方程f(x)0，就是求函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)；（2）函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對(duì)于函數(shù)yf(x)，當(dāng)y>0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)>0，借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式；（3）數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)處理數(shù)列問題十分重要；（4）函數(shù)f(x)（nN*）與二項(xiàng)式定理是密切相關(guān)的，利用這個(gè)函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項(xiàng)式定理的問題；（5）解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論；（6）立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用布列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決。【思想方法】題型1：函數(shù)思想在方程中應(yīng)用例1已知（a、b、cR），則有（ ）(A) (B) (C) (D) 解析：法一：依題設(shè)有 a·5b·c0，是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)實(shí)根；0 故選(B)；法二：去分母，移項(xiàng)，兩邊平方得：10ac2·5a·c20ac， 故選(B)題型2：函數(shù)思想在不等式中的應(yīng)用例2若a、b是正數(shù)，且滿足abab3，求ab的取值范圍。方法一(看成函數(shù)的值域)abab3，a1，b，而b>0，>0，即a>1或a<3，又a>0，a>1，故a1>0.aba·(a1)59.當(dāng)且僅當(dāng)a1，即a3時(shí)取等號(hào)又a>3時(shí)，(a1)5是關(guān)于a的單調(diào)增函數(shù)ab的取值范圍是9，)方法二(看成不等式的解集)a，b為正數(shù)，ab2，又abab3，ab23.即()2230，解得3或1(舍去)，ab9.ab的取值范圍是9，)方法三若設(shè)abt，則abt3，a，b可看成方程x2(t3)xt0的兩個(gè)正根從而有，即，解得t9，即ab9.ab的取值范圍是9，)點(diǎn)評(píng)：當(dāng)問題中出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時(shí)，是構(gòu)建一元二次方程的明顯信息，構(gòu)造方程后再利用方程知識(shí)可使問題巧妙解決。當(dāng)問題中出現(xiàn)多個(gè)變量時(shí)，往往要利用等量關(guān)系去減少變量的個(gè)數(shù)，如最后能把其中一個(gè)變量表示成關(guān)于另一個(gè)變量的表達(dá)式，那么就可用研究函數(shù)的方法將問題解決。題型3：函數(shù)思想在實(shí)際問題中的應(yīng)用例3（2011陜西理14) 植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個(gè)最小值為 （米）【分析】把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,然后列式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；【解】（方法一）設(shè)樹苗放在第個(gè)樹坑旁邊（如圖）， 1 2 19 20那么各個(gè)樹坑到第i個(gè)樹坑距離的和是：。所以當(dāng)或時(shí)，的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米。（方法二）根據(jù)圖形的對(duì)稱性，樹苗放在兩端的樹坑旁邊，所得路程總和相同，取得一個(gè)最值；所以從兩端的樹坑向中間移動(dòng)時(shí)，所得路程總和的變化相同，最后移到第10個(gè)和第11個(gè)樹坑旁時(shí)，所得的路程總和達(dá)到另一個(gè)最值，所以計(jì)算兩個(gè)路程和即可。樹苗放在第一個(gè)樹坑旁，則有路程總和是；樹苗放在第10個(gè)（或第11個(gè)）樹坑旁邊時(shí)，路程總和是：，所以路程總和最小為2000米.點(diǎn)評(píng)：構(gòu)造的二次函數(shù)形式在解題過程中起到了關(guān)鍵作用，函數(shù)是解決具體問題的有效工具。該題通過分析實(shí)際模型建立了函數(shù)解析式，研究函數(shù)的性質(zhì)，解釋問題。題型4：函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用例4設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知，>0，<0，（1）求公差d的取值范圍；（2）指出、，中哪一個(gè)最大，并說明理由。解析：（1）由得：，>0，<0，<d<3（2），d<0，是關(guān)于n 的二次函數(shù)，對(duì)稱軸方程為：x。<d<3，6<<，當(dāng)n6時(shí)，最大。點(diǎn)評(píng)：數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)處理數(shù)列問題十分重要。題型5：函數(shù)思想在立體幾何中的應(yīng)用例5（1）如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上任一點(diǎn)，設(shè)BAC，PAAB=2r，求異面直線PB和AC的距離。分析：異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點(diǎn)到AC的距離的最小值，從而設(shè)定變量，建立目標(biāo)函數(shù)而求函數(shù)最小值。 P MA H B D C解析：在PB上任取一點(diǎn)M，作MDAC于D，MHAB于H，設(shè)MHx，則MH平面ABC，ACHD，MDx(2rx)sin(sin1)x4rsinx4rsin(sin1)x即當(dāng)x時(shí)，MD取最小值為兩異面直線的距離。點(diǎn)評(píng)：本題巧在將立體幾何中“異面直線的距離”變成“求異面直線上兩點(diǎn)之間距離的最小值”，并設(shè)立合適的變量將問題變成代數(shù)中的“函數(shù)問題”。一般地，對(duì)于求最大值、最小值的實(shí)際問題，先將文字說明轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言后，再建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)性質(zhì)、重要不等式和有關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答。（2）已知由長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)之和為1，表面積為，求長(zhǎng)方體的體積的最值。解析：設(shè)三條棱長(zhǎng)分別為x，y，z，則長(zhǎng)方體的體積Vxyz。由題設(shè)有：； 所以， 故體積V（x）， 下面求x的取值范圍。 因?yàn)椋?所以y、z是方程的兩個(gè)實(shí)根。 由， 因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，。點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵在于確定目標(biāo)函數(shù)時(shí)，根據(jù)相關(guān)條件的特征，構(gòu)造了二次方程，并由此得出定義域使問題得解。題型6：利用方程思想處理解析幾何問題例6（1）直線與圓相切，則a的值為（ ）AB C1D解析：由直線方程得，并代入圓方程，整理得。又直線與圓相切，應(yīng)有，解得。故選D。點(diǎn)評(píng)：即把直線方程代入圓或圓錐曲線的方程，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，其判別式為，則有：（1）曲線C與直線相離；（2）曲線C與直線相切；（3）曲線C與直線相交。（2）ABC的三邊a，b，c滿足b8c，試確定ABC的形狀。 解析：因?yàn)閎c8， 所以b，c是方程的兩實(shí)根， 即，所以a6。從而得bc4，因此ABC是等腰三角形。點(diǎn)評(píng)：構(gòu)建一元二次方程的模型解決數(shù)學(xué)問題，是一種行之有效的手段，其獨(dú)特功能在于充分運(yùn)用構(gòu)建的一元二次方程及根的判別式和求根公式變更命題，從而使問題獲得圓滿解決。題型7：函數(shù)思想在三角中的應(yīng)用例7（1）求的取值范圍。解析：設(shè)，則，構(gòu)造二次函數(shù)， 由圖1可知：圖1即。（2）已知函數(shù)，當(dāng)有實(shí)數(shù)解時(shí)，求a的取值范圍。解析：由得，分離a得：；問題轉(zhuǎn)化為求a的值域。因?yàn)?，所以。故?dāng)時(shí)，有實(shí)數(shù)解。點(diǎn)評(píng)：該題通過三角換元構(gòu)造了二次函數(shù)，最終求得最值。題型8：方程思想在求函數(shù)最值中的應(yīng)用例8（1）如果函數(shù)的最大值是4，最小值是1，求實(shí)數(shù)a、b的值。 解析：由y的最大值是4，知存在實(shí)數(shù)x使4，即方程有實(shí)根，故有； 又由y的最大值是4，知對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有，即恒成立，故，從而有。 同樣由y的最小值是1，可得。由，可解得。（2）已知函數(shù)y的最大值為7，最小值為1，求此函數(shù)式。解析：函數(shù)式變形為： (ym)x4x(yn)0，xR，由已知得ym0， (4)4(ym)(yn)0。即：y(mn)y(mn12)0 ，不等式的解集為(1,7)，則。解得：或 y（也可： 由解集(1,7)而設(shè)(y1)(y7)0,然后與不等式比較系數(shù)而得。）點(diǎn)評(píng)：本例解法中，對(duì)題設(shè)中給出的最值，一方面認(rèn)為是方程的實(shí)數(shù)解，另一方面又認(rèn)為是不等式的恒成立條件。由于對(duì)題設(shè)條件的理解深刻，所以構(gòu)思新穎，證法嚴(yán)謹(jǐn)。題型9：方程思想在數(shù)列知識(shí)中的應(yīng)用例9若(zx) 4(xy)(yz)0,求證：x、y、z成等差數(shù)列。分析：題設(shè)正好是判別式b4ac0的形式，因此構(gòu)造一個(gè)一元二次方程求解。證明：當(dāng)xy時(shí)，可得xz，x、y、z成等差數(shù)列；當(dāng)xy時(shí)，設(shè)方程(xy)t(zx)t(yz)0，由0得tt，并易知t1是方程的根。t·t1，即2yxz，x、y、z成等差數(shù)列。點(diǎn)評(píng)：題設(shè)條件具備或經(jīng)變形整理后具備xxa、x·xb的形式，則利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程；具備b4ac0或b4ac0的形式，可利用根的判別式構(gòu)造一元二次方程。題型10：方程思想在三角知識(shí)中的應(yīng)用例10ABC中，求證：cosA·cosB·cosC證明：設(shè)kcosA·cosB·cosCcos(AB)cos(AB)·cosCcosCcos(AB)cosC；整理得：cosCcos(AB)·cosC2k0，即看作關(guān)于cosC的一元二次方程。cos(AB)8k0，即 8kcos(AB)1； k即cosA·cosB·cosC。點(diǎn)評(píng)：既是方程思想，也屬判別式法。還可用放縮法：cosA·cosB·cosC cosCcos(AB)·cosCcosCcos(AB)cos(AB) 。題型11：函數(shù)零點(diǎn)與方程的解例11（1）（2011天津理2）函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（） ABCD【答案】B【解析】解法1因?yàn)?，所以函?shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是故選解法2可化為畫出函數(shù)和的圖象，可觀察出選項(xiàng)，不正確，且，由此可排除，故選點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根以及函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)之間存在相互轉(zhuǎn)化關(guān)系。本題主要考察學(xué)生對(duì)方程的根與函數(shù)零點(diǎn)關(guān)系的理解，以及利用函數(shù)圖象確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的方法。（2）已知函數(shù)，則方程在（，）內(nèi)有沒有實(shí)數(shù)解？說明理由？解析：由基本初等函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在其定義域內(nèi)的圖象連續(xù)，且有，于是有·。函數(shù)在區(qū)間（，）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即方程在區(qū)間（，）（，1）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解點(diǎn)評(píng)：本題主要考察學(xué)生對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在判定定理的理解與應(yīng)用?！舅季S總結(jié)】1函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系，反映了一個(gè)事物隨著另一個(gè)事物變化而變化的關(guān)系和規(guī)律。函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是剔除問題的非數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系；2在解決某些數(shù)字問題時(shí)，先設(shè)定一些未知數(shù)，然后把它們當(dāng)作已知數(shù)，根據(jù)題設(shè)本身各量間的制約，列出等式，所設(shè)未知數(shù)溝通了變量之間的關(guān)系，這就是方程的思想； 3函數(shù)與方程是兩個(gè)不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，一個(gè)函數(shù)若有解析表達(dá)式，那么這個(gè)表達(dá)式就可看成是一個(gè)方程一個(gè)二元方程，兩個(gè)變量存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)，那么這個(gè)方程可以看成是一個(gè)函數(shù)，一個(gè)一元方程，它的兩端可以分別看成函數(shù)，方程的解即為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此，許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決；反之，許多有關(guān)函數(shù)的問題則可以用方程的方法解決總之，在復(fù)習(xí)中要注意領(lǐng)悟蘊(yùn)含在知識(shí)和解題過程中函數(shù)和方程的思想，用它來指導(dǎo)解題。在解題中，同時(shí)要注意從不同的角度去觀察探索，尋求多種方法，從而得到最佳解題方案。