第二篇重點(diǎn)專題分層練，中高檔題得高分,第15練立體幾何中檔大題規(guī)范練,明晰考情 1.命題角度：空間中的平行、垂直關(guān)系的證明與探求，空間幾何體的表面積、體積，平面圖形的折疊問(wèn)題. 2.題目難度：中檔難度.,核心考點(diǎn)突破練,欄目索引,模板答題規(guī)范練,考點(diǎn)一空間的平行、垂直關(guān)系,方法技巧(1)平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線平行，比較常見(jiàn)的是利用三角形中位線構(gòu)造平行關(guān)系，利用平行四邊形構(gòu)造平行關(guān)系. (2)證明線線垂直的常用方法 利用特殊平面圖形的性質(zhì)，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到線線垂直； 利用勾股定理的逆定理； 利用線面垂直的性質(zhì).,核心考點(diǎn)突破練,1.如圖，在六面體ABCDE中，平面DBC平面ABC，AE平面ABC.,證明,(1)求證：AE平面DBC；,證明過(guò)點(diǎn)D作DOBC，O為垂足. 又平面DBC平面ABC，平面DBC平面ABCBC，DO平面DBC， DO平面ABC. 又AE平面ABC，AEDO. 又AE平面DBC，DO平面DBC，故AE平面DBC.,證明由(1)知，DO平面ABC，AB平面ABC， DOAB. 又ABBC，且DOBCO，DO，BC平面DBC， AB平面DBC. DC平面DBC， ABDC. 又BDCD，ABDBB，AB，DB平面ABD， DC平面ABD. 又AD平面ABD，ADDC.,(2)若ABBC，BDCD，求證：ADDC.,證明,證明在平行六面體ABCDA1B1C1D1中， ABA1B1. 因?yàn)锳B平面A1B1C， A1B1平面A1B1C， 所以AB平面A1B1C.,2.(2018江蘇)如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1. 求證：(1)AB平面A1B1C；,證明,(2)平面ABB1A1平面A1BC.,證明,證明在平行六面體ABCDA1B1C1D1中， 四邊形ABB1A1為平行四邊形. 又因?yàn)锳A1AB，所以四邊形ABB1A1為菱形， 因此AB1A1B. 又因?yàn)锳B1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC. 又因?yàn)锳1BBCB，A1B，BC平面A1BC， 所以AB1平面A1BC. 因?yàn)锳B1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.,3.(2018全國(guó))如圖，在三棱錐PABC中，ABBC ，PAPBPCAC4，O為AC的中點(diǎn).,證明,(1)證明：PO平面ABC；,證明因?yàn)镻APCAC4，O為AC的中點(diǎn)，,如圖，連接OB.,所以ABC為等腰直角三角形，,由OP2OB2PB2知POOB. 因?yàn)镺POB，OPAC，OBACO，OB，AC平面ABC， 所以PO平面ABC.,(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且MC2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離.,解答,解作CHOM，垂足為H，又由(1)可得OPCH， 因?yàn)镺MOPO，OM，OP平面POM，所以CH平面POM. 故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離.,ACB45，所以在OMC中，,考點(diǎn)二幾何體的表面積、體積,方法技巧(1)空間幾何體的表面積是各個(gè)面的面積之和，求解時(shí)可利用相應(yīng)的面積公式計(jì)算. (2)幾何體體積的常用解法 直接法；割補(bǔ)法；等積轉(zhuǎn)換法.,4.(2018全國(guó))如圖，在平行四邊形ABCM中，ABAC3，ACM90.以AC為折痕將ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且ABDA.,證明,(1)證明：平面ACD平面ABC；,證明由已知可得，BAC90， 即BAAC. 又BAAD，ACADA，AD，AC平面ACD， 所以AB平面ACD. 又AB平面ABC， 所以平面ACD平面ABC.,(2)Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BPDQ ，求三棱錐QABP的體積.,解答,如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QEAC，垂足為E，,由(1)知平面ACD平面ABC， 又平面ACD平面ABCAC，CDAC，CD平面ACD， 所以DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1. 因此，三棱錐QABP的體積,(1)求證：A1D1平面AB1D；,證明,5.如圖，在棱長(zhǎng)均為4的三棱柱ABCA1B1C1中，D，D1分別是BC和B1C1的中點(diǎn).,證明連接DD1，在三棱柱ABCA1B1C1中， D，D1分別是BC和B1C1的中點(diǎn)， B1D1BD，且B1D1BD， 四邊形B1BDD1為平行四邊形， BB1DD1，且BB1DD1. 又AA1BB1，AA1BB1， AA1DD1，AA1DD1， 四邊形AA1D1D為平行四邊形， A1D1AD. 又A1D1平面AB1D，AD平面AB1D，A1D1平面AB1D.,解答,(2)若平面ABC平面BCC1B1，B1BC60，求三棱錐B1ABC的體積.,解在ABC中，邊長(zhǎng)均為4，則ABAC，D為BC的中點(diǎn)，ADBC. 平面ABC平面B1C1CB，平面ABC平面B1C1CBBC， AD平面ABC， AD平面B1C1CB，即AD是三棱錐AB1BC的高.,三棱錐B1ABC的體積即為三棱錐AB1BC的體積,解答,6.(2018龍巖質(zhì)檢)已知空間幾何體ABCDE中，BCD與CDE均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，ABC為腰長(zhǎng)為3的等腰三角形，平面CDE平面BCD，平面ABC平面BCD.,(1)試在平面BCD內(nèi)作一條直線，使得直線上任意一點(diǎn)F與E的連線EF均與平面ABC平行，并給出詳細(xì)證明；,解如圖所示，取DC的中點(diǎn)N，取BD的中點(diǎn)M， 連接MN，則MN即為所求直線. 證明如下： 取BC的中點(diǎn)H，連接AH， ABC是腰長(zhǎng)為3的等腰三角形，H為BC的中點(diǎn)， AHBC， 又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，AH平面ABC， AH平面BCD， 同理，可證EN平面BCD，ENAH， EN平面ABC，AH平面ABC，EN平面ABC.,又M，N分別為BD，DC的中點(diǎn)，MNBC， MN平面ABC，BC平面ABC， MN平面ABC. 又MNENN，MN平面EMN，EN平面EMN， 平面EMN平面ABC， 又EF平面EMN，EF平面ABC.,解答,(2)求三棱錐EABC的體積.,解連接DH，取CH的中點(diǎn)G，,由(1)可知EN平面ABC， 所以點(diǎn)E到平面ABC的距離與點(diǎn)N到平面ABC的距離相等.,又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，DH平面BCD，,又ACAB3，BC2，,考點(diǎn)三立體幾何的綜合問(wèn)題,方法技巧(1)和折疊有關(guān)的平行、垂直問(wèn)題，關(guān)鍵是弄清折疊前后變與不變的關(guān)系，找出隱含的平行、垂直關(guān)系. (2)立體幾何中的探索性問(wèn)題，可利用推理證明得出結(jié)論或利用特例得出結(jié)論，再針對(duì)一般情形給出證明.,7.(2018全國(guó))如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧 所在平面垂直，M是 上異于C，D的點(diǎn).,證明,(1)證明：平面AMD平面BMC；,證明由題設(shè)知，平面CMD平面ABCD，交線為CD. 因?yàn)锽CCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD， 又DM平面CMD， 故BCDM. 因?yàn)镸為 上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑， 所以DMCM. 又BCCMC，BC，CM平面BMC， 所以DM平面BMC. 又DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.,(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC平面PBD？說(shuō)明理由.,解答,解當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí)，MC平面PBD. 證明如下：連接AC，BD，交于點(diǎn)O. 因?yàn)锳BCD為矩形， 所以O(shè)為AC中點(diǎn). 連接OP，因?yàn)镻為AM中點(diǎn)， 所以MCOP. 又MC平面PBD，OP平面PBD， 所以MC平面PBD.,證明,8.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，AC與BD交于點(diǎn)O，將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，得到三棱錐ABCD.,(1)求證：平面AOC平面BCD；,證明四邊形ABCD是正方形， BDAO，BDCO. 折起后仍有BDAO，BDCO，AOCOO，AO，CO平面AOC， BD平面AOC. BD平面BCD， 平面AOC平面BCD.,解答,(2)若三棱錐ABCD的體積為 ，且AOC是鈍角，求AC的長(zhǎng).,解由(1)知BD平面AOC，,又AOC是鈍角，AOC120. 在AOC中，由余弦定理，得 AC2OA2OC22OAOCcosAOC,9.如圖所示，三棱錐PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60. (1)求三棱錐PABC的體積；,解答,解AB1，AC2，BAC60，,由PA平面ABC可知，PA是三棱錐PABC的高，且PA1，,(2)證明：在線段PC上存在點(diǎn)M，使得ACBM，并求 的值.,解答,解在平面ABC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)B作BNAC，垂足為N， 在平面PAC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)N作MNPA交PC于點(diǎn)M，連接BM. PA平面ABC，AC平面ABC， PAAC，MNAC. 又BNAC，BNMNN，BN，MN平面BMN， AC平面MBN. 又BM平面MBN， ACBM.,模板答題規(guī)范練,模板體驗(yàn),典例(12分)如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBC ，BADABC90. (1)證明：直線BC平面PAD； (2)若PCD的面積為 ，求四棱錐PABCD的體積.,審題路線圖,規(guī)范解答評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) (1)證明在平面ABCD內(nèi)，因?yàn)锽ADABC90，,所以BCAD. 1分 又BC平面PAD，AD平面PAD， 所以BC平面PAD. 3分,(2)解如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接PM，CM. 因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形，所以PMAD，又底面ABCD平面PAD，平面PAD平面ABCDAD，PM平面PAD， 所以PM底面ABCD. 4分 由ABBC 及BCAD，ABC90得四邊形ABCM為正方形，則CMAD. 6分 因?yàn)镃M底面ABCD，所以PMCM. 8分,解得x2(舍去)或x2. 10分,所以四棱錐PABCD的體積,構(gòu)建答題模板 第一步證關(guān)系：空間中的線面關(guān)系以線線關(guān)系為基礎(chǔ)，先尋找圖形中的線線平行或線線垂直，再利用判定定理證線面平行或線面垂直. 第二步找底面：計(jì)算幾何體的體積，關(guān)鍵是確定幾何體的底面和相應(yīng)的高，理清計(jì)算的思路. 第三步巧計(jì)算：利用已知條件巧妙搭建和要求體積的關(guān)系，計(jì)算所求面積或體積.,1.(2018北京)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn). (1)求證：PEBC；,規(guī)范演練,證明,證明因?yàn)镻APD，E為AD的中點(diǎn)， 所以PEAD. 因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形， 所以BCAD，所以PEBC.,(2)求證：平面PAB平面PCD；,證明,證明因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形， 所以ABAD. 又因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD， 所以AB平面PAD，又PD平面PAD， 所以ABPD. 又因?yàn)镻APD，PAABA，PA，AB平面PAB， 所以PD平面PAB. 又PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.,(3)求證：EF平面PCD.,證明,所以DEFG，DEFG. 所以四邊形DEFG為平行四邊形，所以EFDG. 又因?yàn)镋F平面PCD，DG平面PCD， 所以EF平面PCD.,證明如圖，取PC的中點(diǎn)G，連接FG，DG. 因?yàn)镕，G分別為PB，PC的中點(diǎn)，,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，且E為AD的中點(diǎn)，,2.(2017北京)如圖，在三棱錐PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn). (1)求證：PABD；,證明因?yàn)镻AAB，PABC，ABBCB，AB，BC平面ABC，所以PA平面ABC. 又因?yàn)锽D平面ABC，所以PABD.,證明,(2)求證：平面BDE平面PAC；,證明因?yàn)锳BBC，D是AC的中點(diǎn)， 所以BDAC. 由(1)知PABD， 又ACPAA，AC，PA平面PAC， 所以BD平面PAC. 又BD平面BDE，所以平面BDE平面PAC.,證明,(3)當(dāng)PA平面BDE時(shí)，求三棱錐EBCD的體積.,解因?yàn)镻A平面BDE，平面PAC平面BDEDE，所以PADE. 因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，,解答,由(1)知PA平面ABC，所以DE平面ABC，,3.(2018柳州模擬)如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB4，BC2，現(xiàn)將ACD沿AC折起，使D折到P的位置且P在平面ABC的投影E恰好在線段AB上.,證明,(1)證明：APPB；,證明由題意知PE平面ABC，又BC平面ABC， PEBC， 又ABBC 且ABPEE，AB，PE平面PAB， BC平面PAB， 又AP平面PAB，BCAP， 又APCP且BCCPC，BC，CP平面PBC， AP平面PBC， 又PB平面PBC，APPB.,(2)求三棱錐PEBC的表面積.,解答,解在PAB中，由(1)得APPB，AB4，AP2，,三棱錐PEBC的表面積為,4.如圖，在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC， (1)求證：DC平面PAC；,證明,證明因?yàn)镻C平面ABCD， 所以PCDC. 又因?yàn)镈CAC，ACPCC，AC，PC平面PAC， 所以DC平面PAC.,(2)求證：平面PAB平面PAC；,證明,證明因?yàn)锳BDC， 又由(1)知DC平面PAC， 所以AB平面PAC. 又AB平面PAB， 所以平面PAB平面PAC.,(3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得PA平面CEF？說(shuō)明理由.,解答,解棱PB上存在點(diǎn)F， 使得PA平面CEF. 證明如下： 取PB中點(diǎn)F，連接EF，CE，CF. 因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)， 所以EFPA. 又因?yàn)镻A平面CEF，EF平面CEF， 所以PA平面CEF.,