人教版九下數(shù)學(xué) 中考專題復(fù)習(xí) 專題4 幾何探究問題 1. 如圖所示，在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=42，點 D 是 AC 上一動點，連接 BD，以 AD 為直徑的圓交 BD 于點 E，則線段 CE 長度的最小值是 ?? A． 2 B． 4 C． 22-2 D． 25-2 2. 問題提出： 如圖（1）所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C 半徑為 2，P 為圓上一動點，連接 AP，BP，求 12BP 的最小值． (1) 嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖（2）所示，連接 CP，在 CB 上取點 D，使 CD=1，則有 CDCP=CPCB=12，又 ∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴PDBP=12，∴PD=12BP，∴AP+12BP=AP+PD． 請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+12BP 的最小值為 ． (2) 自主探索：在“問題提出”的條件不變的情況下，13AP+BP 的最小值為 ． (3) 拓展延伸：如圖（3）所示，已知扇形 COD 中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，點 P 是 CD 上一點，求 2PA+PB 的最小值． 3. 如圖所示，已知點 A3,4，點 B 為直線 x=-2 上的動點，點 Cx,0 且 -2<x<3，BC⊥AC，垂足為點 C，連接 AB．若 AB 與 y 軸正半軸所夾銳角為 α，當(dāng) tanα 的值最大時，x 的值為 ?? A． 12 B． 323 C． 1 D． 13 4. 如圖所示，AC，BD 在 AB 的同側(cè)，AC=2，BD=8，AB=8，點 M 為 AB 的中點，若 ∠CMD=120°，則 CD 的最大值是 ． 5. 如圖所示，在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，點 D 是 △ABC 所在平面上一點，且滿足 DB=3，DA=5，則 CD 的最小值為 ?? A． 52-3 B． 5-32 C． 2 D． 1 6. 如圖所示，在 △ABC 中，D 是 AC 邊上的中點，連接 BD，把 △BDC 沿 BD 翻折，得到 △BDC?，DC? 與 AB 交于點 E，連接 AC?，若 AD=AC?=2，BD=3，則點 D 到 BC? 的距離為 ?? A． 332 B． 3217 C． 7 D． 13 7. 如圖所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，點 D，F(xiàn) 分別是邊 AB，BC 上的動點，連接 CD，過點 A 作 AE⊥CD 交 BC 于點 E，垂足為 G，連接 GF，則 GF+12FB 的最小值是 ?? A． 3-1 B． 3+1 C． 332-1 D． 332+1 8. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù) y=2x-1 的圖象分別交 x 軸、 y 軸于點 A，B，將直線 AB 繞點 B 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 45°，交 x 軸于點 C，則直線 BC 的函數(shù)解析式是 ． 9. 如圖所示，矩形 ABCD 中，AB=10，BC=5，點 E，F(xiàn)，G，H 分別在矩形 ABCD 各邊上，且 AE=CG，BF=DH，則四邊形 EFGH 周長的最小值為 ． 10. 如圖所示，已知 △ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=23．D 為 BC 邊一點，且 BD:DC=1:2．以 D 為一個點作等邊三角形 DEF，且 DE=DC，連接 AE，將等邊三角形 DEF 繞點 D 旋轉(zhuǎn)一周，在整個旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng) AE 取得最大值時，AF 的長為 ． 11. 解答下列問題． (1) 初步思考： 如圖（1）所示，在 △PCB 中，已知 PB=2，BC=4，N 為 BC 上一點且 BN=1，試證明 PN=12PC． (2) 問題提出： 如圖（2）所示，已知正方形 ABCD 的邊長為 4，圓 B 的半徑為 2，點 P 是圓 B 上的一個動點，求 PD+12PC 的最小值． (3) 推廣運(yùn)用： 如圖（3）所示，已知菱形 ABCD 的邊長為 4，∠B=60°，圓 B 的半徑為 2，點 P 是圓 B 上的一個動點，求 PD-12PC 的最大值． 12. 如圖所示，在 △ABC 中，分別以 AB，AC 為腰向外側(cè)作等腰直角三角形 ADB 與等腰直角三角形 AEC，∠DAB=∠EAC=90°，連接 DC，EB 相交于點 O． (1) 求證 BE⊥DC； (2) 若 BE=BC． ①如圖（1）所示，G，F(xiàn) 分別是 DB，EC 中點，求 GFBC 的值． ②如圖（2）所示，連接 OA，若 OA=2，求 △DOE 的面積． 13. 如圖（1）所示，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=4，BC=2，點 D，E 分別是邊 BC，AC 的中點，連接 DE．將 △CDE 繞點 C 逆時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為 α． (1) 問題發(fā)現(xiàn)． ①當(dāng) α=0° 時，AEBD= ； ②當(dāng) α=180° 時，AEBD= ． (2) 拓展探究． 試判斷：當(dāng) 0°≤α<360° 時，AEBD 的大小有無變化？請僅就圖（2）的情形給出證明． (3) 問題解決． △CDE 繞點 C 逆時針旋轉(zhuǎn)至 A，B，E 三點在同一條直線上時，求線段 BD 的長． 答案 1. 【答案】D 【解析】如圖所示，以 AB 為直徑作 ⊙O，連接 OC，OE． ∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=42， ∴AB=AC=4，OA=OB=2，OC=AC2+AO2=25． ∵OE=OA=2，OE+EC≥OC， ∴O，E，C 共線時，EC 的值最小，最小值為 25-2． 2. 【答案】 (1) 37 (2) 2337 (3) 如圖（3）所示，延長 OC 到點 E，使 CE=6， ∴OE=OC+CE=12． 連接 PE，OP， ∵OA=3， ∴OAOP=OPOE=12． ∵∠AOP=∠EOP， ∴△OAP∽△OPE， ∴APEP=12， ∴EP=2PA， ∴2PA+PB=EP+PB， ∴ 當(dāng) E，P，B 三點共線時，2PA+PB 取得最小值等于 BE=OB2+OE2=13． 【解析】 (1) 如圖（1）所示，連接 AD， ∵AP+12BP=AP+PD，要使 AP+12BP 最小， ∴AP+PD 最小，當(dāng)點 A，P，D 在同一條直線時，AP+PD 最小， 即 AP+12BP 最小值為 AD 的長． 在 Rt△ACD 中，CD=1，AC=6， ∴AD=AC2+CD2=37， 即 AP+12BP 的最小值為 37． (2) 如圖（2）所示，連接 CP，在 CA 上取點 D，使 CD=23， ∴CDCP=CPCA=13． ∵∠PCD=∠ACP， ∴△PCD∽△ACP， ∴PDAP=CPCA=13， ∴PD=13AP， ∴13AP+BP=BP+PD． 同（1）的方法得出 13AP+BP 的最小值等于 BD=BC2+CD2=2337． 3. 【答案】A 【解析】如圖所示，設(shè)直線 x=-2 與 x 軸交于 G，過 A 作 AH⊥ 直線 x=-2 于 H，AF⊥x 軸于 F， ∵BH∥y 軸， ∴∠ABH=α． 在 Rt△ABH 中，tanα=5BH， ∵tanα 隨 BH 的增大而減小， ∴ 當(dāng) BH 最小時 tanα 有最大值； 即 BG 最大時，tanα 有最大值． ∵∠BGC=∠ACB=∠AFC=90°， ∴∠GBC+∠BCG=∠BCG+∠ACF=90°， ∴∠GBC=∠ACF， ∴△ACF∽△CBG， ∴BGCF=CGAF，即 y3-x=x+24， ∴y=14x+23-x=-14x-122+2516， 當(dāng) x=12 時，y 取最大值 2516． 故選A． 4. 【答案】 14 【解析】如圖所示，作點 A 關(guān)于 CM 的對稱點 A?，點 B 關(guān)于 DM 的對稱點 B?． ∵∠CMD=120°， ∴∠AMC+∠DMB=60°， ∴∠CMA?+∠DMB?=60°， ∴∠A?MB?=60°． ∵M(jìn)A?=MB?， ∴△A?MB? 為等邊三角形． ∵CD≤CA?+A?B?+B?D=CA+AM+BD=2+4+8=14， ∴CD 的最大值為 14． 5. 【答案】A 【解析】如圖所示，將 △ADC 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 90°，得到 △ABE． 則 CD=BE，連接 DE，△ADE 是等腰直角三角形，ED=52． ∵ED-BD≤BE， ∴BE≥52-3， ∴ 當(dāng) E，B，D 三點共線時，BE 最小，即 CD 最?。? 此時 BE 的最小值為 DE-BD=52-3． 6. 【答案】B 【解析】如圖所示，連接 CC?，交 BD 于點 M，過點 D 作 DH⊥BC? 于點 H， ∵AD=AC?=2，D 是 AC 邊上的中點， ∴DC=AD=2． 由翻折知 △BDC≌△BDC?，BD 垂直平分 CC?， ∴DC=DC?=2，BC=BC?，CM=C?M， ∴AD=AC?=DC?=2， ∴△ADC? 為等邊三角形， ∴∠ADC?=∠AC?D=∠C?AC=60°， ∵DC=DC?， ∴∠DCC?=∠DC?C=12×60°=30°． 在 Rt△C?DM 中，∠DC?C=30°，DC?=2， ∴DM=1，C?M=3DM=3， ∴BM=BD-DM=3-1=2． 在 Rt△BMC? 中，BC?=BM2+C?M2=22+32=7， ∵S△BDC?=12BC??DH=12BD?C?M， ∴7DH=3×3， ∴DH=3217． 7. 【答案】C 【解析】如圖所示，延長 AC 到點 P，使 CP=AC，連接 BP，過點 F 作 FH⊥BP 于點 H，取 AC 中點 O，連接 OG，過點 O 作 OQ⊥BP 于點 Q， ∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=4， ∴AC=CP=2，BP=AB=4， ∴△ABP 是等邊三角形， ∴∠FBH=30°． Rt△FHB 中，F(xiàn)H=12FB， ∴ 當(dāng) G，F(xiàn)，H 在同一直線上時，GF+12FB=GF+FH=GH 取得最小值． ∵AE⊥CD 于點 G， ∴∠AGC=90°． ∵O 為 AC 的中點， ∴OA=OC=OG=12AC， ∴A，C，G 三點共圓，圓心為 O，即點 G 在 ⊙O 上運(yùn)動， ∴ 當(dāng)點 G 運(yùn)動到 OQ 上時，GH 取得最小值． ∵Rt△OPQ 中，∠P=60°，OP=3，sinP=OQOP=32， ∴OQ=32OP=332， ∴GH 的最小值為 332-1． 8. 【答案】 y=13x-1 【解析】 ∵ 一次函數(shù) y=2x-1 的圖象分別交 x 軸、 y 軸于點 A，B， ∴ 令 x=0，得 y=-1，令 y=0，則 x=12， ∴A12,0，B0,-1， ∴OA=12，OB=1． 如圖所示，過 A 作 AF⊥AB 交 BC 于 F，過 F 作 FE⊥x 軸于 E， 由題意知 ∠ABC=45°， ∴△ABF 是等腰直角三角形， ∴AB=AF． ∵∠OAB+∠ABO=∠OAB+∠EAF=90°， ∴∠ABO=∠EAF， ∴△ABO≌△FAE， ∴AE=OB=1，EF=OA=12， ∴F32,-12． 設(shè)直線 BC 的函數(shù)解析式為 y=kx+b，由 32k+b=-12,b=-1, 得 k=13,b=-1, ∴ 直線 BC 的函數(shù)解析式為 y=13x-1． 9. 【答案】 105 【解析】作點 E 關(guān)于 BC 的對稱點 E?，連接 E?G 交 BC 于點 F，此時四邊形 EFGH 周長取最小值，過點 G 作 GG?⊥AB 于點 G?，如圖所示： ∵AE=CG，BE=BE?， ∴E?G?=AB=10． ∵GG?=AD=5， ∴E?G=E?G?2+GG?2=55， ∴C四邊形EFGH=2E?G=105． 10. 【答案】 27 【解析】如圖所示，點 E，F(xiàn) 在以 D 為圓心，DC 為半徑的圓上，當(dāng) A，D，E 在同一直線上時，AE 取最大值，過點 A 作 AH⊥BC 交 BC 于 H，連接 FC， ∴∠BAC=120°，AB=AC=23， ∴∠B=∠ACB=30°，BH=CH， ∴ 在 Rt△ABH 中，AH=12AB=3，BH=3AH=3， ∴BC=2BH=6， ∵BD:DC=1:2， ∴BD=2，CD=4， ∴DH=BH-BD=1， 在 Rt△ADH 中，AH=3，DH=1， ∴tan∠DAH=DHAH=33， ∴∠DAH=30°，∠ADH=60°， ∵△DEF 是等邊三角形， ∴∠E=60°，DE=EF=DC， ∵∠ADC=∠E=60°， ∴DC∥EF， ∵DC=EF， ∴ 四邊形 DEFC 為平行四邊形， 又 ∵DE=DC， ∴ 平行四邊形 DEFC 為菱形， ∴FC=DC=4，∠DCF=∠E=60°， ∴∠ACF=∠ACB+∠DCF=90°， 在 Rt△ACF 中，AF=AC2+CF2=232+42=27． 11. 【答案】 (1) 如圖（1）所示． ∵PB=2，BC=4，BN=1， ∴PB2=4，BN?BC=4， ∴PB2=BN?BC， ∴BNBP=BPBC． 又 ∵∠B=∠B， ∴△BPN∽△BCP， ∴PNPC=BNBP=12， ∴PN=12PC． (2) 如圖（2）所示，在 BC 上取一點 G，使得 BG=1，連接 BP． ∵PBBG=21=2，BCPB=42=2， ∴PBBG=BCPB，∠PBG=∠PBC， ∴△PBG∽△CBP， ∴PGPC=BGPB=12， ∴PG=12PC， ∴PD+12PC=DP+PG， ∵DP+PG≥DG， ∴ 當(dāng) D，P，G 共線時，PD+12PC 的值最小，最小值為 DG=42+32=5． (3) 同（2）中證法，如圖（3）所示． 取 BG=1，PD-12PC=PD-PG≤DG， 當(dāng)點 P 在 DG 的延長線上時，PD-12PC 取最大值，最大值為 DG 的長 =37． 12. 【答案】 (1) ∵∠DAB=∠EAC=90°， ∴∠EAB=∠CAD． 在 △BAE 和 △DAC 中， AB=AD,∠BAE=∠DAC,AE=AC, ∴△BAE≌△DAC， ∴∠ABE=∠ADC． ∵∠BAD=90°， ∴∠DOB=90°，即 BE⊥DC． (2) ①如圖（1）所示，取 DE 的中點 H，連接 GH，F(xiàn)H． ∵ 點 G 是 BD 的中點， ∴GH∥BE，GH=12BE． 同理，F(xiàn)H∥CD，F(xiàn)H=12CD． ∵BE=CD，BE⊥DC， ∴GH=FH，GH⊥FH， ∴△HGF 為等腰直角三角形， ∴GF=2GH． ∵GH=12BE， ∴GF=22BE． ∵BE=BC， ∴GFBC=22． ②如圖（2）所示，作 AM⊥BE 于 M，AN⊥CD 于 N． 在 △BAE 和 △BAC 中， BE=BC,AE=AC,AB=AB, ∴△BAE≌△BAC， ∴∠BAE=∠BAC=135°， ∴∠DAE=135°-90°=45°， 即 ∠OAD+∠OAE=45°． ∵△BAE≌△DAC， ∴AM=AN． 又 AM⊥BE，AN⊥CD， ∴OA 平分 ∠BOC， ∴∠BOA=∠COA=45°， ∴∠DOA=∠EOA=135°， ∴∠ODA+∠OAD=45°， ∴∠OAE=∠ODA， ∴△ODA∽△OAE， ∴ODOA=OAOE， 即 OD?OE=OA2=4， ∴△DOE 的面積 =12OD?OE=2． 13. 【答案】 (1) 5；5 (2) 如圖（2）所示， 當(dāng) 0°≤α<360° 時，AEBD 的大小沒有變化． 證明： 因為 ∠ECD=∠ACB， 所以 ∠ECA=∠DCB． 又因為 ECDC=ACBC=5， 所以 △ECA∽△DCB， 所以 AEBD=ECDC=5． (3) ①如圖（3）所示， 當(dāng)點 E 在 AB 的延長線上時，在 Rt△BCE 中，CE=5，BC=2， 所以 BE=EC2-BC2=5-4=1， 所以 AE=AB+BE=5， 因為 AEBD=5， 所以 BD=55=5． ②如圖（4）所示， 當(dāng)點 E 在線段 AB 上時，易知 BE=1，AE=4-1=3， 因為 AEBD=5， 所以 BD=355． 綜上所述，滿足條件的 BD 的長為 355 或 5． 【解析】 (1) ①當(dāng) α=0° 時， 因為 Rt△ABC 中，∠B=90°， 所以 AC=AB2+BC2=22+42=25， 因為點 D，E 分別是邊 BC，AC 的中點， 所以 AE=12AC=5，BD=12BC=1， 所以 AEBD=5． ②如圖（1）所示， 當(dāng) α=180° 時，可得 AB∥DE， 因為 ACAE=BCBD， 所以 AEBD=ACBC=5．