第7講,抽象函數(shù),1滿足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的是正比例函數(shù)型抽象函數(shù) 2滿足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的是對數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù) 3滿足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的指數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù),1已知定義在 R 上的函數(shù) f(x)滿足 f(xy)f(x)f(y)，則 f(x),是(,),A,A奇函數(shù) B偶函數(shù) C既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù) D既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù),2函數(shù) f(x)滿足 f(x)f(x2)13，若 f(1)2，則 f(99)(,),A13,B2,13 C. 2,2 D. 13,C,3設(shè)奇函數(shù) f(x)滿足：對xR 有 f(x1)f(x)0，則 f(5),_.,0,4已知定義在 R 上的函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，對 xR 都有 f(2,x)f(2x)，當(dāng) f(3)2 時(shí)，f(2 013)的值為_.,2,5已知函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?R，并且對任意正數(shù) x，y 都有 f(xy)f(x)f(y)，則,(1)f(1)_；,0,考點(diǎn)1 正比例函數(shù)型抽象函數(shù),例1：設(shè)函數(shù) f(x)對任意 x，yR，都有 f(xy)f(x)f(y)，,且 x0 時(shí)，f(x)<0，f(1)2.,(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；,(2)試問在3x3 時(shí)，f(x)是否有最值？如果有求出最值；,如果沒有，說出理由,解：(1) 令xy0， 則有f(0)2f(0)f(0)0. 令yx，則有f(0)f(x)f(x) 即f(x)f(x)f(x)是奇函數(shù) (2) 任取x10f(x2x1)0. f(x1)f(x2)yf(x)在R上為減函數(shù) 因此f(3)為函數(shù)的最小值，f(3)為函數(shù)的最大值 f(3)f(1)f(2)3f(1)6，f(3)f(3)6. 函數(shù)最大值為6，最小值為6.,(1)正比例函數(shù)型抽象函數(shù)的一般步驟為 f(0)0 f(x)是奇函數(shù)f(xy)f(x)f(y)單調(diào)性,(2)小技巧判斷單調(diào)性：設(shè)x10f(x2x1)<0f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)<f(x1)，得到函數(shù)單調(diào)遞減,【互動(dòng)探究】 1已知定義在 R 上的函數(shù) f(x)滿足 f(xy)f(x)f(y)，則下,列錯(cuò)誤的是(,),D,考點(diǎn)2 對數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù),(1)求證：f(x)是偶函數(shù)；,(2)求證：f(x)在(0，)上是增函數(shù)； (3)解不等式 f(2x21)<2.,例2：已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|xR，且x0，對定義域內(nèi)的任意x1，x2，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且當(dāng)x1時(shí)f(x)0，f(2)1.,解：(1) 對定義域內(nèi)的任意x1，x2都有 f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x，x21， 則有f(x)f(x)f(1),證明抽象函數(shù)的單調(diào)性通常是用單調(diào)性的定義結(jié) 合比較法(作差法、作商法)，函數(shù)的單調(diào)性是比較大小的常用方法 運(yùn)用不等式性質(zhì)時(shí)應(yīng)從結(jié)論出發(fā)，尋找解題的切入點(diǎn),【互動(dòng)探究】,當(dāng) f(x)lgx 時(shí)，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是_.,考點(diǎn)3 指數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù),例3：定義在 R 上的函數(shù) yf(x)，f(0)0，當(dāng) x0 時(shí)，f(x)1，,且對任意的 a，bR，有 f(ab)f(a)f(b),(1)求證：f(0)1；,(2)求證：對任意的 xR，恒有 f(x)0； (3)求證：f(x)是 R 上的增函數(shù)；,(4)若 f(x)f(2xx2)1，求 x 的取值范圍,(1)指數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)的一般步驟為f(0)1,(4)由f(x)f(2xx2)1，f(0)1得 f(3xx2)f(0) 又f(x)是R上的增函數(shù)，3xx20.0 x3.,(2)小技巧判斷單調(diào)性：設(shè)x1x2，x1x20， 則f(x1x2)1.f(x1)f(x2x1x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)， 得到函數(shù)是增函數(shù),【互動(dòng)探究】 3設(shè)指數(shù)函數(shù) f(x)ax(a0 且 a1)，則下列等式正確的有,_(填序號),思想與方法,6轉(zhuǎn)化與化歸思想解信息給予題,例題：對定義在0,1上，并且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù),f(x)稱為 G 函數(shù)：,對任意的x0,1，總有f(x)0； 當(dāng)x10，x20，x1x21時(shí)，總有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立 已知函數(shù)g(x)x2與h(x)2xb是定義在0,1上的函數(shù) (1)試問函數(shù)g(x)是否為G函數(shù)？并說明理由； (2)若函數(shù)h(x)是G函數(shù)，求實(shí)數(shù)b組成的集合,一般地，一個(gè)抽象函數(shù)都對應(yīng)著我們非常熟悉的基本函數(shù)， 在中學(xué)階段，我們主要學(xué)習(xí)正比例函數(shù)型、對數(shù)型、指數(shù)型以及 三角函數(shù)類型，因此在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)把握對題型的聯(lián)想與分析，力爭 事半功倍,f(x1x2)f(x1)f(x2)、f(x1x2)f(x1)f(x2)、f(x1x2)f(x1)f(x2)分別是正比例、對數(shù)、指數(shù)函數(shù)的抽象形式，解題時(shí)可以由具體函數(shù)的性質(zhì)知道我們思考的方式及解題的步驟，但不能用具體函數(shù)來代替抽象的解析式,