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5.4應(yīng)用二元一次方程組——增收節(jié)支 教學(xué)目標(biāo) 【知識(shí)與能力】 1.能運(yùn)用列表分析法分析數(shù)量關(guān)系； 2.能熟練地列二元一次方程組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 3．掌握運(yùn)用列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的技能. 【過(guò)程與方法】 經(jīng)歷和體驗(yàn)列方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力. 【情感態(tài)度價(jià)值觀】 1.通過(guò)問(wèn)題的解決進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系. 2.通過(guò)對(duì)問(wèn)題的解決，培養(yǎng)學(xué)生的必要的經(jīng)濟(jì)意識(shí)，增強(qiáng)他們節(jié)約成本、有效合理利用資源的意識(shí). 教學(xué)重難點(diǎn) 【教學(xué)重點(diǎn)】 1.初步體會(huì)列方程組解決實(shí)際問(wèn)題的步驟． 2.學(xué)會(huì)用圖表分析較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題. 【教學(xué)難點(diǎn)】 將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二元一次方程組的數(shù)學(xué)模型；會(huì)用圖表分析數(shù)量關(guān)系. 課前準(zhǔn)備 教具：教材，課件，電腦（視頻播放器） 學(xué)具：教材，練習(xí)本 教學(xué)過(guò)程 第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課（5分鐘，學(xué)生觀看圖片和實(shí)際問(wèn)題，引發(fā)思考和提升解決問(wèn)題的興趣.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，引導(dǎo)學(xué)生思考，導(dǎo)入課題） 你想過(guò)嗎？ 提出問(wèn)題：同學(xué)們你知道你的生活有哪些必要開(kāi)支嗎？ 引發(fā)問(wèn)題： 經(jīng)濟(jì)生活在我們生活中多么重要！你想運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)使你的生活更加合理優(yōu)化，生活的更加幸福愜意嗎？那么你能幫幫解決下面的實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題嗎？ 教學(xué)進(jìn)程：教師演示幻燈片，學(xué)生回答問(wèn)題 1．開(kāi)商店 小明想開(kāi)一家時(shí)尚Ｇ點(diǎn)專賣店，開(kāi)店前他到其它專賣店調(diào)查價(jià)格．他看中了一套新款春裝，成本共500元，專賣店店員告訴他在上市時(shí)通常將上衣按50﹪的利潤(rùn)定價(jià)，褲子按40﹪的利潤(rùn)定價(jià).由于新年將至，節(jié)日優(yōu)惠，在實(shí)際出售時(shí)，為吸引顧客，兩件服裝均按9折出售，這樣專賣店共獲利157元，小明覺(jué)得上衣款式好，銷路會(huì)好些，想問(wèn)問(wèn)上衣的成本價(jià)，但店員有事走開(kāi)了，你能幫助他？ 2．購(gòu)物 新年來(lái)臨爸爸想送Ｍike一個(gè)書(shū)包和隨身聽(tīng)作為新年禮物．爸爸對(duì)Ｍike說(shuō)：“我在家樂(lè)福、人民商場(chǎng)都發(fā)現(xiàn)同款的隨身聽(tīng)的單價(jià)相同，書(shū)包單價(jià)也相同，隨身聽(tīng)和書(shū)包單價(jià)之和是452元，且隨身聽(tīng)的單價(jià)比書(shū)包單價(jià)的4倍少8元，你能說(shuō)出隨身聽(tīng)和書(shū)包單價(jià)各是多少元，那么我就買給你做新年禮物”. 你能幫助他嗎？ （最優(yōu)化決策） 最近商家促銷有促銷活動(dòng)，人民商場(chǎng)所有商品打八折銷售，家樂(lè)福全場(chǎng)購(gòu)物滿100元返物券30元銷售（不足100元不返券，購(gòu)物券全場(chǎng)通用），爸爸只給Ｍike 400元錢，如果他只在一家購(gòu)買看中的這兩樣物品，你能幫助他選擇在哪一家購(gòu)買嗎？若兩家都可以選擇，在哪一家購(gòu)買更省錢？ 第二環(huán)節(jié)：新課講解（15分鐘，通過(guò)回答知識(shí)回顧問(wèn)題，教師啟發(fā)學(xué)生做經(jīng)驗(yàn)提升；通過(guò)回答問(wèn)題對(duì)學(xué)生能力進(jìn)行及時(shí)評(píng)價(jià)，如果回答錯(cuò)誤及時(shí)糾正.） 知識(shí)回顧：填一填 1. 某工廠去年的總產(chǎn)值是x萬(wàn)元, 今年的總產(chǎn)值比去年增加了20%, 則今年的總產(chǎn)值是__________萬(wàn)元; 2. 若該廠去年的總支出為y萬(wàn)元, 今年的總支出比去年減少了10%, 則今年的總支出是__________萬(wàn)元; 3. 若該廠今年的利潤(rùn)為780萬(wàn)元, 那么由1, 2可得方程___________________________. (1+20%)x (1-10%)y (1+20%) x- (1-10%) y=780 經(jīng)驗(yàn)提升：解增降率問(wèn)題常用的關(guān)系式為a(1±x)=b (其中:a表示基數(shù)；x表示增降率；b表示目標(biāo)數(shù)；增時(shí)為加，降時(shí)為減) 例題探索 例1 ＣＮＩ公司去年的利潤(rùn)（總產(chǎn)值—總支出）為200萬(wàn)元.今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤(rùn)為780萬(wàn)元.去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬(wàn)元？ 分析：關(guān)鍵:找出等量關(guān)系. 今年的總產(chǎn)值=去年總產(chǎn)值×(1+20%） 今年的總支出=去年的總支出×(1—10%） 相等關(guān)系中的數(shù)量關(guān)系真多，畫(huà)個(gè)表格來(lái)表示它們吧！ （題目中可分析今年，去年；總產(chǎn)值，總支出和利潤(rùn)，畫(huà)個(gè)２×３的表格來(lái)分析看） 總產(chǎn)值/萬(wàn)元 總支出/萬(wàn)元 利潤(rùn)/萬(wàn)元 去 年 x y[ 200 今 年 (1+20%) x (1-10%) y 780 得到兩個(gè)等式： x—y =200 ， (1+20%) x—(1—10%) y =780. 解：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬(wàn)元，總支出為y萬(wàn)元，則 今年的總產(chǎn)值=（1+20%）x萬(wàn)元， 今年的總支出=（1—10%）y萬(wàn)元. 由題意得: 解得 答：去年的總收入為2000萬(wàn)元，總支出為1800萬(wàn)元. 教學(xué)進(jìn)程：學(xué)生作相等關(guān)系、數(shù)量關(guān)系的分析，教師教學(xué)生畫(huà)表格分析數(shù)量關(guān)系，并共同解答. 議一議：還可以設(shè)間接未知數(shù)嗎？（根據(jù)學(xué)生情況和教學(xué)安排選用） 設(shè)今年的總產(chǎn)值為x萬(wàn)元，總支出為y元 總產(chǎn)值/萬(wàn)元 總支出/萬(wàn)元 利潤(rùn)/萬(wàn)元 去 年 200 今 年 x y 780 通過(guò)直接設(shè)未知數(shù)與間接設(shè)未知數(shù)的類比，讓學(xué)生感受到列方程時(shí)，應(yīng)選取思維難度和計(jì)算難度較低的未知數(shù)設(shè)法. 教學(xué)進(jìn)程：學(xué)生設(shè)出未知數(shù)，教師幫助學(xué)生畫(huà)表格來(lái)分析數(shù)量關(guān)系并引導(dǎo)學(xué)生類比直接設(shè)未知數(shù)與間接設(shè)未知數(shù)的優(yōu)劣.表示數(shù)量關(guān)系時(shí)，若有錯(cuò)誤，及時(shí)糾正并著重講解以免再次出現(xiàn)錯(cuò)誤. 例2 醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的病人配制營(yíng)養(yǎng)品．每克甲原料含0.5單位蛋白質(zhì)和1單位鐵質(zhì)，每克乙原料含0.7單位蛋白質(zhì)和0.4單位鐵質(zhì)．若病人每餐需要35單位蛋白質(zhì)和40單位鐵質(zhì)，那么每餐甲、乙兩種原料各多少克恰好滿足病人的需要？ 分析：找出等量關(guān)系. 每餐甲原料中含蛋白質(zhì)量=0.5×每餐甲原料的質(zhì)量， 每餐乙原料中含蛋白質(zhì)量=0.7×每餐乙原料的質(zhì)量， 每餐甲原料中含鐵質(zhì)量=1×每餐甲原料的質(zhì)量， 每餐乙原料中含鐵質(zhì)量=0.4×每餐乙原料的質(zhì)量， 由于相等關(guān)系中的數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，所以可以選取用列表格的方法來(lái)表示各數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)系，有利于根據(jù)相等關(guān)系列方程. （題目中可分析蛋白質(zhì)含量，鐵的含量；甲、乙兩種原料和病人配置的營(yíng)養(yǎng)品，所以畫(huà)個(gè)２ × ３的表格來(lái)分析；學(xué)生通常對(duì)要分析那些數(shù)量關(guān)系不太明確，所以講解時(shí)要說(shuō)明為什么會(huì)這樣畫(huà)表格） 解：設(shè)每餐需要甲、乙兩種原料各x, y克，則有下表： 甲原料x(chóng)克 乙原料y克 所配制的營(yíng)養(yǎng)品 其中含蛋白質(zhì)量 0.5x單位 0.7 y單位 ３５單位 其中含鐵質(zhì)量 x單位 0.4 y單位 ４０單位 由上表可以得到的等式： 化簡(jiǎn)得： （1）×2得 10x+14y=700 (5) (5)－(4)得 10y=300 y=30 將y=30代入(3)得 x=28 答：每餐需甲原料28克，乙原料30克. 第三環(huán)節(jié)：練習(xí)提高、合作學(xué)習(xí)；（5分鐘，小組探究） 1．育才學(xué)校去年有學(xué)生３１００名，今年比去年增加4.4％,其中寄宿學(xué)生增加了6％,走讀學(xué)生減少了2％.問(wèn)該校去年有寄宿學(xué)生與走讀學(xué)生各多少名? 設(shè)去年有寄宿學(xué)生x名,走讀學(xué)生y名,則可列出方程組為 . 分析：找出等量關(guān)系. 去年寄宿學(xué)生＋去年走讀學(xué)生＝３１００名 今年寄宿學(xué)生＋今年走讀學(xué)生＝３１００ ×（１＋４.４％） 題目中可分析去年，今年；寄宿學(xué)生，走讀學(xué)生，學(xué)生總數(shù)．畫(huà)個(gè)２ × ３的表格來(lái)分析 寄宿學(xué)生 走讀學(xué)生 學(xué)生總數(shù) 去年 x y ３１００ 今年 （１＋６％）x （１－２％）y ３１００ × （１＋４.４％） 解： 2．編題 有一個(gè)方程組： 你能根據(jù)這個(gè)方程組編一個(gè)實(shí)際背景的應(yīng)用題嗎？ 活動(dòng)規(guī)則： 四個(gè)同學(xué)一組編題，互評(píng)；然后推選出有創(chuàng)意，符合實(shí)際生活的例子進(jìn)行全班交流． 第四環(huán)節(jié)：?jiǎn)栴}解決；（10分鐘，學(xué)生嘗試獨(dú)立解決問(wèn)題，后全班交流） 解決問(wèn)題一 小明想開(kāi)一家時(shí)尚Ｇ點(diǎn)專賣店，開(kāi)店前他到其它專賣店調(diào)查價(jià)格．他看中了一套新款春裝，成本共500元，專賣店店員告訴他在上市時(shí)通常將上衣按50﹪的利潤(rùn)定價(jià)，褲子按40﹪的利潤(rùn)定價(jià).由于新年將至，節(jié)日優(yōu)惠，在實(shí)際出售時(shí)，為吸引顧客，兩件服裝均按9折出售，這樣專賣店共獲利157元，小明覺(jué)得上衣款式好，銷路會(huì)好些，想問(wèn)問(wèn)上衣的成本價(jià)，但店員有事走開(kāi)了，你能幫助他嗎？ 分析：找出等量關(guān)系. 題目中可分析上衣，褲子；成本．實(shí)際售價(jià)和利潤(rùn)．畫(huà)個(gè)２ × ３的表格來(lái)分析 上衣成本＋褲子成本＝５００元 上衣利潤(rùn)＋褲子利潤(rùn)＝１５７元 解：設(shè)上衣的成本價(jià)為ｘ元，裙子的成本價(jià)為ｙ元： 成本（元） 實(shí)際售價(jià)（元） 利潤(rùn)（元） 上衣 x 褲子 y 解：設(shè)上衣的成本價(jià)為x元，裙子的成本價(jià)為y元，則上衣利潤(rùn) 　　　　　　　　元， 　褲子利潤(rùn)為0.9(1+40%)y-y元，依題意得 x+y=500， 0.9×(1+50%)x-x+0.9×(1+40%)y-y=１５７. 整理得: x+y=500 ， ……① 35x+26y=１５７00. …… ② ②－① ×26,得9x=２700, ∴x =３００. 把其代入①，得y=500－３００=２００ x=３００， y=２００. 答：上衣成本３００元，裙子成本２００元. 解決問(wèn)題二 新年來(lái)臨爸爸想送Mike一個(gè)書(shū)包和隨身聽(tīng)作為新年禮物．爸爸對(duì)Mike說(shuō)：“我在家樂(lè)福、人民商場(chǎng)都發(fā)現(xiàn)同款的隨身聽(tīng)的單價(jià)相同，書(shū)包單價(jià)也相同，隨身聽(tīng)和書(shū)包單價(jià)之和是452元，且隨身聽(tīng)的單價(jià)比書(shū)包單價(jià)的4倍少8元，你能說(shuō)出隨身聽(tīng)和書(shū)包單價(jià)各是多少元，那么我就買給你做新年禮物”. 你能幫助他嗎？ （1）解：設(shè)書(shū)包單價(jià)為x元，則隨身聽(tīng)單價(jià)為y元,根據(jù)題意可列出方程： 解之得： 答：書(shū)包單價(jià)92元，隨身聽(tīng)單價(jià)360元. 最優(yōu)化決策： 聰明的Mike想了想回答正確后便同爸爸去買禮物，恰好趕上商家促銷，人民商場(chǎng)所有商品打八折銷售，家樂(lè)福全場(chǎng)購(gòu)物滿100元返購(gòu)物券30元銷售（不足100元不返券，購(gòu)物券全場(chǎng)通用），但他只帶了400元錢，如果他只在一家購(gòu)買看中的這兩樣物品，你能幫助他選擇在哪一家購(gòu)買嗎？若兩家都可以選擇，在哪一家購(gòu)買更省錢？ 提示：書(shū)包單價(jià)92元，隨身聽(tīng)單價(jià)360元. 2）在人民商場(chǎng)購(gòu)買隨聲聽(tīng)與書(shū)包各一樣需花費(fèi)現(xiàn)金452×=361.6（元） ∵ 361.6<400 ∴可以選擇在人民商場(chǎng)購(gòu)買. 在家樂(lè)福可先花現(xiàn)金360元購(gòu)買隨身聽(tīng)，再利用得到的90元返券，加上2元現(xiàn)金購(gòu)買書(shū)包，共花現(xiàn)金360+2=362（元）. 因?yàn)?62＜400，所以也可以選擇在家樂(lè)福購(gòu)買. 因?yàn)?62＞361.6,所以在人民商場(chǎng)購(gòu)買更省錢. 第五環(huán)節(jié)：學(xué)習(xí)反思；（5分鐘，學(xué)生思考回答，不足的地方教師補(bǔ)充和強(qiáng)調(diào).） 你的收獲是什么？ 1． 通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，你會(huì)用列表分析數(shù)據(jù)嗎？ 2． 你能用列方程組的方法解決實(shí)際問(wèn)題嗎？ 3．你體會(huì)到方程思想在生活中的存在嗎？ 小結(jié)： １．在很多實(shí)際問(wèn)題中，都存在著一些等量關(guān)系，因此我們往往可以借助列方程或方程組的方法來(lái)處理這些問(wèn)題． ２．這種處理問(wèn)題的過(guò)程可以進(jìn)一步概括為： 分析 求解 問(wèn)題 方程（組） 解答 抽象 檢驗(yàn) ３．要注意的是，處理實(shí)際問(wèn)題的方法是多種多樣的，圖表分析是一種直觀簡(jiǎn)潔的方法，應(yīng)根據(jù)具體問(wèn)題靈活選用． - 6 -