第12章 全等三角形 測試卷（3）一、選擇題1如圖，已知等邊ABC，AB=2，點D在AB上，點F在AC的延長線上，BD=CF，DEBC于E，F(xiàn)GBC于G，DF交BC于點P，則下列結(jié)論：BE=CG；EDPGFP；EDP=60°；EP=1中，一定正確的是（）A BC D二、填空題2如圖，正方形ABCD的邊長為3cm，E為CD邊上一點，DAE=30°，M為AE的中點，過點M作直線分別與AD、BC相交于點P、Q若PQ=AE，則AP等于cm3如圖，矩形ABCD中，AB=8，點E是AD上的一點，有AE=4，BE的垂直平分線交BC的延長線于點F，連結(jié)EF交CD于點G若G是CD的中點，則BC的長是4如圖，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，且DE=2CE，過點C作CFBE，垂足為F，連接OF，則OF的長為5如圖，點B、E、C、F在一條直線上，ABDE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF=6已知在平面直角坐標系中放置了5個如圖所示的正方形（用陰影表示），點B1在y軸上且坐標是（0，2），點C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上，C1的坐標是（1，0）B1C1B2C2B3C3，以此繼續(xù)下去，則點A2014到x軸的距離是7如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是AB邊上一點，G是AD延長線上一點，BE=DG，連接EG，CFEG交EG于點H，交AD于點F，連接CE，BH若BH=8，則FG=8如圖，已知ABC三個內(nèi)角的平分線交于點O，點D在CA的延長線上，且DC=BC，AD=AO，若BAC=80°，則BCA的度數(shù)為9如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，ABC=ACB=ADC=45°，則BD的長為10如圖，在ABC中，分別以AC，BC為邊作等邊ACD和等邊BCE設(shè)ACD、BCE、ABC的面積分別是S1、S2、S3，現(xiàn)有如下結(jié)論：S1：S2=AC2：BC2；連接AE，BD，則BCDECA；若ACBC，則S1S2=S32其中結(jié)論正確的序號是三、解答題11如圖，已知點E、F在四邊形ABCD的對角線延長線上，AE=CF，DEBF，1=2（1）求證：AEDCFB；（2）若ADCD，四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請說明理由12如圖，ABC中，AB=AC，BAC=40°，將ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)100°得到ADE，連接BD，CE交于點F（1）求證：ABDACE；（2）求ACE的度數(shù)；（3）求證：四邊形ABFE是菱形13如圖，已知ABC是等腰三角形，頂角BAC=（60°），D是BC邊上的一點，連接AD，線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到AE，過點E作BC的平行線，交AB于點F，連接DE，BE，DF（1）求證：BE=CD；（2）若ADBC，試判斷四邊形BDFE的形狀，并給出證明14如圖，在四邊形ABCD中，點H是BC的中點，作射線AH，在線段AH及其延長線上分別取點E，F(xiàn)，連結(jié)BE，CF（1）請你添加一個條件，使得BEHCFH，你添加的條件是，并證明（2）在問題（1）中，當BH與EH滿足什么關(guān)系時，四邊形BFCE是矩形，請說明理由15如圖，E、F分別是等邊三角形ABC的邊AB，AC上的點，且BE=AF，CE、BF交于點P（1）求證：CE=BF；（2）求BPC的度數(shù)16在等腰直角三角形ABC中，BAC=90°，AB=AC，直線MN過點A且MNBC，過點B為一銳角頂點作RtBDE，BDE=90°，且點D在直線MN上（不與點A重合），如圖1，DE與AC交于點P，易證：BD=DP（無需寫證明過程）（1）在圖2中，DE與CA延長線交于點P，BD=DP是否成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由；（2）在圖3中，DE與AC延長線交于點P，BD與DP是否相等？請直接寫出你的結(jié)論，無需證明17如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且DE=CF，連接OE，OF求證：OE=OF18如圖，在RtABC中，C=90°，A的平分線交BC于點E，EFAB于點F，點F恰好是AB的一個三等分點（AFBF）（1）求證：ACEAFE；（2）求tanCAE的值19探究：如圖，在ABC中，AB=AC，ABC=60°，延長BA至點D，延長CB至點E，使BE=AD，連結(jié)CD，AE，求證：ACECBD應(yīng)用：如圖，在菱形ABCF中，ABC=60°，延長BA至點D，延長CB至點E，使BE=AD，連結(jié)CD，EA，延長EA交CD于點G，求CGE的度數(shù)20如圖，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點，連接BP、DP，延長BC到E，使PB=PE求證：PDC=PEC21如圖，已知ABC中AB=AC（1）作圖：在AC上有一點D，延長BD，并在BD的延長線上取點E，使AE=AB，連AE，作EAC的平分線AF，AF交DE于點F（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，連接CF，求證：E=ACF22（1）如圖1，點E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=DC，B=C，求證：A=D（2）如圖2，在邊長為1個單位長度的小正方形所組成的網(wǎng)格中，ABC的頂點均在格點上sinB的值是；畫出ABC關(guān)于直線l對稱的A1B1C1（A與A1，B與B1，C與C1相對應(yīng)），連接AA1，BB1，并計算梯形AA1B1B的面積23在平面內(nèi)正方形ABCD與正方形CEFH如圖放置，連DE，BH，兩線交于M求證：（1）BH=DE（2）BHDE24如圖，點D是線段BC的中點，分別以點B，C為圓心，BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點A，連接AB，AC，AD，點E為AD上一點，連接BE，CE（1）求證：BE=CE；（2）以點E為圓心，ED長為半徑畫弧，分別交BE，CE于點F，G若BC=4，EBD=30°，求圖中陰影部分（扇形）的面積25如圖，在等邊ABC中，點D在直線BC上，連接AD，作ADN=60°，直線DN交射線AB于點E，過點C作CFAB交直線DN于點F（1）當點D在線段BC上，NDB為銳角時，如圖，求證：CF+BE=CD；（提示：過點F作FMBC交射線AB于點M）（2）當點D在線段BC的延長線上，NDB為銳角時，如圖；當點D在線段CB的延長線上，NDB為鈍角時，如圖，請分別寫出線段CF，BE，CD之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）在（2）的條件下，若ADC=30°，SABC=4，則BE=，CD=26如圖所示，已知1=2，請你添加一個條件，證明：AB=AC（1）你添加的條件是；（2）請寫出證明過程27如圖1，在RtABC中，BAC=90°，AB=AC，在BC的同側(cè)作任意RtDBC，BDC=90°（1）若CD=2BD，M是CD中點（如圖1），求證：ADBAMC；下面是小明的證明過程，請你將它補充完整：證明：設(shè)AB與CD相交于點O，BDC=90°，BAC=90°，DOB+DBO=AOC+ACO=90°DOB=AOC，DBO=M是DC的中點，CM=CD=又AB=AC，ADBAMC（2）若CDBD（如圖2），在BD上是否存在一點N，使得ADN是以DN為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請在圖2中確定點N的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由；（3）當CDBD時，線段AD，BD與CD滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出28如圖，正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點，且AEBF，垂足為點G求證：AE=BF29如圖，四邊形ABCD是正方形，BEBF，BE=BF，EF與BC交于點G（1）求證：AE=CF；（2）若ABE=55°，求EGC的大小30如圖，ABC中，BAC=90°，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于點E在ABC外有一點F，使FAAE，F(xiàn)CBC（1）求證：BE=CF；（2）在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME求證：MEBC；DE=DN參考答案與試題解析一、選擇題1如圖，已知等邊ABC，AB=2，點D在AB上，點F在AC的延長線上，BD=CF，DEBC于E，F(xiàn)GBC于G，DF交BC于點P，則下列結(jié)論：BE=CG；EDPGFP；EDP=60°；EP=1中，一定正確的是（）ABCD【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可以得出DEBFGC，就可以得出BE=CG，DE=FG，就可以得出DEPFGP，得出EDP=GFP，EP=PG，得出PC+BE=PE，就可以得出PE=1，從而得出結(jié)論【解答】解：ABC是等邊三角形，AB=BC=AC，A=B=ACB=60°ACB=GCF，DEBC，F(xiàn)GBC，DEB=FGC=DEP=90°在DEB和FGC中，DEBFGC（AAS），BE=CG，DE=FG，故正確；在DEP和FGP中，DEPFGP（AAS），故正確；PE=PGEDP=GFP60°，故錯誤；PG=PC+CG，PE=PC+BEPE+PC+BE=2，PE=1故正確正確的有，故選D【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵二、填空題2如圖，正方形ABCD的邊長為3cm，E為CD邊上一點，DAE=30°，M為AE的中點，過點M作直線分別與AD、BC相交于點P、Q若PQ=AE，則AP等于1或2cm【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；解直角三角形【專題】分類討論【分析】根據(jù)題意畫出圖形，過P作PNBC，交BC于點N，由ABCD為正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長，進而利用勾股定理求出AE的長，根據(jù)M為AE中點求出AM的長，利用HL得到三角形ADE與三角形PQN全等，利用全等三角形對應(yīng)邊，對應(yīng)角相等得到DE=NQ，DAE=NPQ=30°，再由PN與DC平行，得到PFA=DEA=60°，進而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根據(jù)AM的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出AP的長，再利用對稱性確定出AP的長即可【解答】解：根據(jù)題意畫出圖形，過P作PNBC，交BC于點N，四邊形ABCD為正方形，AD=DC=PN，在RtADE中，DAE=30°，AD=3cm，tan30°=，即DE=cm，根據(jù)勾股定理得：AE=2cm，M為AE的中點，AM=AE=cm，在RtADE和RtPNQ中，RtADERtPNQ（HL），DE=NQ，DAE=NPQ=30°，PNDC，PFA=DEA=60°，PMF=90°，即PMAF，在RtAMP中，MAP=30°，cos30°=，AP=2cm；由對稱性得到AP=DP=ADAP=32=1cm，綜上，AP等于1cm或2cm故答案為：1或2【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵3如圖，矩形ABCD中，AB=8，點E是AD上的一點，有AE=4，BE的垂直平分線交BC的延長線于點F，連結(jié)EF交CD于點G若G是CD的中點，則BC的長是7【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)【專題】幾何圖形問題【分析】根據(jù)線段中點的定義可得CG=DG，然后利用“角邊角”證明DEG和CFG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=CF，EG=FG，設(shè)DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，從而求出AD，再根據(jù)矩形的對邊相等可得BC=AD【解答】解：矩形ABCD中，G是CD的中點，AB=8，CG=DG=×8=4，在DEG和CFG中，DEGCFG（ASA），DE=CF，EG=FG，設(shè)DE=x，則BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，在RtDEG中，EG=，EF=2，F(xiàn)H垂直平分BE，BF=EF，4+2x=2，解得x=3，AD=AE+DE=4+3=7，BC=AD=7故答案為：7【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵4如圖，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，且DE=2CE，過點C作CFBE，垂足為F，連接OF，則OF的長為【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)【專題】計算題；幾何圖形問題【分析】在BE上截取BG=CF，連接OG，證明OBGOCF，則OG=OF，BOG=COF，得出等腰直角三角形GOF，在RTBCE中，根據(jù)射影定理求得GF的長，即可求得OF的長【解答】解：如圖，在BE上截取BG=CF，連接OG，RTBCE中，CFBE，EBC=ECF，OBC=OCD=45°，OBG=OCF，在OBG與OCF中OBGOCF（SAS）OG=OF，BOG=COF，OGOF，在RTBCE中，BC=DC=6，DE=2EC，EC=2，BE=2，BC2=BFBE，則62=BF，解得：BF=，EF=BEBF=，CF2=BFEF，CF=，GF=BFBG=BFCF=，在等腰直角OGF中OF2=GF2，OF=故答案為：【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的應(yīng)用5如圖，點B、E、C、F在一條直線上，ABDE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF=6【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】幾何圖形問題【分析】根據(jù)題中條件由SAS可得ABCDEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AC=DF=6【解答】證明：ABDE，B=DEFBE=CF，BC=EF，在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS），AC=DF=6故答案是：6【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問題，應(yīng)熟練掌握全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件6已知在平面直角坐標系中放置了5個如圖所示的正方形（用陰影表示），點B1在y軸上且坐標是（0，2），點C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上，C1的坐標是（1，0）B1C1B2C2B3C3，以此繼續(xù)下去，則點A2014到x軸的距離是【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；規(guī)律型：點的坐標；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)【專題】規(guī)律型【分析】根據(jù)勾股定理可得正方形A1B1C1D1的邊長為=，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得后面正方形的邊長依次是前面正方形邊長的，依次得到第2014個正方形和第2014個正方形的邊長，進一步得到點A2014到x軸的距離【解答】解：如圖，點C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上，B1C1B2C2B3C3，B1OC1B2E2C2B3E4C3，B1OC1C1E1D1，B2E2=1，B3E4=，B4E6=，B5E8=，B2014E4016=，作A1Ex軸，延長A1D1交x軸于F，則C1D1FC1D1E1，=，在RtOB1C1中，OB1=2，OC1=1，正方形A1B1C1D1的邊長為為=，D1F=，A1F=，A1ED1E1，=，A1E=3，=，點A2014到x軸的距離是×=故答案為：【點評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及解直角三角形的知識，得出正方形各邊長是解題關(guān)鍵7如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是AB邊上一點，G是AD延長線上一點，BE=DG，連接EG，CFEG交EG于點H，交AD于點F，連接CE，BH若BH=8，則FG=5【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)【專題】幾何圖形問題；壓軸題【分析】如解答圖，連接CG，首先證明CGDCEB，得到GCE是等腰直角三角形；過點H作AB、BC的垂線，垂足分別為點M、N，進而證明HEMHCN，得到四邊形MBNH為正方形，由此求出CH、HN、CN的長度；最后利用相似三角形RtHCNRtGFH，求出FG的長度【解答】解：如圖所示，連接CG在CGD與CEB中CGDCEB（SAS），CG=CE，GCD=ECB，GCE=90°，即GCE是等腰直角三角形又CHGE，CH=EH=GH過點H作AB、BC的垂線，垂足分別為點M、N，則MHN=90°，又EHC=90°，1=2，HEM=HCN在HEM與HCN中，HEMHCN（ASA）HM=HN，四邊形MBNH為正方形BH=8，BN=HN=4，CN=BCBN=64=2在RtHCN中，由勾股定理得：CH=2GH=CH=2HMAG，1=3，2=3又HNC=GHF=90°，RtHCNRtGFH，即，F(xiàn)G=5故答案為：5【點評】本題是幾何綜合題，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知識點，難度較大作出輔助線構(gòu)造全等三角形與相似三角形，是解決本題的關(guān)鍵8如圖，已知ABC三個內(nèi)角的平分線交于點O，點D在CA的延長線上，且DC=BC，AD=AO，若BAC=80°，則BCA的度數(shù)為60°【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【專題】幾何圖形問題【分析】可證明CODCOB，得出D=CBO，再根據(jù)BAC=80°，得BAD=100°，由角平分線可得BAO=40°，從而得出DAO=140°，根據(jù)AD=AO，可得出D=20°，即可得出CBO=20°，則ABC=40°，最后算出BCA=60°【解答】解：ABC三個內(nèi)角的平分線交于點O，ACO=BCO，在COD和COB中，CODCOB，D=CBO，BAC=80°，BAD=100°，BAO=40°，DAO=140°，AD=AO，D=20°，CBO=20°，ABC=40°，BCA=60°，故答案為：60°【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決此題的關(guān)鍵9如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，ABC=ACB=ADC=45°，則BD的長為【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形【專題】計算題；壓軸題【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，可得BAD與CAD的關(guān)系，根據(jù)SAS，可得BAD與CAD的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得BD與CD的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得答案【解答】解：作ADAD，AD=AD，連接CD，DD，如圖：BAC+CAD=DAD+CAD，即BAD=CAD，在BAD與CAD中，BADCAD（SAS），BD=CDDAD=90°由勾股定理得DD=，DDA+ADC=90°由勾股定理得CD=，BD=CD=，故答案為：【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，作出全等圖形是解題關(guān)鍵10如圖，在ABC中，分別以AC，BC為邊作等邊ACD和等邊BCE設(shè)ACD、BCE、ABC的面積分別是S1、S2、S3，現(xiàn)有如下結(jié)論：S1：S2=AC2：BC2；連接AE，BD，則BCDECA；若ACBC，則S1S2=S32其中結(jié)論正確的序號是【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方判斷；根據(jù)SAS即可求得全等；根據(jù)面積公式即可判斷【解答】S1：S2=AC2：BC2正確，解：ADC與BCE是等邊三角形，ADCBCE，S1：S2=AC2：BC2BCDECA正確，證明：ADC與BCE是等邊三角形，ACD=BCE=60°ACD+ACB=BCE+ACD，即ACE=DCB，在ACE與DCB中，BCDECA（SAS）若ACBC，則S1S2=S32正確，解：設(shè)等邊三角形ADC的邊長=a，等邊三角形BCE邊長=b，則ADC的高=a，BCE的高=b，S1=aa=a2，S2=bb=b2，S1S2=a2b2=a2b2，S3=ab，S32=a2b2，S1S2=S32【點評】本題考查了三角形全等的判定，等邊三角形的性質(zhì)，面積公式以及相似三角形面積的比等于相似比的平方，熟知各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵三、解答題11如圖，已知點E、F在四邊形ABCD的對角線延長線上，AE=CF，DEBF，1=2（1）求證：AEDCFB；（2）若ADCD，四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請說明理由【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定【專題】證明題【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得E=F，再利用“角角邊”證明AED和CFB全等即可；（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD=BC，DAE=BCF，再求出DAC=BCA，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得ADBC，再根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形解答【解答】（1）證明：DEBF，E=F，在AED和CFB中，AEDCFB（AAS）；（2）解：四邊形ABCD是矩形理由如下：AEDCFB，AD=BC，DAE=BCF，DAC=BCA，ADBC，四邊形ABCD是平行四邊形，又ADCD，四邊形ABCD是矩形【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，平行四邊形的判定以及平行四邊形與矩形的聯(lián)系，熟記各圖形的判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵12如圖，ABC中，AB=AC，BAC=40°，將ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)100°得到ADE，連接BD，CE交于點F（1）求證：ABDACE；（2）求ACE的度數(shù)；（3）求證：四邊形ABFE是菱形【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【專題】證明題【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出BAD=CAE，然后利用“邊角邊”證明ABD和ACE全等（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等，得出ACE=ABD，即可求得（3）根據(jù)對角相等的四邊形是平行四邊形，可證得四邊形ABFE是平行四邊形，然后依據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可證得【解答】（1）證明：ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)100°，BAC=DAE=40°，BAD=CAE=100°，又AB=AC，AB=AC=AD=AE，在ABD與ACE中ABDACE（SAS）（2）解：CAE=100°，AC=AE，ACE=（180°CAE）=（180°100°）=40°；（3）證明：BAD=CAE=100°AB=AC=AD=AE，ABD=ADB=ACE=AEC=40°BAE=BAD+DAE=140°，BFE=360°BAEABDAEC=140°，BAE=BFE，四邊形ABFE是平行四邊形，AB=AE，平行四邊形ABFE是菱形【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及菱形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵13如圖，已知ABC是等腰三角形，頂角BAC=（60°），D是BC邊上的一點，連接AD，線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到AE，過點E作BC的平行線，交AB于點F，連接DE，BE，DF（1）求證：BE=CD；（2）若ADBC，試判斷四邊形BDFE的形狀，并給出證明【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【專題】證明題【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得BAE=CAD，從而SAS證明ACDABE，得出答案BE=CD；（2）由ADBC，SAS可得ACDABEABD，得出BE=BD=CD，EBF=DBF，再由EFBC，DBF=EFB，從而得出EBF=EFB，則EB=EF，證明得出四邊形BDFE為菱形【解答】證明：（1）ABC是等腰三角形，頂角BAC=（60°），線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到AE，AB=AC，BAE=CAD，在ACD和ABE中，ACDABE（SAS），BE=CD；（2）ADBC，BD=CD，BE=BD=CD，BAD=CAD，BAE=BAD，在ABD和ABE中，ABDABE（SAS），EBF=DBF，EFBC，DBF=EFB，EBF=EFB，EB=EF，BD=BE=EF=FD，四邊形BDFE為菱形【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)14如圖，在四邊形ABCD中，點H是BC的中點，作射線AH，在線段AH及其延長線上分別取點E，F(xiàn)，連結(jié)BE，CF（1）請你添加一個條件，使得BEHCFH，你添加的條件是EH=FH，并證明（2）在問題（1）中，當BH與EH滿足什么關(guān)系時，四邊形BFCE是矩形，請說明理由【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定【專題】幾何綜合題；分類討論【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定方法，可得出當EH=FH，BECF，EBH=FCH時，都可以證明BEHCFH，（2）由（1）可得出四邊形BFCE是平行四邊形，再根據(jù)對角線相等的平行四邊形為矩形可得出BH=EH時，四邊形BFCE是矩形【解答】（1）答：添加：EH=FH，證明：點H是BC的中點，BH=CH，在BEH和CFH中，BEHCFH（SAS）；（2）解：BH=CH，EH=FH，四邊形BFCE是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形為平行四邊形），當BH=EH時，則BC=EF，平行四邊形BFCE為矩形（對角線相等的平行四邊形為矩形）【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定，是基礎(chǔ)題，難度不大15如圖，E、F分別是等邊三角形ABC的邊AB，AC上的點，且BE=AF，CE、BF交于點P（1）求證：CE=BF；（2）求BPC的度數(shù)【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)【分析】（1）欲證明CE=BF，只需證得BCEABF；（2）利用（1）中的全等三角形的性質(zhì)得到BCE=ABF，則由圖示知PBC+PCB=PBC+ABF=ABC=60°，即PBC+PCB=60°，所以根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得BPC=120°【解答】（1）證明：如圖，ABC是等邊三角形，BC=AB，A=EBC=60°，在BCE與ABF中，BCEABF（SAS），CE=BF；（2）解：由（1）知BCEABF，BCE=ABF，PBC+PCB=PBC+ABF=ABC=60°，即PBC+PCB=60°，BPC=180°60°=120°即：BPC=120°【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件16在等腰直角三角形ABC中，BAC=90°，AB=AC，直線MN過點A且MNBC，過點B為一銳角頂點作RtBDE，BDE=90°，且點D在直線MN上（不與點A重合），如圖1，DE與AC交于點P，易證：BD=DP（無需寫證明過程）（1）在圖2中，DE與CA延長線交于點P，BD=DP是否成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由；（2）在圖3中，DE與AC延長線交于點P，BD與DP是否相等？請直接寫出你的結(jié)論，無需證明【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；平行四邊形的性質(zhì)【專題】幾何綜合題【分析】（1）如答圖2，作輔助線，構(gòu)造全等三角形BDFPDA，可以證明BD=DP；（2）如答圖3，作輔助線，構(gòu)造全等三角形BDFPDA，可以證明BD=DP【解答】題干引論：證明：如答圖1，過點D作DFMN，交AB于點F，則ADF為等腰直角三角形，DA=DF1+FDP=90°，F(xiàn)DP+2=90°，1=2在BDF與PDA中，BDFPDA（ASA）BD=DP（1）答：BD=DP成立證明：如答圖2，過點D作DFMN，交AB的延長線于點F，則ADF為等腰直角三角形，DA=DF1+ADB=90°，ADB+2=90°，1=2在BDF與PDA中，BDFPDA（ASA）BD=DP（2）答：BD=DP證明：如答圖3，過點D作DFMN，交AB的延長線于點F，則ADF為等腰直角三角形，DA=DF在BDF與PDA中，BDFPDA（ASA）BD=DP【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識點，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵17如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且DE=CF，連接OE，OF求證：OE=OF【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)【專題】證明題【分析】欲證明OE=OF，只需證得ODEOCF即可【解答】證明：如圖，四邊形ABCD是矩形，ADC=BCD=90°，AC=BD，OD=BD，OC=AC，OD=OC，ODC=OCD，ADCODC=BCDOCD，即EDO=FCO，在ODE與OCF中，ODEOCF（SAS），OE=OF【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件18如圖，在RtABC中，C=90°，A的平分線交BC于點E，EFAB于點F，點F恰好是AB的一個三等分點（AFBF）（1）求證：ACEAFE；（2）求tanCAE的值【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義【專題】證明題【分析】（1）根據(jù)角的平分線的性質(zhì)可求得CE=EF，然后根據(jù)直角三角形的判定定理求得三角形全等（2）由ACEAFE，得出AC=AF，CE=EF，設(shè)BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m，根據(jù)勾股定理可求得，tanB=，CE=EF=，在RTACE中，tanCAE=；【解答】（1）證明：AE是BAC的平分線，ECAC，EFAF，CE=EF，在RtACE與RtAFE中，RtACERtAFE（HL）；（2）解：由（1）可知ACEAFE，AC=AF，CE=EF，設(shè)BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m，BC=m，解法一：C=EFB=90°，EFBACB，=，CE=EF，=；解法二：在RTABC中，tanB=，在RTEFB中，EF=BFtanB=，CE=EF=，在RTACE中，tanCAE=；tanCAE=【點評】本題考查了直角三角形的判定、性質(zhì)和利用三角函數(shù)解直角三角形，根據(jù)已知條件表示出線段的值是解本題的關(guān)鍵19探究：如圖，在ABC中，AB=AC，ABC=60°，延長BA至點D，延長CB至點E，使BE=AD，連結(jié)CD，AE，求證：ACECBD應(yīng)用：如圖，在菱形ABCF中，ABC=60°，延長BA至點D，延長CB至點E，使BE=AD，連結(jié)CD，EA，延長EA交CD于點G，求CGE的度數(shù)【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)【專題】幾何圖形問題【分析】探究：先判斷出ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BC=AC，ACB=ABC，再求出CE=BD，然后利用“邊角邊”證明即可；應(yīng)用：連接AC，易知ABC是等邊三角形，由探究可知ACE和CBD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得E=D，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出CGE=ABC即可【解答】解：探究：AB=AC，ABC=60°，ABC是等邊三角形，BC=AC，ACB=ABC，BE=AD，BE+BC=AD+AB，即CE=BD，在ACE和CBD中，ACECBD（SAS）；應(yīng)用：如圖，連接AC，易知ABC是等邊三角形，由探究可知ACECBD，E=D，BAE=DAG，E+BAE=D+DAG，CGE=ABC，ABC=60°，CGE=60°【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵，（2）作輔助線構(gòu)造出探究的條件是解題的關(guān)鍵20如圖，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點，連接BP、DP，延長BC到E，使PB=PE求證：PDC=PEC【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)【專題】證明題【分析】根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BC=CD，對角線平分一組對角可得BCP=DCP，再利用“邊角邊”證明BCP和DCP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得PDC=PBC，再根據(jù)等邊對等角可得PBC=PEC，從而得證【解答】證明：在正方形ABCD中，BC=CD，BCP=DCP，在BCP和DCP中，BCPDCP（SAS），PDC=PBC，PB=PE，PBC=PEC，PDC=PEC【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并判斷出全等三角形是解題的關(guān)鍵21如圖，已知ABC中AB=AC（1）作圖：在AC上有一點D，延長BD，并在BD的延長線上取點E，使AE=AB，連AE，作EAC的平分線AF，AF交DE于點F（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，連接CF，求證：E=ACF【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；作圖復(fù)雜作圖【專題】作圖題；證明題【分析】（1）以A為圓心，以AB長為半徑畫弧，與BD的延長線的交點即為點E，再以點A為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別與AC、AE相交，然后以這兩點為圓心，以大于它們長度為半徑畫弧，兩弧相交于一點，過點A與這一點作出射線與BE的交點即為所求的點F；（2）求出AE=AC，根據(jù)角平分線的定義可得EAF=CAF，再利用“邊角邊”證明AEF和ACF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得E=ACF【解答】（1）解：如圖所示；（2）證明：AB=AC，AE=AB，AE=AC，AF是EAC的平分線，EAF=CAF，在AEF和ACF中，AEFACF（SAS），E=ACF【點評】本題考查了全等三角形的判斷與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，作一條線段等于已知線段，角平分線的作法，確定出全等三角形的條件是解題的關(guān)鍵22（1）如圖1，點E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=DC，B=C，求證：A=D（2）如圖2，在邊長為1個單位長度的小正方形所組成的網(wǎng)格中，ABC的頂點均在格點上sinB的值是；畫出ABC關(guān)于直線l對稱的A1B1C1（A與A1，B與B1，C與C1相對應(yīng)），連接AA1，BB1，并計算梯形AA1B1B的面積【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；作圖-軸對稱變換；銳角三角函數(shù)的定義【專題】網(wǎng)格型【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得答案；根據(jù)軸對稱性質(zhì)，可作軸對稱圖形，根據(jù)梯形的面積公式，可得答案【解答】（1）證明：BE=CF，BE+EF=CF+EF即BF=CE在ABF和DCE中，ABFDCE（SAS）A=D；（2）解：AC=3，BC=4，AB=5sinB=；如圖所示：由軸對稱性質(zhì)得AA1=2，BB1=8，高是4，=20【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了等式的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)23在平面內(nèi)正方形ABCD與正方形CEFH如圖放置，連DE，BH，兩線交于M求證：（1）BH=DE（2）BHDE【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)【專題】證明題【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC=CD，CE=CH，BCD=ECH=90°，然后求出BCH=DCE，再利用“邊角邊”證明BCH和DCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得CBH=CDE，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出DMB=BCD=90°，再根據(jù)垂直的定義證明即可【解答】證明：（1）在正方形ABCD與正方形CEFH中，BC=CD，CE=CH，BCD=ECH=90°，BCD+DCH=ECH+DCH，即BCH=DCE，在BCH和DCE中，BCHDCE（SAS），BH=DE；（2）BCHDCE，CBH=CDE，又CGB=MGD，DMB=BCD=90°，BHDE【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點24如圖，點D是線段BC的中點，分別以點B，C為圓心，BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點A，連接AB，AC，AD，點E為AD上一點，連接BE，CE（1）求證：BE=CE；（2）以點E為圓心，ED長為半徑畫弧，分別交BE，CE于點F，G若BC=4，EBD=30°，求圖中陰影部分（扇形）的面積【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；扇形面積的計算【分析】（1）由點D是線段BC的中點得到BD=CD，再由AB=AC=BC可判斷ABC為等邊三角形，于是得到AD為BC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得BE=CE；（2）由EB=EC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得EBC=ECB=30°，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算得BEC=120°，在RtBDE中，BD=BC=2，EBD=30°，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到ED=BD=，然后根據(jù)扇形的面積公式求解【解答】（1）證明：點D是線段BC的中點，BD=CD，AB=AC=BC，ABC為等邊三角形，AD為BC的垂直平分線，BE=CE；（2）解：EB=EC，EBC=ECB=30°，BEC=120°，在RtBDE中，BD=BC=2，EBD=30°，ED=BDtan30°=BD=，陰影部分（扇形）的面積=【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、相等垂直平分線的性質(zhì)以及扇形的面積公式25如圖，在等邊ABC中，點D在直線BC上，連接AD，作ADN=60°，直線DN交射線AB于點E，過點C作CFAB交直線DN于點F（1）當點D在線段BC上，NDB為銳角時，如圖，求證：CF+BE=CD；（提示：過點F作FMBC交射線AB于點M）（2）當點D在線段BC的延長線上，NDB為銳角時，如圖；當點D在線段CB的延長線上，NDB為鈍角時，如圖，請分別寫出線段CF，BE，CD之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）在（2）的條件下，若ADC=30°，SABC=4，則BE=8，CD=4或8【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；平行四邊形的判定與性質(zhì)【專題】幾何綜合題【分析】（1）通過MEFCDA即可求得ME=CD，因為通過證四邊形BCFM是平行四邊形可以得出BM=CF，從而證得CF+BE=CD；（2）作FMBC，得出四邊形BCFM是平行四邊形，然后通過證得MEFCDA即可求得，（3）根據(jù)ABC的面積可求得AB=BC=AC=4，所以BD=2AB=8，所以 BE=8，圖CD=4圖CD=8，【解答】（1）證明：如圖，過點F作FMBC交射線AB于點M，CFAB，四邊形BMFC是平行四邊形，BC=MF，CF=BM，ABC=EMF，BDE=MFE，ABC是等邊三角形，ABC=ACB=60°，BC=AC，EMF=ACB，AC=MF，ADN=60°，BDE+ADC=120°，ADC+DAC=120°，BDE=DAC，MFE=DAC，在MEF與CDA中，MEFCDA（AAS），CD=ME=EB+BM，CD=BE+CF（2）如圖，CF+CD=BE，如圖，CFCD=BE；（3）ABC是等邊三角形，SABC=4，易得AB=BC=AC=4，如圖，ADC=30°，ACB=60°，CD=AC=4，ADN=60°，CDF=30°，又CFAB，BCF=ABC=60°，CFD=CDF=30°，CD=CF，由（2）知BE=CF+CD，BE=4+4=8如圖，ADC=30°，ABC=60°，BAD=ADC=30°，BD=BA=4，CD=BD+BC=4+4=8，ADN=60°，ADC=30°，BDE=90°，又DBE=ABC=60°，DEB=30°，在RtBDE中，DEB=30°，BD=4，BE=2BD=8，綜上，BE=8，CD=4或8【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等26如圖所示，已知1=2，請你添加一個條件，證明：AB=AC（1）你添加的條件是B=C；（2）請寫出證明過程【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】幾何綜合題【分析】（1）此題是一道開放型的題目，答案不唯一，如B=C或ADB=ADC等；（2）根據(jù)全等三角形的判定定理AAS推出ABDACD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可【解答】解：（1）添加的條件是B=C，故答案為：B=C；（2）證明：在ABD和ACD中，ABDACD（AAS），AB=AC【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等27如圖1，在RtABC中，BAC=90°，AB=AC，在BC的同側(cè)作任意RtDBC，BDC=90°（1）若