解析幾何一專題綜述解析幾何是高中數(shù)學(xué)4大版塊之一，是高考的重要考點(diǎn)。1.考綱要求（1）掌握直線的斜率、傾斜角的概念，直線方程的各種形式以及距離和角度、平行和垂直；（2）掌握簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題；（3）掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程、參數(shù)方程和橢圓的參數(shù)方程；（4）靈活和綜合運(yùn)用橢圓、雙曲線、拋物線（中心都在原點(diǎn)）的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)解決有關(guān)問題。2.考題形式與分值：一般有1-2個(gè)客觀題，一個(gè)主觀題，總分約25分。3.考試重點(diǎn)與難度：(1)、線性規(guī)劃問題，這是必考點(diǎn)，以客觀題形式出現(xiàn)。(2)、直線與圓的問題常與其他知識(shí)綜合考查，主要與三角、向量、平面幾何等知識(shí)進(jìn)行交匯，強(qiáng)調(diào)圖形的運(yùn)用。主要以選擇題、填空題等形式出現(xiàn)；(3)、圓錐曲線的基礎(chǔ)題，涉及定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)，尤以定義的運(yùn)用為多；(4)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中涉及交點(diǎn)、弦長、中點(diǎn)、垂直、對(duì)稱的問題以及直線與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問題、范圍、最值、定值問題，主要使用設(shè)而不求、點(diǎn)差法、一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系、判別式求解。這類考題一般以解答題形式出現(xiàn)，（一般是18或19題）(5)、與平面向量的綜合，主要是向量語言與圖形語言、字母表達(dá)式的相互轉(zhuǎn)化。二考點(diǎn)選講【考點(diǎn)1】線性規(guī)劃問題【例1】已知x、y滿足條件，求：（1）4x-3y的最大值和最小值；（2）的最大值和最小值；（3）的最大值和最小值；（4）的最小值?！咀ⅰ烤€性規(guī)劃問題是高考的必考點(diǎn)，在約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最值，關(guān)鍵是找出目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，再用幾何方法求解。 【練習(xí)1】在約束條件下，當(dāng) 時(shí)，求 的最大值的變化范圍是（ ）ABCD 【練習(xí)2】若x、y滿足，且Z=2x+3y有最小值-6，則k的值為_.【考點(diǎn)2】求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程【例2】已知兩個(gè)定點(diǎn)的直線 分別繞 A 點(diǎn)，B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，并保持 到的角為，則與的交點(diǎn)的軌跡方程為：_.【注】求軌跡方程是解析幾何的重要問題，要熟悉各種常見的求軌跡方程的方法：定義法、待定系數(shù)法、直譯法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法等等。另本題還用到了到角公式【練習(xí)1】已知圓C的圓心與拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于 對(duì)稱，直線與圓C相交于A,B兩點(diǎn)，且, 則圓C 的方程為 【考點(diǎn)3】圓錐曲線的定義及其應(yīng)用【例3】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）, 滿足關(guān)系式： , 則點(diǎn)P的軌跡是（ ） A 圓 B. 橢圓 C 雙曲線 D. 拋物線【注】圓錐曲線的定義有兩種形式，要善于利用定義進(jìn)行解題：（1）用定義判斷曲線的形狀；（2）解決與焦半徑相關(guān)的問題。用定義解題這體現(xiàn)了解析幾何的精髓?！揪毩?xí)1】在中，,若以A,B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C，則橢圓的離心率 【練習(xí)2】 P 為雙曲線右支上一點(diǎn)，M,N分別為圓和上的點(diǎn)，則的最大值為 【練習(xí)3】已知雙曲線的左準(zhǔn)線為，左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線 的準(zhǔn)線為。焦點(diǎn)為，若 與的一個(gè)交點(diǎn)為P 則 【練習(xí)4】設(shè)橢圓的方程為 ，線段PQ 是過左焦點(diǎn)F ，且不與x軸垂直的焦點(diǎn)弦，若在右準(zhǔn)線上存在點(diǎn)R使 為正三角形，求離心率的范圍_.【考點(diǎn)4】直線與二次曲線的位置關(guān)系問題【例4】若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為 ,則的傾斜角的取值范圍為（ ）A B C D 【注】（1）直線與圓的位置關(guān)系的問題（判斷、相交弦長、相交弦的中點(diǎn)）要注意充分利用圖形的幾何特征，數(shù)形結(jié)合求解 （2）直線與其他二次曲線的位置關(guān)系問題求解一般用韋達(dá)定理，要深刻理解這一通法?！揪毩?xí)1】已知拋物線。過定點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線 ，若與拋物線交于點(diǎn) P、Q ，與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，的斜率為，弦PQ 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ，則弦MN 的中點(diǎn)坐標(biāo)為：_.【考點(diǎn)5】解析幾何綜合以一個(gè)解答題的形式綜合考察解析幾何知識(shí)的掌握情況，這是每年高考的必考點(diǎn)，這類題一般以直線和圓錐曲線為試題背景。【例5】已知橢圓的離心率為，直線y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓 C的短半軸長為半徑的圓相切。 （1）求橢圓C1 的方程； （2）設(shè)橢圓C1 的左焦點(diǎn)F1 ，右焦點(diǎn)為F2 ，直線 過點(diǎn)F1且垂直于橢圓的長軸，動(dòng)直線 垂直于直線 ，垂足為P ，線段PF2 的垂直平分線交于點(diǎn)M ，求點(diǎn)M的軌跡C2 的方程； （3）設(shè)C2 與x 軸交于點(diǎn)Q ，不同于Q的兩點(diǎn)R、S在C2上，且滿足，求 的取值范圍?！揪毩?xí)1】過點(diǎn) 引直線交拋物線于P、Q兩個(gè)不同點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)M ，設(shè) （1）求證：為定值，并求該定值。 （2）當(dāng) A為線段PQ 的中點(diǎn)時(shí)，試求出和點(diǎn)M的橫坐標(biāo)。 （3）設(shè)點(diǎn) B(1,2) ，求證：為定值，并求出該定值?！揪毩?xí)2】設(shè)拋物線 的準(zhǔn)線與x軸交于F1 ，焦點(diǎn)為F2 ，以F1 ,F2為焦點(diǎn)，離心率e= 的橢圓C2 與拋物線C1 的一個(gè)交點(diǎn)為 P。（1）m=1時(shí)，求C2 的方程及右準(zhǔn)線方程（2）在（1）的條件下，直線經(jīng)過橢圓C2的右焦點(diǎn)F2 與拋物線 C1交于A1 、A 2兩點(diǎn)，若弦A 1A 2的長等于 的周長，求直線的斜率。（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使得 的邊長是連續(xù)的自然數(shù)。三專題訓(xùn)練高三數(shù)學(xué)單元測(cè)試解析幾何 第卷一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分）。1已知橢圓的離心率為，焦點(diǎn)是(-3,0)，(3,0)，則橢圓方程為 （ ）A B C D2當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)P，則過點(diǎn)P的拋物線的標(biāo) 準(zhǔn)方程是（ ）A或B或 C或 D或3設(shè)雙曲線x2 y2=1的兩條漸近線與直線x=圍成的三角形區(qū)域（包含邊界）為E,P(x,y) 為該區(qū)域內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍為（ ） A BCD 4短軸長為2，離心率e=3的雙曲線兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)， 且|AB|=8,則ABF2的周長為（ ）A3B6C12D245已知F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，若 ABF2是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是（ ） A B C D6如果AC0,且BC0,那么直線Ax+By+C=0不通過（ ） A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限7已知拋物線()與橢圓=1有一個(gè)相同的焦點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌 跡是（ ）A橢圓的一部分B雙曲線的一部分 C拋物線的一部分 D直線的一部分8如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面為正方 形，側(cè)面PAD與底面ABCD垂直，M為底面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿 足MP=MC，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為 （ ） A橢圓B拋物線 C雙曲線 D直線 9若直線mx- ny = 4與O: x2+y2= 4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)P(m,n)的直線與橢圓的 交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ） A至多為1B2C1 D010若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的，則該雙曲線的漸近線方程是（ ）A BCD11過點(diǎn)P(x,y)的直線分別與x軸和y軸的正半軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且=1，則點(diǎn)P的軌跡方程是（ ） AB CD12橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，點(diǎn)、是它的焦點(diǎn)，長軸長為，焦距為，靜放在點(diǎn)的小球（小球的半徑不計(jì)），從點(diǎn)沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)時(shí)，小球經(jīng)過的路程是（）ABCD以上答案均有可能 第卷二、填空題：請(qǐng)把答案填在題中橫線上（本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分）。13點(diǎn)A(1,2,-3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為 , 點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為 , B,C兩點(diǎn)間的距離為 14已知是拋物線的焦點(diǎn)，過且斜率為的直線交于兩點(diǎn)設(shè)，則的值等于 15已知兩條直線,若，則_ _。16已知兩個(gè)點(diǎn)M(-5,0)和N(5,0)，若直線上存在點(diǎn)P，使|PM|-|PN|=6,則稱該直線為“B型直線”，給出下列直線：y=x+1; ；y=2；y=2x+1其中為“B型直線”的是 （填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(本大題共6個(gè)大題，共74分)。17（12分）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),F是拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn),A是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 與x軸正方向的夾角為600,求|的值18（12分）已知一動(dòng)圓M,恒過點(diǎn)F，且總與直線相切 （）求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程； （）探究在曲線C上,是否存在異于原點(diǎn)的兩點(diǎn),當(dāng)時(shí), 直線AB恒過定點(diǎn)?若存在,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說明理由19（12分）雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線分別為，經(jīng)過右焦點(diǎn)垂直于的直線分別交于兩點(diǎn)已知成等差數(shù)列，且與同向 （）求雙曲線的離心率； （）設(shè)被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程20（12分）已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在軸上,離心率為,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,橢圓G上一點(diǎn)到和的距離之和為12圓:的圓心為點(diǎn) （1）求橢圓G的方程 （2）求的面積 （3）問是否存在圓包圍橢圓G?請(qǐng)說明理由21(12分)如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)，平行于OM的直線l在軸上的截距為，l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn) （1）求橢圓的方程； （2）求m的取值范圍； （3）求證直線MA、MB與軸始終圍成一個(gè)等腰三角形 22(14分)設(shè)橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn) （）求橢圓E的方程； （）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B, 且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。參考答案一、選擇題1A；解析：已知橢圓的離心率為，焦點(diǎn)是(-3,0)，(3,0)，則c=3，a=6， 橢圓的方程為，選A2C；解析：將直線方程化為,可得定點(diǎn)P（2，-8），再設(shè)拋物線 方程即可； 3D；解析：雙曲線x2 y2=1的兩條漸近線為: ,漸近線與直線x= 的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(,)和(,-)利用角點(diǎn)代入法得的取值范圍 為 4B；解析：由于, 由雙曲線的定義知: |AF2|- |AF1|=, |BF2|- |BF1|=, |AF2|+|BF2|- |AB|=2,|AF2|+|BF2|=8+2, 則ABF2的周長為16+25 A；解析：由題,即 ，解之得：(負(fù)值舍去)故答案選A6C；解析：直線AxByC=0化為,又AC0,BC0 AB0, ,直線過一、二、四象限，不過第三象限故答案選C7C；解析：由()得,其焦點(diǎn)為(,0) (), 因?yàn)閽佄锞€與橢圓有一個(gè)相同的焦點(diǎn)，所以橢圓=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(,0), ,得 (,)8D；解析：由MP=MC , 知M在PC的垂直平分面內(nèi)，又M面ABCD M在兩平面的交線上故答案選D9B；解析:由題意2即m2+n24,點(diǎn)(m,n)在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓內(nèi)， 與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,故答案選B10C；解析：對(duì)于雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離因?yàn)?，而，因此，因此其漸近線方程為11D；解析：設(shè)P(x,y)，則Q (-x,y)， 由 A(),B(0,3y)，- 從而由=(-x,y)·(-,3y)=1 得其中x>0,y>0,故答案選D 12D；解析：靜放在點(diǎn)的小球（小球的半徑不計(jì)）從點(diǎn)沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁右頂點(diǎn)反彈后第一次回到點(diǎn)時(shí)，小球經(jīng)過的路程是，則選B；靜放在點(diǎn)的小球（小球的半徑不計(jì)）從點(diǎn)沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁左頂點(diǎn)反彈后第一次回到點(diǎn)時(shí)，小球經(jīng)過的路程是，則選C；靜放在點(diǎn)的小球（小球的半徑不計(jì)）從點(diǎn)沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁非左右頂點(diǎn)反彈后第一次回到點(diǎn)時(shí)，小球經(jīng)過的路程是，則選A由于三種情況均有可能，故選D二、填空題：13 (1,-2,3 ) (1,2,3) 4解析：過A作AMxOy交平面于M，并延長到C,使CM=AM，則A與C'關(guān)于坐標(biāo)平面xOy對(duì)稱且C(1,2,3)過A作ANx軸于N，并延長到點(diǎn)B，使NB=AN，則A與B關(guān)于x軸對(duì)稱且B(1,-2,3)A(1,2,-3)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)B(1,-2,3 )又A(1,2,-3)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy對(duì)稱的點(diǎn)C(1,2,3);|BC|=414 3解析：由題意知,直線的方程為,與拋物線聯(lián)立得,求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或,又根據(jù)拋物線的定義得,=315 0解析：當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,若則,上式顯然不成立若，則016解析：|PM|-|PN|=6 點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，即(x0)，將直線方程與其聯(lián)立，方程組有解,判斷其答案為三解答題17解：由題意設(shè)代入y2=2px得解得x=p(負(fù)值舍去) 6分A() 12分18解: (1) 因?yàn)閯?dòng)圓M,過點(diǎn)F且與直線相切,所以圓心M到F的距離等于到直線的距離所以,點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn), 為準(zhǔn)線的拋物線,且,所以所求的軌跡方程為 5分(2) 假設(shè)存在A,B在上,所以,直線AB的方程:,即 7分即AB的方程為:,即 即:， 10分令,得， 所以,無論為何值,直線AB過定點(diǎn)(4,0) 12分19解：（）設(shè)，由勾股定理可得： 2分得：，由倍角公式，解得,則離心率 6分（）過直線方程為,與雙曲線方程聯(lián)立將，代入，化簡(jiǎn)有 8分將數(shù)值代入，有,解得 10分故所求的雙曲線方程為 12分20解: （1）設(shè)橢圓G的方程為： （）半焦距為c; 則 , 解得 , 所求橢圓G的方程為： 6分 （2）點(diǎn)的坐標(biāo)為, 8分 （3）若，由可知點(diǎn)（6，0）在圓外， 若，由可知點(diǎn)（-6，0）在圓外；不論K為何值圓都不能包圍橢圓G 12分21解：（1）設(shè)橢圓方程為則 2分橢圓方程 4分 （2）直線l平行于OM，且在軸上的截距為m又l的方程為：由 6分直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，m的取值范圍是 （3）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1k2=0即可設(shè)可得 8分而 10分k1k2=0故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形 12分22 解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b>0）過M（2，），N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為 4分（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,則=,即 要使,需使,即,所以,所以又, 所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且因?yàn)?所以, 8分當(dāng)時(shí)因?yàn)樗?所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”時(shí),當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí), 12分綜上, |AB |的取值范圍為即: 14分