考點47 隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型一、選擇題1.（2011·廣東高考理科·6）甲、乙兩隊進(jìn)行排球決賽現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍.若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為 A. B. C. D.【思路點撥】本題利用獨(dú)立重復(fù)試驗及對立事件的概率公式可求解.【精講精析】選D.由題意知，乙隊勝的概率為，由對立事件概率公式得，甲隊獲勝的概率為.故選D.2（2011·安徽高考文科·9）從正六邊形的6個頂點中隨機(jī)選擇4個頂點，則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概率等于（）（A） （B） （C） （D）【思路點撥】基本事件總數(shù)是=15，觀察可得構(gòu)成3個矩形.【精講精析】選D. 基本事件總數(shù)是=15，觀察可得構(gòu)成3個矩形.所以是矩形的概率為3.（2011·福建卷理科·4）如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個點Q，則點Q取自ABE內(nèi)部的概率等于（ ）(A). (B). (C). (D).【思路點撥】本題屬幾何概型問題，所求概率轉(zhuǎn)化為ABE與矩形ABCD的面積之比【精講精析】選C. 由題意知，4（2011·福建卷文科·7）如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個點Q，則點Q取自ABE內(nèi)部的概率等于（ ）（A） （B）. （C）. （D）. 【思路點撥】本題屬幾何概型問題，所求概率轉(zhuǎn)化為ABE與矩形ABCD的面積之比.【精講精析】選C. 由題意知，5.（2011·新課標(biāo)全國高考理科·4）有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為A B. C. D.【思路點撥】甲、乙兩位同學(xué)可以同時參加3個興趣小組中的1個，參加每個小組的可能性均為，可以利用排列組合和獨(dú)立事件的概率求法來計算所求概率.【精講精析】選A. 先從3個興趣小組中選1個，有種方法；甲、 乙兩位同學(xué)都參加這個興趣小組的概率為故這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為6.（2011·新課標(biāo)全國高考文科·6）有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為( )A. B. C. D. 【思路點撥】甲、乙兩位同學(xué)可以同時參加3個興趣小組中的1個，參加每個小組的可能性均為，可以利用獨(dú)立事件的概率求法來計算所求概率.【精講精析】選A. 先從3個興趣小組中選1個，有種方法；乙、 乙兩位同學(xué)都參加這個興趣小組的概率為故這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為7.（2011·遼寧高考理科·5）從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A=“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B=“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(BA)=(A) (B) (C) (D)【思路點撥】本題主要考查條件概率及其運(yùn)算【精講精析】選B，從.4.5中任取2個不同的數(shù)，共有10個基本事件：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）事件A發(fā)生共有4個基本事件：（1，3），（1，5），（3，5），（2，4）事件B發(fā)生共有1個基本事件：（3，5）事件A，B同時發(fā)生也只有1個基本事件：（3，5）根據(jù)條件概率公式得，8（2011·陜西高考理科·T10）甲乙兩人一起去游“2011西安世園會”，他們約定，各自獨(dú)立地從1到6號景點中任選4個進(jìn)行游覽，每個景點參觀1小時，則最后一小時他們同在一個景點的概率是 （ ）（A） （B） （C） （D）【思路點撥】本題抓住主要條件，去掉次要條件（例如參觀時間）可以簡化解題思路，然后把問題簡化為兩人所選的游覽景點路線的排列問題【精講精析】選D.甲乙兩人各自獨(dú)立任選4個景點的情形共有（種）；最后一小時他們同在一個景點的情形有（種），所以9.（2011·浙江高考理科·9）有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本。若將其隨機(jī)地并擺放到圖書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率是（A） （B） （C） （D） 【思路點撥】古典概型基本問題,可從反面來考慮。【精講精析】選B.解法一：基本事件總數(shù)為,同一科目中有相鄰情況的有個,故同一科目都不相鄰的概率是.解法二：由古典概型的概率公式得.10. （2011·浙江高考文科·8）從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是（A） （B） （C） （D）【思路點撥】古典概型問題.【精講精析】選D.從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球共有個基本事件；所取的3個球中至少有1個白球的反面為“3個球均為紅色”，有1個基本事件，所以所取的3個球中至少有1個白球的概率是.二、填空題11.（2011·江西高考理科·12）小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點，若此點到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書.則小波周末不在家看書的概率為 .【思路點撥】根據(jù)條件先求出小波周末去看電影的概率，再求出他去打籃球的概率，易得周末不在家看書的概率。【精講精析】答案：記“看電影”為事件A，“打籃球”為事件B，“不在家看書”為事件C.12（2011·湖南高考理科·T15）如圖4，EFGH是以O(shè)為圓心、半徑為1的圓的內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（陰影部分）內(nèi)”，則（1）P(A)=_；（2）P（B|A）=_.【思路點撥】本題主要考查面積型幾何概型.【精講精析】答案：.關(guān)鍵是計算出正方形的面積和扇形的面積.13.（2011·湖南高考文科T15）已知圓C：直線l：4x+3y=25.（1）圓C的圓心到直線l的距離為_；（2）圓C上任意一點A到直線的距離小于2的概率為_【思路點撥】本題考查點到直線的距離公式和幾何概型.【精講精析】答案：5，（1）的圓心(0,0)到直線4x+3y=25的距離為：d=.（2）作一條與4x+3y=25平行而且與4x+3y=25的距離為2的直線交圓于A，B兩點，則.14.（2011·福建卷理科·13）盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個.若從中隨機(jī)取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率等于_.【思路點撥】分別求出.【精講精析】 .由題易知，從5個球中隨機(jī)取出2個球共有種不同取法，而取出的球顏色不同共有，故所取出的2個球顏色不同的概率為15.（2011·江蘇高考·5）從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個的兩倍的概率是_【思路點撥】本題考查的是古典概型的概率計算，解題的關(guān)鍵是找出總的基本事件個數(shù)和其中一個數(shù)是另一個的兩倍所包含的事件個數(shù)?！揪v精析】從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機(jī)取兩個數(shù)，共有（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4）6個基本事件，其中一個數(shù)是另一個的兩倍的有（1,2），（2,4）2個基本事件，所以其中一個數(shù)是另一個的兩倍的概率是【答案】.三、解答題16.（2011·福建卷文科·19）某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個等級，等級系數(shù)X依次為1,2,3,4,5.現(xiàn)從一批該日用品中隨機(jī)抽取20件，對其等級系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表如下：(I)若所抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，等級系數(shù)為5的恰有2件，求a,b,c的值；(II)在（1）的條件下，將等級系數(shù)為4的3件日用品記為x1,x2,x3，等級系數(shù)為5的2件日用品記為y1,y2，現(xiàn)從x1,x2,x3,y1,y2,這5件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），寫出所有可能的結(jié)果，并求這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率.【思路點撥】（）由等級系數(shù)為4和5的件數(shù)可求得頻率的值，再由頻率和為1求得的值;（）此問屬于求古典概型的概率問題，用列舉法可求.【精講精析】（）由頻率分布表得，即，因為抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，所以等級系數(shù)為5的恰有2件，所以從而，所以（II）從日用品中任取兩件，所有可能情況為：，.設(shè)事件A表示“從日用品中任取兩件，其等級系數(shù)相等”，則A包含的基本事件為，共4個.又基本事件的總數(shù)為10,故所求的概率17.（2011·新課標(biāo)全國高考文科·19）某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A分配方和B分配方）做試驗，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗結(jié)果：A配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組頻數(shù)B配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組頻數(shù)（）分別估計用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；（II）已知用B配方生成的一件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為估計用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率，并求用B配方生產(chǎn)的上述100件產(chǎn)品平均一件的利潤.【思路點撥】第（）問分別用配方、配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率來估計概率，第（II）問，用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0時即質(zhì)量指標(biāo)時，求時的頻率作為概率，生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中平均一件的利潤為.【精講精析】（）由實驗結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為=0.3所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.3.由實驗結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為=0.42，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.42.（II）由條件知，用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率當(dāng)且僅當(dāng)t94,由試驗結(jié)果知，t94的頻率為0.96，所以用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率估計值為0.96.用B配方生產(chǎn)的上述100件產(chǎn)品平均一件的利潤為=2.68（元）.18.（2011·山東高考文科·18）甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.（I）若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率；（II）若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率.【思路點撥】（I）本題考查古典概型，要將基本事件都列出，然后找出2名教師性別相同所含的基本事件的個數(shù)，由古典概型概率公式求得結(jié)果.（II）從報名的6名教師中任選2名，列出基本事件，然后找出2名教師來自同一學(xué)校所含的基本事件的個數(shù)，由古典概型概率公式求得結(jié)果.【精講精析】(I) 從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，所有可能的結(jié)果為(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男)，共9種；選出的2名教師性別相同的結(jié)果有(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲女1, 乙女1)、(甲女1, 乙女2)，共4種，所以選出的2名教師性別相同的概率為.（II）從報名的6名教師中任選2名，所有可能的結(jié)果為(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男) 、(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共15種；選出的2名教師來自同一學(xué)校的所有可能的結(jié)果為(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共6種，所以選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率為.19（2011·湖南高考文科T18）某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y（單位：萬千瓦時）與該河上游在六月份的降雨量X（單位：毫米）有關(guān).據(jù)統(tǒng)計，當(dāng)X=70時，Y=460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值為：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，220，140，110，160，220，140，160.（）完成如下的頻率分布表： 近20年六月份降雨量頻率分布表降雨量70110140160200220頻率（II）假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490（萬千瓦時）或超過530（萬千瓦時）的概率.【思路點撥】本題考查頻率分布表的理解和求概率.兼顧考查了一種理解，頻率反映概率，頻率不是概率，概率是通過頻率體現(xiàn)的.頻率和概率最大的特性是和均為1.而第二問必須把發(fā)電量、降雨量和概率的關(guān)系聯(lián)系起來.【精講精析】（I）在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有3個，為160毫米的有7個，為200毫米的有3個，故近20年六月份降雨量頻率分布表為降雨量70110140160200220頻率（II）故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490（萬千瓦時）或超過530（萬千瓦時）的概率為20.（2011·江西高考文科·16）某飲料公司對一名員工進(jìn)行測試以便確定其考評級別，公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共5杯，其顏色完全相同，并且其中3杯為A飲料，另外2杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從5杯飲料中選出3杯A飲料.若該員工3杯都選對，則評為優(yōu)秀；若3杯選對2杯，則評為良好；否則評為合格.假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力.（1）求此人被評為優(yōu)秀的概率；（2）求此人被評為良好及以上的概率.【思路點撥】首先將所有情況一一列舉出來，共有10種情況，結(jié)合題意可得此人被評為優(yōu)秀及被評為良好及以上的概率。【精講精析】解：將5杯飲料編號為：1,2,3,4,5，編號1,2,3表示A飲料，編號4，5表示B飲料，則從5杯飲料中選出3杯的所有可能情況為：（123），（124），（125），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345）可見共有10種，令D表示此人被評為優(yōu)秀的事件，E表示此人被評為良好的事件，F(xiàn)表示此人被評為良好及以上的事件，則（1） P(D)=（2） P(E)=,P(F)=P(D)+P(E)=.21.（2011·陜西高考文科·T20）如圖，A地到火車站共有兩條路徑和，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：所用時間（分鐘）10202030304040505060選擇的人數(shù)612181212選擇的人數(shù)0416164（）試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；（）分別求通過路徑和所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率；（）現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡量大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試通過計算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑【思路點撥】（）讀懂?dāng)?shù)表，確定不能趕到火車站的人數(shù)所在的區(qū)間，用相應(yīng)的頻率作為所求概率的估計值；（）根據(jù)頻率的計算公式計算；（）計算選擇不同的路徑，在允許的時間內(nèi)趕往火車站的概率，通過比較概率的大小確定選擇的最佳路徑【精講精析】（）由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12+12+16+4=44人，用頻率估計相應(yīng)的概率為0.44.（）選擇的有60人，選擇的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得頻率為：所用時間（分鐘）10202030304040505060選擇的人數(shù)0.10.20.30.20.2選擇的人數(shù)00.10.40.40.1（）用，分別表示甲選擇和時，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；用，分別表示乙選擇和時，在50分鐘內(nèi)趕到火車站由（）知P(A1) =0.1+0.2+0.3=0.6，P(A2)=0.1+0.4=0.5， P(A1) P(A2)，甲應(yīng)選擇路徑；P(B1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，P（B2）P（B1）， 乙應(yīng)選擇路徑.22.（2011·天津高考文科·15）編號為的16名籃球運(yùn)動員在某次訓(xùn)練比賽中的得分記錄如下：運(yùn)動員編號得分1535212825361834運(yùn)動員編號得分1726253322123138（）將得分在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格；區(qū)間人數(shù)（）從得分在區(qū)間內(nèi)的運(yùn)動員中隨機(jī)抽取2人，（i）用運(yùn)動員的編號列出所有可能的抽取結(jié)果；（ii）求這2人得分之和大于50的概率【思路點撥】（），分別按區(qū)間范圍列舉出人數(shù)；（），用列舉法、古典概率公式計算概率.【精講精析】（）【解析】4，6，6（）（i）【解析】得分在區(qū)間內(nèi)的運(yùn)動員編號為從中隨機(jī)抽取2人，所有可能的抽取結(jié)果有：，共15種. （ii）【解析】“從得分在區(qū)間內(nèi)的運(yùn)動員中隨機(jī)抽取2人，這2人得分之和大于50”（記為事件B）的所有可能結(jié)果有：，共5種.所以23.（2011·北京高考文科·T16）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù).乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示.甲組 乙組9 9 0 X 8 91 1 1 0（）如果X=8，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；（）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的概率.（注：方差，其中為的平均數(shù)）【思路點撥】（）代入平均數(shù)、方差公式進(jìn)行計算；（）先求出基本事件空間包含的基本事件總數(shù)，再求出所求事件包含的基本事件數(shù)，最后求概率.【精講精析】當(dāng)X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的棵數(shù)是8，8，9，10，所以平均數(shù)為；方差為.（）記甲組四名同學(xué)為，他們植樹的棵數(shù)依次為9，9，11，11；乙組四名同學(xué)為，他們植樹的棵數(shù)依次為9，8，9，10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的結(jié)果有16個，它們是：用C表示：“選出的兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19”這一事件，則C中的結(jié)果有4個，它們是,故所求概率為.