F單元平面向量 目錄F單元平面向量1F1平面向量的概念及其線性運算1F2平面向量基本定理及向量坐標運算4F3平面向量的數(shù)量積及應用9F4 單元綜合22 F1平面向量的概念及其線性運算【名校精品解析系列】數(shù)學（理）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】15.已知直線與圓交于兩點，是坐標原點，向量滿足，則實數(shù)的值是 ?！局R點】直線與圓的位置關系，向量的加法與減法H4 F1【答案】【解析】±2 解析：因為向量滿足，所以OAOB，又直線x+y=a的斜率為1，所以直線經(jīng)過圓與y軸的交點，所以a=±2.【思路點撥】本題先由向量加法與減法的幾何意義得到OAOB，再由所給直線與圓的特殊性確定實數(shù)a的值.【名校精品解析系列】數(shù)學（理）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】15.已知直線與圓交于兩點，是坐標原點，向量滿足，則實數(shù)的值是 ?！局R點】直線與圓的位置關系，向量的加法與減法H4 F1【答案】【解析】±2 解析：因為向量滿足，所以OAOB，又直線x+y=a的斜率為1，所以直線經(jīng)過圓與y軸的交點，所以a=±2.【思路點撥】本題先由向量加法與減法的幾何意義得到OAOB，再由所給直線與圓的特殊性確定實數(shù)a的值.【名校精品解析系列】數(shù)學（理）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】15.已知直線與圓交于兩點，是坐標原點，向量滿足，則實數(shù)的值是 ?！局R點】直線與圓的位置關系，向量的加法與減法H4 F1【答案】【解析】±2 解析：因為向量滿足，所以OAOB，又直線x+y=a的斜率為1，所以直線經(jīng)過圓與y軸的交點，所以a=±2.【思路點撥】本題先由向量加法與減法的幾何意義得到OAOB，再由所給直線與圓的特殊性確定實數(shù)a的值.【名校精品解析系列】數(shù)學（文）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】7.已知向量是兩個不共線的向量,若與共線,則=（ ）A2 B. C. D. 【知識點】向量共線的充要條件，平面向量基本定理F1 F2【答案】【解析】C 解析：若與共線，則，得，解得，所以選C.【思路點撥】先由向量共線得到兩個向量關系，再利用平面向量基本定理確定向量的系數(shù)關系即可.【名校精品解析系列】數(shù)學（文）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】7.已知向量是兩個不共線的向量,若與共線,則=（ ）A2 B. C. D. 【知識點】向量共線的充要條件，平面向量基本定理F1 F2【答案】【解析】C 解析：若與共線，則，得，解得，所以選C.【思路點撥】先由向量共線得到兩個向量關系，再利用平面向量基本定理確定向量的系數(shù)關系即可.【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆重慶市巴蜀中學高三上學期第一次模擬考試（201501）】6. 已知向量與的夾角為，且，若，且，則實數(shù)的值為（ ） A B C D【知識點】向量加減混合運算及其幾何意義F1【答案】【解析】D 解析：，且，=0又向量與的夾角為120°，且，3222+（1）×（3）=0，解得=故選：D【思路點撥】利用向量垂直與數(shù)量積之間的關系即可得出【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆河南省安陽一中等天一大聯(lián)考高三階段測試（三）（201412）word版】(15)ABC中， ，若 ，則 =_.【知識點】平面向量的線性運算；向量的數(shù)量積. F1 F3【答案】【解析】 解析：因為,所以. 故填. 【思路點撥】先把用表示，再用向量數(shù)量積的運算性質求解. 【名校精品解析系列】數(shù)學文卷·2015屆重慶一中高三12月月考（201412）word版】9已知平面向量的夾角為，且，在中，D 為BC的中點，則（ ） A2 B4 C6 D8【知識點】向量的運算 向量的數(shù)量積F1 F3【答案】【解析】A 解析：=，所以，所以【思路點撥】本題主要考察向量的基本運算與向量模的計算，與向量模有關的一般用到向量的平方等于模的平方.F2平面向量基本定理及向量坐標運算【數(shù)學理卷·2015屆湖南省衡陽市八中高三上學期第六次月考（201501）】13. 已知點是銳角的外心，. 若，則 【知識點】平面向量基本定理及向量坐標運算F2【答案】5【解析】如圖，點在上的射影是點，它們分別為的中點，由數(shù)量積的幾何意義，可得，依題意有:，即，即將兩式相加可得：.【思路點撥】由數(shù)量積的幾何意義，可得，,再根據(jù)數(shù)量積求得。【數(shù)學理卷·2015屆湖南省衡陽市八中高三上學期第六次月考（201501）】13. 已知點是銳角的外心，. 若，則 【知識點】平面向量基本定理及向量坐標運算F2【答案】5【解析】如圖，點在上的射影是點，它們分別為的中點，由數(shù)量積的幾何意義，可得，依題意有:，即，即將兩式相加可得：.【思路點撥】由數(shù)量積的幾何意義，可得，,再根據(jù)數(shù)量積求得。【數(shù)學文卷·2015屆湖南省衡陽市八中高三上學期第六次月考（201501）】10.在ABC中，a、b、c分別是內角A,B,C所對的邊，C=,若且D、E、F三點共線（該直線不過點O），則 ABC周長的最小值是（ ） A. B. C. D. 【知識點】平面向量基本定理及向量坐標運算F2【答案】B【解析】，且D、E、F三點共線（該直該不過點O），a+b=2（a0，b0），ab()2=1c2=a2+b2-2abcosC，C=，c2=2ab-ab1當且僅當a=b=1時，c取得最小值1ABC周長的最小值是3.【思路點撥】利用三點共線的性質，可得a+b=2，再利用余弦定理結合基本不等式可求c的最小值，從而可得結論二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分25分【名校精品解析系列】數(shù)學（文）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】13.已知,向量，且 ，則= _ 【知識點】向量的坐標運算F2【答案】【解析】 解析：因為，所以2m-6=0,m=3,則 .【思路點撥】先利用兩向量垂直，數(shù)量積等于0計算m值，再求模即可.【名校精品解析系列】數(shù)學（文）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】7.已知向量是兩個不共線的向量,若與共線,則=（ ）A2 B. C. D. 【知識點】向量共線的充要條件，平面向量基本定理F1 F2【答案】【解析】C 解析：若與共線，則，得，解得，所以選C.【思路點撥】先由向量共線得到兩個向量關系，再利用平面向量基本定理確定向量的系數(shù)關系即可.【名校精品解析系列】數(shù)學（文）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】13.已知,向量，且 ，則= _ 【知識點】向量的坐標運算F2【答案】【解析】 解析：因為，所以2m-6=0,m=3,則 .【思路點撥】先利用兩向量垂直，數(shù)量積等于0計算m值，再求模即可.【名校精品解析系列】數(shù)學（文）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】7.已知向量是兩個不共線的向量,若與共線,則=（ ）A2 B. C. D. 【知識點】向量共線的充要條件，平面向量基本定理F1 F2【答案】【解析】C 解析：若與共線，則，得，解得，所以選C.【思路點撥】先由向量共線得到兩個向量關系，再利用平面向量基本定理確定向量的系數(shù)關系即可.【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆重慶市巴蜀中學高三上學期第一次模擬考試（201501）】15. 已知中的內角為，重心為，若，則 _?！局R點】向量在幾何中的應用；平面向量的基本定理及其意義F2 F3【答案】【解析】 解析：設a，b，c為角A，B，C所對的邊，由正弦定理，可得，則，即，又,不共線，則，即，故答案為：【思路點撥】利用正弦定理化簡已知表達式，通過,不共線，求出a、b、c的關系，利用余弦定理求解即可【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆浙江省重點中學協(xié)作體高三上學期第二次適應性測試（201501）word版】12已知是直角三角形的概率是?！局R點】向量的坐標運算 古典概型 F2 K2【答案】【解析】解析：因為，又因為，所以，在中，若為直角三角形可得，滿足條件的有3個，所以所求概率為.故答案為.【思路點撥】根據(jù)求得k的集合為共有7個元素，根據(jù)直角三角形可得求得滿足條件的k有3個，即可得所求概率.【名校精品解析系列】數(shù)學文卷·2015屆河南省安陽一中等天一大聯(lián)考高三階段測試（三）（201412）word版】(15)ABC中， ，若 ，則 =_.【知識點】平面向量的線性運算；向量的數(shù)量積. F2 F3【答案】【解析】 解析：因為,所以. 故填. 【思路點撥】先把用表示，再用向量數(shù)量積的運算性質求解. F3平面向量的數(shù)量積及應用【數(shù)學（理）卷·2015屆四川省成都市高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測（201412）word版】11若非零向量，滿足，則，的夾角的大小為_【知識點】向量的夾角 F3【答案】【解析】解析：，即，所以， ，的夾角為，故答案為.【思路點撥】由可得，所以夾角為.【數(shù)學理卷·2015屆湖北省部分高中高三元月調考（201501）】11.平面向量與的夾角為60°，=(2,0)，|=1，則|+2| 【知識點】平面向量的數(shù)量積及應用F3【答案】2【解析】由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12|a+2b|=2.【思路點撥】根據(jù)向量的坐標求出向量的模，最后結論要求模，一般要把模平方，知道夾角就可以解決平方過程中的數(shù)量積問題，題目最后不要忘記開方【數(shù)學理卷·2015屆四川省綿陽中學高三上學期第五次月考（201412）word版】5在中，若，則( ) ABCD【知識點】向量的數(shù)量積 F3【答案】【解析】解析：由題意可得：，由同角三角函數(shù)基本關系式可得：所以，故選擇.【思路點撥】根據(jù)已知可得，進而得到，即可得到三角形面積.【數(shù)學理卷·2015屆四川省綿陽中學高三上學期第五次月考（201412）word版】5在中，若，則( ) ABCD【知識點】向量的數(shù)量積 F3【答案】【解析】解析：由題意可得：，由同角三角函數(shù)基本關系式可得：所以，故選擇.【思路點撥】根據(jù)已知可得，進而得到，即可得到三角形面積.【數(shù)學文卷·2015屆湖南省衡陽市八中高三上學期第六次月考（201501）】12在邊長為2的正ABC中，則_?！局R點】平面向量的數(shù)量積及應用F3【答案】-2【解析】等邊ABC邊長為2，則|cos（-B）=2×2×（-cosB）=4×（-cos60°）=4×（-）=-2【思路點撥】由|cos（-B）求出2.【數(shù)學文卷·2015屆四川省綿陽中學高三上學期第五次月考（201412）】5在中，若，則( ) ABCD【知識點】向量的數(shù)量積 F3【答案】【解析】解析：由題意可得：，由同角三角函數(shù)基本關系式可得：所以，故選擇.【思路點撥】根據(jù)已知可得，進而得到，即可得到三角形面積.【名校精品解析系列】數(shù)學（理）卷·2015屆河北省唐山一中等五校高三上學期第二次聯(lián)考（201501）】7已知,點在內，且，設，則等于（ ）A B3 C D【知識點】平面向量數(shù)量積的運算；線段的定比分點F3【答案】【解析】B 解析：,在x軸方向上的分量為,在y軸方向上的分量為兩式相比可得：故選B.【思路點撥】先根據(jù)可得，再計算出，又根據(jù)，可得答案【名校精品解析系列】數(shù)學（理）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】8.已知，是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是 ( ) A.1 B.2 C. D.【知識點】向量的數(shù)量積F3【答案】【解析】C 解析：因為，所以，所以的最大值是，則選C.【思路點撥】利用向量的數(shù)量積的運算，把所求向量轉化為夾角的三角函數(shù)再求最值，本題還可以建立直角坐標系，利用坐標運算進行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學（理）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】8.已知，是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是 ( ) A.1 B.2 C. D.【知識點】向量的數(shù)量積F3【答案】【解析】C 解析：因為，所以，所以的最大值是，則選C.【思路點撥】利用向量的數(shù)量積的運算，把所求向量轉化為夾角的三角函數(shù)再求最值，本題還可以建立直角坐標系，利用坐標運算進行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學（理）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】8.已知，是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是 ( ) A.1 B.2 C. D.【知識點】向量的數(shù)量積F3【答案】【解析】C 解析：因為，所以，所以的最大值是，則選C.【思路點撥】利用向量的數(shù)量積的運算，把所求向量轉化為夾角的三角函數(shù)再求最值，本題還可以建立直角坐標系，利用坐標運算進行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學（文）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】20.（本小題滿分12分）的內角A，B，C所對的邊分別,已知向量m=,n=, mn=.（1）若，求的面積；（2）求的值.【知識點】解三角形。向量的數(shù)量積C8 F3【答案】【解析】(1)；(2)2 解析：(1)因為，所以，又,所以，由得b=4，所以的面積為；(2)= .【思路點撥】在解三角形時，當出現(xiàn)邊角混合條件時，可先利用正弦定理或余弦定理先轉化為角的關系或邊的關系，再進行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學（文）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】8.在中,點是中點,若,則的最小值是（ ）A. B. C. D. 【知識點】向量的數(shù)量積F3【答案】【解析】A 解析：設三角形三邊分別為a,b,c，由得bccos60°=,得bc=1，當AD為三角形的高時取最小值，此時三角形為等邊三角形，所以b=c=1，所以選A.【思路點撥】先由的意義尋求出取最小值時三角形的特征，再計算其最小值即可.【名校精品解析系列】數(shù)學（文）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】20.（本小題滿分12分）的內角A，B，C所對的邊分別,已知向量m=,n=, mn=.（1）若，求的面積；（2）求的值.【知識點】解三角形。向量的數(shù)量積C8 F3【答案】【解析】(1)；(2)2 解析：(1)因為，所以，又,所以，由得b=4，所以的面積為；(2)= .【思路點撥】在解三角形時，當出現(xiàn)邊角混合條件時，可先利用正弦定理或余弦定理先轉化為角的關系或邊的關系，再進行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學（文）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】8.在中,點是中點,若,則的最小值是（ ）A. B. C. D. 【知識點】向量的數(shù)量積F3【答案】【解析】A 解析：設三角形三邊分別為a,b,c，由得bccos60°=,得bc=1，當AD為三角形的高時取最小值，此時三角形為等邊三角形，所以b=c=1，所以選A.【思路點撥】先由的意義尋求出取最小值時三角形的特征，再計算其最小值即可.【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆重慶市巴蜀中學高三上學期第一次模擬考試（201501）】15. 已知中的內角為，重心為，若，則 _。【知識點】向量在幾何中的應用；平面向量的基本定理及其意義F2 F3【答案】【解析】 解析：設a，b，c為角A，B，C所對的邊，由正弦定理，可得，則，即，又,不共線，則，即，故答案為：【思路點撥】利用正弦定理化簡已知表達式，通過,不共線，求出a、b、c的關系，利用余弦定理求解即可【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆浙江省重點中學協(xié)作體高三上學期第二次適應性測試（201501）word版】15已知中，且，則的取值范圍是?！局R點】向量的數(shù)量積 F3【答案】【解析】解析：因為，所以，即可得，因為可得，設，所以有，因為 ，可得，所以，故答案為.【思路點撥】根據(jù)題意可得，由平方可得，可得，根據(jù)角B的范圍求得，而即可求得.【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆浙江省重點中學協(xié)作體高三上學期第二次適應性測試（201501）word版】7已知為的外心，若，且，則（ ）。A B C D【知識點】向量的數(shù)量積 F3【答案】B【解析】解析：根據(jù)為的外心，以及向量數(shù)量積的集合意義可得，同理可得，又因為，所以可得，故選擇B.【思路點撥】根據(jù)為的外心，以及向量數(shù)量積的集合意義可得，同理可得，再利用，代入即可求得.【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆河南省安陽一中等天一大聯(lián)考高三階段測試（三）（201412）word版】(17)（本小題滿分10分）已知向量 ，記 (I) 若 ，求 的值；()將函數(shù) 的圖象向右平移 個單位得到 的圖象，若函數(shù) 在 上有零點，求實數(shù)k的取值范圍【知識點】向量的數(shù)量積；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像. F3 C3 C7 【答案】【解析】(I)1(II) 解析：(I)由已知得，于是(II)將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，當x時，所以，所以，若函數(shù) 在 上有零點，則k【思路點撥】由向量的關系可求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質求出函數(shù)的取值,從而求得使函數(shù) 在 上有零點得k范圍. 【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆河南省安陽一中等天一大聯(lián)考高三階段測試（三）（201412）word版】(15)ABC中， ，若 ，則 =_.【知識點】平面向量的線性運算；向量的數(shù)量積. F1 F3【答案】【解析】 解析：因為,所以. 故填. 【思路點撥】先把用表示，再用向量數(shù)量積的運算性質求解. 【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆四川省石室中學高三一診模擬（201412）word版】2.已知均為單位向量，且它們的夾角為，那么（）A.1 B. C. D.【知識點】向量的數(shù)量積F3【答案】【解析】 A 解析：因為，所以選A.【思路點撥】一般遇到求向量的模時，通常利用向量模的性質：向量的平方等于其模的平方進行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆四川省石室中學高三一診模擬（201412）word版】2.已知均為單位向量，且它們的夾角為，那么（）A.1 B. C. D.【知識點】向量的數(shù)量積F3【答案】【解析】 A 解析：因為，所以選A.【思路點撥】一般遇到求向量的模時，通常利用向量模的性質：向量的平方等于其模的平方進行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆四川省石室中學高三一診模擬（201412）word版】2.已知均為單位向量，且它們的夾角為，那么（）A.1 B. C. D.【知識點】向量的數(shù)量積F3【答案】【解析】 A 解析：因為，所以選A.【思路點撥】一般遇到求向量的模時，通常利用向量模的性質：向量的平方等于其模的平方進行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學文卷·2015屆重慶市巴蜀中學高三上學期第一次模擬考試（201501）】10 如圖，為的外心，為鈍角， 是邊的中點，則的值為 ( ). A4 B5 C6 D7【知識點】平面向量數(shù)量積的運算F3【答案】【解析】B 解析：（如圖）取AB、AC的中點D、E，可知ODAB，OEACM是邊BC的中點，=,由數(shù)量積的定義可得，而|，故；同理可得，故=5，故選D【思路點撥】取AB、AC的中點D、E，可知ODAB，OEAC，所求，由數(shù)量積的定義結合圖象可得，代值即可【名校精品解析系列】數(shù)學文卷·2015屆重慶一中高三12月月考（201412）word版】9已知平面向量的夾角為，且，在中，D 為BC的中點，則（ ） A2 B4 C6 D8【知識點】向量的運算 向量的數(shù)量積F1 F3【答案】【解析】A 解析：=，所以，所以【思路點撥】本題主要考察向量的基本運算與向量模的計算，與向量模有關的一般用到向量的平方等于模的平方.【名校精品解析系列】數(shù)學文卷·2015屆湖北省部分高中高三元月調考（201501）】16已知，向量a=（m，1），b=（12，4），c=（2，4）且ab，則向量c在向量a方向上的投影為 .【知識點】平面向量的數(shù)量積及應用F3【答案】-【解析】由于向量=（m，1），=（-12，4），且，則4m=-12，解得，m=-3則=（-3，1），=-3×2-4=-10，則向量在向量方向上的投影為=-【思路點撥】運用向量共線的坐標表示，求得m=-3，再由數(shù)量積公式求得向量，的數(shù)量積，及向量的模，再由向量在向量 方向上的投影為，代入數(shù)據(jù)即可得到【名校精品解析系列】數(shù)學文卷·2015屆浙江省重點中學協(xié)作體高三上學期第二次適應性測試（201501）word版】16已知中，且，則的取值范圍是?！局R點】向量的數(shù)量積 F3【答案】【解析】解析：因為，所以，即可得，因為可得，設，所以有，因為 ，可得，所以，故答案為.【思路點撥】根據(jù)題意可得，由平方可得，可得，根據(jù)角B的范圍求得，而即可求得.【名校精品解析系列】數(shù)學文卷·2015屆四川省石室中學高三一診模擬（201412）word版】3.已知均為單位向量，且它們的夾角為，那么（）A.1 B. C. D.【知識點】向量的數(shù)量積F3【答案】【解析】 A 解析：因為，所以選A.【思路點撥】一般遇到求向量的模時，通常利用向量模的性質：向量的平方等于其模的平方進行解答.F4 單元綜合