第 39 講 “牛吃草”問題一、知識要點牛吃草問題是牛頓問題，因牛頓提出而得名的?！耙欢巡菘晒?10 頭牛吃 3 天，供 6 頭牛 吃幾天？”這題很簡單，用 3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”換成“一片正在生長的草 地”，問題就不那么簡單了。因為草每天走在生長，草的數(shù)量在不斷變化。這類工作總量不固 定（均勻變化）的問題就是“牛吃草”問題。解答這類題的關(guān)鍵是要想辦法從變化中找到不變的量。牧場上原有的草是不變的，新長 出的草雖然在變化，因為是勻速生長，所以每天新長出的草是不變的。正確計算草地上原有 的草及每天長出的草，問題就容易解決了。二、精講精練【例題 1】一片青草地，每天都勻速長出青草，這片青草可供 27 頭牛吃 6 周或 23 頭牛 吃 9 周，那么這片草地可供 21 頭牛吃幾周？這片草地上的草的數(shù)量每天都在變化，解題的關(guān)鍵應(yīng)找到不變量即原來的草的數(shù)量。 因為總草量可以分成兩部分：原有的草與新長出的草。新長出的草雖然在變，但應(yīng)注意到是 勻速生長，因而這片草地每天新長出的草的數(shù)量也是不變的。假設(shè) 1 頭牛一周吃的草的數(shù)量為 1 份，那么 27 頭牛 6 周需要吃 27×6=162（份），此時 新草與原有的草均被吃完；23 頭牛 9 周需吃 23×9=207（份），此時新草與原有的草也均被吃 完。而 162 份是原有的草的數(shù)量與 6 周新長出的草的數(shù)量的總和；207 份是原有的草的數(shù)量 與 9 周新長出的草的數(shù)量的總和，因此每周新長出的草的份數(shù)為：（207-162）÷（9-6）=15 （份），所以，原有草的數(shù)量為：162-15×6=72（份）。這片草地每周新長草 15 份相當于可安 排 15 頭牛專吃新長出來的草，于是這片草地可供 21 頭牛吃 72÷（21-15）12（周）練習 11、一片草地，每天都勻速長出青草，如果可供 24 頭牛吃 6 天，20 頭牛吃 10 天，那么 可供 19 頭牛吃幾天？2、牧場上一片草地，每天牧草都勻速生長，這片牧草可供 10 頭牛吃 20 天，或者可供 15 頭牛吃 10 天，問可供 25 頭牛吃幾天？3、牧場上的青草每天都在勻速生長，這片青草可供 27 頭牛吃 6 周或 23 頭牛吃 9 周，那 么這片草地可供 21 頭牛吃幾周？【例題 2】由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定速度在減少。已 知某塊草地上的草可供 20 頭牛吃 5 天或可供 15 頭牛吃 6 天。照此計算，可供多少頭牛吃 10 天？與例 1 不同的是，不僅沒有新長出的草，而且原有的草還在減少，但是，我們同樣 可以利用與例 1 類似的方法求出每天減少的草和原來的草的總量。設(shè) 1 頭牛 1 天吃的草為 1 份，20 頭牛 5 天吃 100 份，15 頭牛 6 天吃 90 份，100-90=10 （份），說明寒冷的天氣使牧場 1 天減少青草 10 份，也就是寒冷導(dǎo)致的每天減少的草量 相當于 10 頭牛在吃草。由“草地上的草可供 20 頭牛吃 5 天”，再加上寒冷導(dǎo)致的每天減 少的草量相當于 10 頭牛同時在吃草，所以原有草兩有（20+10）×5=150（份），由 150 ÷10=15 知道，牧場原有的草可供 15 頭牛吃 10 天。由寒冷導(dǎo)致的原因占去 10 頭牛吃的 草，所以可供 5 頭牛吃 10 天。練習 2：1、由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草每天以均勻的速度在減少。經(jīng)計算，牧場上的草可 供 20 頭牛吃 5 天或可供 16 頭牛吃 6 天。那么，可供 11 頭牛吃幾天？2、由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草以固定速度在減少。已知牧場上的草可供 33 頭牛 吃 5 天或可供 24 頭牛吃 6 天。照此計算，這個牧場可供多少頭牛吃 10 天？3、經(jīng)測算，地球上的資源可供 100 億人生活 100 年，或可供 80 億人生活 300 年。假設(shè) 地球新生成的資源增長速度是一樣的，那么，為滿足人類不斷發(fā)展的需要，地球最多能養(yǎng)活 多少億人？【例題 3】自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知 男孩每分鐘走 20 級臺階，女孩每分鐘走 15 級臺階，結(jié)果男孩用 5 分鐘到達樓上，女孩用了 6 分鐘到達樓上。問：該扶梯共有多少級臺階？與前兩個題比較，“總的草量”變成了“扶梯的臺階總數(shù)”，“草”變成了“臺階”，“?！?變成了“速度”，也可以看成是牛吃草問題。上樓的速度可以分為兩部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自動扶梯的速 度。男孩 5 分鐘走了 20×5=100（級），女孩 6 分鐘走了 15×6=90（級），女孩比男孩少走了 10090=10（級），多用了 65=1（分鐘），說明電梯 1 分鐘走 10 級。因男孩 5 分鐘到達樓 上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和。所以，扶梯共有（20+10）×5=150（級）練習 3：1、自動扶梯以均勻速度行駛著，渺小明和小紅從扶梯上樓。已知小明每分鐘走 25 級臺 階，小紅每分鐘走 20 級臺階，結(jié)果小明用 5 分鐘，小紅用了 6 分鐘分別到達樓上。該扶梯共 有多少級臺階？2、兩個頑皮的孩子逆著自動扶梯的方向行走。在 20 秒鐘里，男孩可走 27 級臺階，女孩 可走 24 級臺階，男孩走了 2 分鐘到達另一端，女孩走了 3 分鐘到達另一端，該扶梯共有多少 級臺階？3、兩只蝸牛由于耐不住陽光的照射，從井頂逃向井底。白天往下爬，兩只蝸牛白天爬行 的速度是不同的。一只每天白天爬 20 分米，另一只爬 15 分米。黑夜里往下滑，兩只蝸?；?行的速度卻是相同的。結(jié)果一只蝸牛恰好用了 5 個晝夜到達井底，另一只蝸牛恰好用了 6 個 晝夜到達井底。那么，井深多少米？【例題 4】一只船有一個漏洞，水以均勻的速度進入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進了一些水。 如果用 12 人舀水，3 小時舀完。如果只有 5 個人舀水，要 10 小時才能舀完?，F(xiàn)在要想 2 小 時舀完，需要多少人？已漏進的水，加上 3 小時漏進的水，每小時需要（12×3）人舀完，也就是 36 人用 1 小 時才能舀完。已漏進的水，加上 10 小時漏進的水，每小時需要（5×10）人舀完，也就是 50 人用 1 小時才能舀完。通過比較，我們可以得出 1 小時內(nèi)漏進的水及船中已漏進的水。1 小時漏進的水，2 個人用 1 小時能舀完：（5×1012×3）÷（103）=2已漏進的水：（122）×3=30已漏進的水加上 2 小時漏進的水，需 34 人 1 小時完成：30+2×2=34用 2 小時來舀完這些水需要 17 人：34÷2=17（人）練習 4：1、有一水池，池底有泉水不斷涌出。用 10 部抽水機 20 小時可以把水抽干，用 15 部相 同的抽水機 10 小時可以把水抽干。那么用 25 部這樣的抽水機多少小時可以把水抽干？2、有一個長方形的水箱，上面有一個注水孔，底面有一個出水孔，兩孔同時打開后，如 果每小時注水 30 立方分米，7 小時可以注滿水箱；如果每小時注水 45 立方分米，注滿水箱 可少用 2.5 小時。那么每小時由底面小孔排出多少立方分米的水（設(shè)每小時排水量相同）？3、有一水井，連續(xù)不段涌出泉水，每分鐘涌出的水量相等。如果用 3 臺抽水機來抽水， 36 分鐘可以抽完；如果使用 5 臺抽水機，20 分鐘抽完?，F(xiàn)在 12 分鐘內(nèi)要抽完井水，需要抽 水機多少臺？【例題 5】有三塊草地，面積分別為 5，6，和 8 公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一 樣快。第一塊草薦地可供 11 頭牛吃 10 天，第二塊草地可供 12 頭牛吃 14 天。問第三塊草地 可供 19 頭牛吃多少天？前幾天我們接觸的是在同一塊草地上，同一個水池中，現(xiàn)在是三塊面積不同的草地。為 了解決這個問題，只需將三塊草地的面積統(tǒng)一起來。即5，6，8=120這樣，第一塊 5 公頃可供 11 頭牛吃 10 天，120÷5=24，變?yōu)?120 公頃草地可供 11×24=264 （頭）牛吃 10 天第二塊 6 公頃可供 12 頭牛吃 14 天，120÷6=20，變?yōu)?120 公頃草地可供 12×20=240（頭） 牛吃 14 天。120÷8=15。問題變成：120 公頃草地可供 19×15=285（頭）牛吃幾天？因為草地面積相同，可忽略具體公頃數(shù)，原題可變?yōu)椋阂粔K草地勻速生長，可供 264 頭牛吃 10 天或供 240 頭牛吃 14 天，那么可供 285 頭牛齒 及天？即每天新長出的草：（240×14264×10）÷（1410）=180（份）草地原有草：（264180）×10=840（份）可供 285 頭牛吃的時間：840÷（285180）=8（天）答：第三塊草地可供 19 頭牛吃 8 天。練習 5：1、某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等 候檢票的隊伍消失，同時開 4 個檢票口需 30 分鐘，同時開 5 個檢票口需 20 分鐘。如果同時 打開 7 個檢票口，那么需多少分鐘？2、快、中、慢三車同時從 A 地出發(fā)，追趕一輛正在行駛的自行車，三車的速度分別是嵋 小時 24 千米、20 千米、19 千米。快車追上自行車用了 6 小時，中車追上自行車用了 10 小時， 慢車追上自行車用多少小時？3、一個牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供 17 頭牛吃 30 天，或供 19 頭牛吃 24 天?，F(xiàn)有一群牛吃了 6 天后賣掉 4 頭，余下的牛又吃了 2 天將草吃完。這群牛原來有多少 頭？