第1章 矢量分析,一、矢量和標量的定義,二、矢量的運算法則,三、矢量微分元：線元，面元，體元,四、標量場的梯度,六、矢量場的旋度,五、矢量場的散度,七、重要的場論公式,一、矢量和標量的定義,1.標量：只有大小，沒有方向的物理量。,矢量表示為：,所以：一個矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。,其中： 為矢量的模，表示該矢量的大小。 為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1。,2.矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。,如:力 、速度 、電場 等,如：溫度 T、長度 L 等,例1：在直角坐標系中， x 方向的大小為 6 的矢量如何表示？,圖示法：,力的圖示法：,二、矢量的運算法則,1.加法: 矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四邊形規(guī)則。,a.滿足交換律：,b.滿足結合律：,三個方向的單位矢量用 表示。,根據(jù)矢量加法運算：,所以：,在直角坐標系下的矢量表示:,其中：,矢量：,模的計算：,單位矢量：,方向角與方向余弦：,在直角坐標系中三個矢量加法運算：,2.減法：換成加法運算,逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互為逆矢量。,在直角坐標系中兩矢量的減法運算：,3.乘法：,（1）標量與矢量的乘積：,（2）矢量與矢量乘積分兩種定義,a. 標量積（點積）：,在直角坐標系中，已知三個坐標軸是相互正交的，即,有兩矢量點積：,結論: 兩矢量點積等于對應分量的乘積之和。,推論1：滿足交換律,推論2：滿足分配律,推論3：當兩個非零矢量點積為零,則這兩個矢量必正交。,推論1：不服從交換律：,推論2：服從分配律：,推論3：不服從結合律：,推論4：當兩個非零矢量叉積為零，則這兩個矢量必平行。,b.矢量積（叉積）：,含義： 兩矢量叉積，結果得一新矢量，其大小為這兩個矢量組成的平行四邊形的面積，方向為該面的法線方向，且三者符合右手螺旋法則。,在直角坐標系中，兩矢量的叉積運算如下：,兩矢量的叉積又可表示為：,（3）三重積：,三個矢量相乘有以下幾種形式：,矢量，標量與矢量相乘。,標量，標量三重積。,矢量，矢量三重積。,a. 標量三重積,法則：在矢量運算中,先算叉積,后算點積。,定義：,含義： 標量三重積結果為三矢量構成的平行六面體的體積 。,注意：先后輪換次序。,推論：三個非零矢量共面的條件。,在直角坐標系中：,b.矢量三重積：,例2：,解：,則：,設,例3： 已知,求：確定垂直于 、 所在平面的單位矢量。,其中：k 為任意實數(shù)。,C,A,B,解：在通過A點和B點的直線方程上， 任取一點C，對于原點的位置 矢量為 ，則,三、矢量微分元：線元、面元、體元,例：,其中： 和 稱為微分元。,1. 直角坐標系 在直角坐標系中，坐標變量為(x,y,z)，如圖，做一微分體元。,線元：,面元：,體元：,2. 圓柱坐標系,在圓柱坐標系中，坐標變量為 ，如圖，做一微分體元。,線元：,面元：,體元：,3. 球坐標系,在球坐標系中，坐標變量為 ，如圖，做一微分體元。,線元：,面元：,體元：,a. 在直角坐標系中，x,y,z 均為長度量，其拉梅系數(shù)均為1， 即：,b. 在柱坐標系中，坐標變量為 , 其中 為角度， 其對應的線元 ，可見拉梅系數(shù)為：,在球坐標系中，坐標變量為 ，其中 均為 角度，其拉梅系數(shù)為：,注意：,在正交曲線坐標系中，其坐標變量 不一定都是長度，其線元必然有一個修正系數(shù)，這些修正系數(shù)稱為拉梅系數(shù)，若已知其拉梅系數(shù) ，就可正確寫出其線元、面元和體元。,體元：,線元：,面元：,正交曲線坐標系：,四、標量場的梯度,1. 標量場的等值面,可以看出：標量場的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不 相交的。,以溫度場為例：,熱源,等溫面,b.梯度,定義：標量場中某點梯度的大小為該點最大的方向導數(shù)， 其方向為該點所在等值面的法線方向。,數(shù)學表達式：,2. 標量場的梯度,a.方向導數(shù)：,空間變化率，稱為方向導數(shù)。,為最大的方向導數(shù)。,標量場的場函數(shù)為,計算：,在直角坐標系中：,所以：,梯度也可表示：,在柱坐標系中：,在球坐標系中：,在任意正交曲線坐標系中：,在不同的坐標系中，梯度的計算公式：,在直角坐標系中：,五、矢量場的散度,1. 矢線（場線）：,在矢量場中，若一條曲線上每一點的切線方向與場矢量在該點的方向重合，則該曲線稱為矢線。,2. 通量：,定義：如果在該矢量場中取一曲面S， 通過該曲面的矢線量稱為通量。,表達式：,若曲面為閉合曲面：,討論：,a. 如果閉合曲面上的總通量,說明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量，意味著閉合面內存在正的通量源。,b. 如果閉合曲面上的總通量,說明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢線在曲面內終止了，意味著閉合面內存在負源或稱溝。,c. 如果閉合曲面上的總通量,說明穿入的通量等于穿出的通量。,3. 散度：,a.定義：矢量場中某點的通量密度稱為該點的散度。,b.表達式：,c.散度的計算：,在直角坐標系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個平面組成。,矢量場 表示為：,因為：,則：,在 x 方向上的總通量：,在 z 方向上,穿過 和 面的總通量：,整個封閉曲面的總通量：,同理：在 y方向上,穿過 和 面的總通量：,該閉合曲面所包圍的體積：,通常散度表示為：,4.散度定理：,物理含義：穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分。,柱坐標系中：,球坐標系中：,正交曲線坐標系中：,直角坐標系中：,常用坐標系中，散度的計算公式,六、矢量場的旋度,1. 環(huán)量：,在矢量場中，任意取一閉合曲線 ，將矢量沿該曲線積分稱之為環(huán)量。,可見：環(huán)量的大小與環(huán)面的方向有關。,2. 旋度:,定義：一矢量其大小等于某點最大環(huán)量密度，方向為該環(huán) 的法線方向，那么該矢量稱為該點矢量場的旋度。,表達式：,旋度計算：,以直角坐標系為例，一旋度矢量可表示為：,場矢量：,其中： 為x 方向的環(huán)量密度。,旋度可用符號表示：,其中：,可得：,同理：,所以：,旋度公式：,為了便于記憶，將旋度的計算公式寫成下列形式:,類似地，可以推導出在廣義正交坐標系中旋度的計算公式：,對于柱坐標、球坐標，已知其拉梅系數(shù)，代入公式即可寫出旋度的計算公式。,3. 斯托克斯定理：,物理含義： 一個矢量場旋度的面積分等于該矢量沿此曲面周界的曲線積分。,七、重要的場論公式,1. 兩個零恒等式,任何標量場梯度的旋度恒為零。,任何矢量場的旋度的散度恒為零。,在圓柱坐標系中：,在球坐標系中：,在廣義正交曲線坐標系中：,2. 拉普拉斯算子,在直角坐標系中：,3. 常用的矢量恒等式,