課時知能訓(xùn)練一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明1n(nN*，n1)時，第一步應(yīng)驗證不等式()A12 B12C13 D13【解析】驗證當n2時的不等式，即12.【答案】B2已知f(n)，則()Af(n)中有n項，當n2時，f(2)Bf(n)中有n1項，當n2時，f(2)Cf(n)中有n2n項，當n2時，f(2)Df(n)中有n2n1項，當n2時，f(2)【解析】項數(shù)為n2(n1)n2n1.f(2).【答案】D3某個命題與自然數(shù)n有關(guān)，若nk(kN*)時該命題成立，那么可推得當nk1時該命題也成立現(xiàn)已知當n5時該命題不成立，那么可推得()A當n6時該命題不成立B當n6時該命題成立C當n4時該命題不成立D當n4時該命題成立【解析】由題意知，若當n4時該命題成立，則可推得當n5時該命題也成立，與已知矛盾故當n4時，該命題不成立【答案】C4凸n多邊形有f(n)條對角線則凸(n1)邊形的對角線的條數(shù)f(n1)為()Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2【解析】f(n1)f(n)(n2)1f(n)n1.【答案】C5設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當f(k)k2成立時，總可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命題總成立的是()A若f(1)<1成立，則f(10)<100成立B若f(2)<4成立，則f(1)1成立C若f(3)9成立，則當k1時，均有f(k)k2成立D若f(4) 16成立，則當k4時，均有f(k)k2成立【解析】選項A、B的答案與題設(shè)中不等號方向不同，故A、B錯；選項C中，應(yīng)該是k3時，均有f(k)k2成立；選項D符合題意【答案】D二、填空題6設(shè)S(n)1，則S(n1)S(n)_.【解析】Sn11，Sn1，Sn1Sn.【答案】7已知數(shù)列an滿足a11，an1an1(nN*)，通過計算a1，a2，a3，a4，可猜想an_.【解析】a11，a2a11，a3a21，a4a31.猜想an.【答案】8設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點若用f(n)表示這n條直線交點的個數(shù)，則f(4)_；當n4時，f(n)_(用n表示)【解析】f(3)2，f(4)f(3)3235，f(n)f(3)34(n1)234(n1)(n1)(n2)【答案】5(n1)(n2)三、解答題9用數(shù)學(xué)歸納法證明下面的等式12223242(1)n1·n2(1)n1.【證明】(1)當n1時，左邊121，右邊(1)0·1，原等式成立(2)假設(shè)nk(kN*，k1)時，等式成立，即有12223242(1)k1·k2(1)k1.那么，當nk1時，則有12223242(1)k1·k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k·(k1)2(1)k·k2(k1)(1)k，nk1時，等式也成立，由(1)(2)知對任意nN*有12223242(1)n1·n2(1)n1.10已知正數(shù)數(shù)列an中，前n項和Sn(an)(nN*)，求a1，a2，a3并推測出an的通項公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明【解】由S1a1(a1)且a1>0，解得a11.由S2a1a2(a2)且a2>0，解得a21.由S3a1a2a3(a3)且a3>0，解得a3.推測an.證明如下：(1)當n1時，等式成立(2)假設(shè)nk(kN*，k1)時結(jié)論成立，ak.這時，Sk(ak)().則由Sk1Skak1(ak1)，ak1(ak1)，得a2·ak110.解得ak1(ak10)因此，當nk1時結(jié)論也成立，由(1)，(2)可知an對一切正整數(shù)n都成立11(2012·陽江模擬)等比數(shù)列an的前n項和為Sn.已知對任意的nN*，點(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b0且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上(1)求r的值；(2)當b2時，記bn2(log2an1)(nN*)證明：對任意的nN*，不等式···成立【解】(1)由題意，Snbnr，當n2時，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0且b1，所以n2時，an是以b為公比的等比數(shù)列，又a1br，a2b(b1)，b，解得r1.(2)證明由(1)知an2n1，因此bn2n(nN*)，所證不等式為···.當n1時，左式，右式，左式右式，結(jié)論成立假設(shè)nk時，···，則當nk1時，·····，要證當nk1時結(jié)論成立，只需證，即證，又成立，故成立，所以，當nk1時，結(jié)論成立由可知，nN*時，不等式···成立