課時(shí)提升作業(yè)(二十二) 第三章 第七節(jié) 正弦定理和余弦定理一、選擇題1.在ABC中,若A=60°,BC=4,AC=4,則角B的大小為( )(A)30°(B)45°(C)135°(D)45°或135°2.(2013·黃山模擬)ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c, asinAsinB+bcos2A=a,則的值為( )(A)2(B)2(C)(D)3.在ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,則ABC的形狀是( )(A)鈍角三角形(B)直角三角形(C)銳角三角形(D)不能確定4.(2013·寶雞模擬)若ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊a,b,c滿足(a+b)2-c2=4,且C=60°,則ab的值為( )(A)(B)8-4(C)1(D)5.若滿足條件C=60°,AB=,BC=a的ABC有兩個(gè),那么a的取值范圍是( )(A)(1,)(B)(,)(C)(,2)(D)(1,2)6.(2013·萍鄉(xiāng)模擬)如圖,在ABC中,D是邊AC上的點(diǎn),且AB=AD,2AB=BD, BC=2BD,則sinC的值為( )(A)(B)(C)(D)二、填空題7.已知ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a=2,cosB=,b=3,則sinA等于.8.(2013·南昌模擬)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若+=6cosC,則+的值是.9.(2013·哈爾濱模擬)ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且cosA=, cosB=,b=3,則邊c等于.三、解答題10.在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足csinA=acosC.(1)求角C的大小.(2)求sinA-cos(B+)的最大值,并求取得最大值時(shí)角A,B的大小.11.(2013·陜西師大附中模擬)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a=1,b=2,cosC=.(1)求ABC的周長(zhǎng).(2)求cos(A-C)的值.12.(能力挑戰(zhàn)題)在ABC中,A,B,C為三個(gè)內(nèi)角,a,b,c為三條邊,<C<且=.(1)判斷ABC的形狀.(2)若|+|=2,求·的取值范圍.答案解析1.【解析】選B.由已知A=60°,BC=a=4,AC=b=4及正弦定理=,得sinB=,sinB=,故B=45°或B=135°(舍去).2.【解析】選D.由正弦定理得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA,所以sinB(sin2A+cos2A)=sinA,故sinB=sinA,所以=.3.【思路點(diǎn)撥】利用正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,而后利用余弦定理判斷.【解析】選A.由sin2A+sin2B<sin2C得a2+b2<c2,即a2+b2-c2<0.又cosC=,cosC<0.又0<C<,<C<,ABC是鈍角三角形.【方法技巧】三角形形狀判斷技巧三角形形狀的判斷問(wèn)題是正、余弦定理應(yīng)用的一個(gè)重要題型,也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題.其基本技巧就是利用正、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化,有時(shí)要利用三角恒等變換公式結(jié)合三角形中角的關(guān)系正確判斷三角形的形狀.4.【解析】選A.依題意得兩式相減得2ab=4-ab,得ab=.5.【解析】選C.由正弦定理得=,a=2sinA.C=60°,0°<A<120°.又ABC有兩個(gè),如圖所示:asin 60°<<a,即<a<2.6.【解析】選D.設(shè)BD=a,則由題意可得:BC=2a,AB=AD=a,在ABD中,由余弦定理得:cosA=,所以sinA=.在ABC中,由正弦定理得=,所以=,解得sinC=,故選D.7.【解析】由cosB=得sinB=,又=,因而sinA=,所以sinA=.答案:8.【思路點(diǎn)撥】利用特值代入法或?qū)⑶泻瘮?shù)化為弦函數(shù),利用正、余弦定理解題.【解析】方法一:取a=b=1,則cosC=,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=,c=,在如圖所示的等腰三角形ABC中,可得tanA=tanB=.又sinC=,tanC=2,+=4.方法二:由+=6cosC,得=6·,即a2+b2=c2,+=tanC(+)=4.答案:49.【解析】由cosA=,cosB=得sinA=,sinB=,故sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,由正弦定理得:c=.答案:10.【解析】(1)由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC.因?yàn)?<A<,所以sinA>0.從而sinC=cosC.又sinC0,故cosC0,所以tanC=1,0<C<,C=.(2)方法一:由(1)知,B=-A,于是sinA-cos(B+)=sinA-cos(-A)=sinA+cosA=2sin(A+).因?yàn)?<A<,所以<A+<.從而當(dāng)A+=,即A=時(shí),2sin(A+)取最大值2.綜上所述,sinA-cos(B+)的最大值為2,此時(shí)A=,B=.方法二:由(1)知,A=-(B+)于是sinA-cos(B+)=sin(B+)-cos(B+)=2sin(B+).因?yàn)?<B<,所以<B+<.從而當(dāng)B+=,即B=時(shí),2sin(B+)取最大值2.綜上所述,sinA-cos(B+)的最大值為2,此時(shí)A=,B=.11.【解析】(1)c2=a2+b2-2abcosC=1+4-4×=4,c=2,ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=1+2+2=5.(2)cosC=,sinC=.sinA=.a<c,A<C,故A為銳角,cosA=.cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC=×+×=.12.【解析】(1)由=及正弦定理得:sinB=sin 2C,B=2C或B+2C=.當(dāng)B=2C時(shí),由<C<得,<B<,B+C>(不合題意),B+2C=,又A+B+C=,A+(-C)=,A=C,ABC為等腰三角形.(2)|+|=2,a2+c2+2accosB=4.a=c,cosB=,而cosB=-cos 2C,<cosB<1,1<a2<,又·=ac·cosB=a2·=2-a2,<·<1,即所求·的取值范圍是(,1).