25.6相似三角形的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)【知識與能力】1.經(jīng)歷對實際問題的探索,會利用相似三角形的性質(zhì)測量物體的高度或距離.2.在具體情境中建立數(shù)學(xué)模型,并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決簡單實際問題.【過程與方法】1.通過利用相似三角形解決一些生活實際問題,發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.2.通過把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力,提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.3.在與他人合作和交流過程中,能較好地理解他人的思考方法和結(jié)論,提高合作意識.【情感態(tài)度價值觀】1.在運(yùn)用數(shù)學(xué)表述和解決問題的過程中,認(rèn)識數(shù)學(xué)具有抽象、嚴(yán)謹(jǐn)和應(yīng)用廣泛的特點,體會數(shù)學(xué)的價值.2.通過將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,培養(yǎng)建模思想,提高分析問題、解決問題的能力.3.積極參與課堂活動,在活動中使學(xué)生積累經(jīng)驗,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情與興趣.教學(xué)重難點【教學(xué)重點】利用相似三角形的性質(zhì)解決測量問題.【教學(xué)難點】 將實際問題建立成數(shù)學(xué)模型,應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題.課前準(zhǔn)備多媒體課件教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入：導(dǎo)入一:復(fù)習(xí)提問:1.什么是相似三角形及相似比?2.判定三角形相似的方法有哪些?3.相似三角形的性質(zhì)是什么?【師生活動】學(xué)生回答問題,教師點評.導(dǎo)入二:胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔,被喻為“世界古代七大奇觀之一”.塔的4個斜面正對東南西北四個方向,塔基呈正方形,每邊長約為230多米.據(jù)考證,為建成大金字塔,共動用了10萬人花了20年時間.原高146.59米,但由于經(jīng)過幾千年的風(fēng)吹雨打,頂端被風(fēng)化吹蝕,所以高度有所降低.在古希臘,有一位偉大的數(shù)學(xué)家叫泰勒斯.一天,希臘國王阿馬西斯對他說:“聽說你什么都知道,那就請你測量一下埃及金字塔的高度吧”.這在當(dāng)時條件下是個大難題,因為是很難爬到塔頂?shù)?你知道泰勒斯是怎樣測量大金字塔的高度的嗎?【師生活動】學(xué)生欣賞金字塔圖片,大膽聯(lián)想泰勒斯是怎樣測量金字塔的高度的.初步了解本節(jié)課內(nèi)容.教師展示圖片,通過泰勒斯測量金字塔的高度問題引入課題.設(shè)計意圖通過復(fù)習(xí)舊知識,以舊引新,幫助學(xué)生建立新舊知識間的聯(lián)系,借助古代難題,引出新課,激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲,感受數(shù)學(xué)應(yīng)用的意義.二、新知構(gòu)建：過渡語相似三角形的知識有著廣泛的應(yīng)用,在測量高度或距離方面的作用尤為突出.今天我們一起探究如何用相似三角形解決生活中的測量問題.例題講解【課件展示】(教材88頁例1)如圖所示,有些空心圓柱形機(jī)械零件的內(nèi)徑是不能直接測量的,往往需要使用交叉卡鉗進(jìn)行測量.圖中所示為一個零件的剖面圖,它的外徑為a,內(nèi)徑AB未知.現(xiàn)用交叉卡鉗去測量,若OCOA=ODOB=1m,CD=b,則這個零件的內(nèi)徑為多少,零件的壁厚x又是多少?(用含a,b,m的代數(shù)式表示)思路一教師引導(dǎo)分析:1.通過閱讀題目,將實際問題可以轉(zhuǎn)化為什么數(shù)學(xué)問題?在OAB和OCD中,OCOA=ODOB=1m,CD=b,求AB和x2.由已知OCOA=ODOB=1m,能得到兩個三角形相似嗎?(根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似可得OCD和OAB相似)3.根據(jù)三角形相似,能得到和內(nèi)徑AB有關(guān)的比例式嗎?CDAB=ODOB=1m4.根據(jù)以上比例式,能否求出內(nèi)徑AB的長?根據(jù)圖形能否求出壁厚x的值?【師生活動】學(xué)生在教師提出的問題的引導(dǎo)下思考回答,獨立完成解答過程,學(xué)生代表板書,教師點評,并規(guī)范解題格式.(板書)解:OCOA=ODOB=1m,COD=AOB,CDOABO.CDAB=1m.又CD=b,AB=mb,x=a-mb2.即這個零件的內(nèi)徑為mb,壁厚為a-mb2.思路二教師引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題:在OAB和OCD中,OCOA=ODOB=1m,CD=b,求AB和x.【師生活動】學(xué)生獨立思考后,小組合作交流,共同探究解題思路,教師在巡視過程中幫助有困難的學(xué)生,學(xué)生代表板書解題過程,教師點評,并規(guī)范解題格式.(板書)同思路一.設(shè)計意圖在教師提出的問題的引導(dǎo)下,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,體會應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)解決不能直接測量的物體的寬度,提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}能力.一起探究測量旗桿的高度過渡語由相似三角形的判定和性質(zhì),我們可以測量零件的內(nèi)徑,同樣利用相似三角形的性質(zhì),我們可以測量旗桿的高度.探究一:【課件展示】如圖所示,在學(xué)校操場上,高高聳立的旗桿上懸掛著五星紅旗.你一定想知道學(xué)校操場上旗桿的高度,那么怎樣測量和計算旗桿的高呢?請你設(shè)計一個測量高度的方案,說明理由.【師生活動】給學(xué)生足夠的時間,讓學(xué)生小組討論解決方法,畫出圖形,設(shè)計測量方案,小組代表根據(jù)圖形敘述測量的方法思路,教師恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo),并對方案進(jìn)行評價,師生共同歸納測量的方法.1.升降旗上有繩子,測量升降旗上的繩子長度算出旗桿的高度.2.根據(jù)太陽光線平行,光線與地面所成的夾角相等,所以在同一時刻測出旗桿和標(biāo)桿的影長,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出旗桿的高度.3.在旗桿和人之間水平放一面平面鏡,移動平面鏡的位置,使人在平面鏡中能看到旗桿頂端,根據(jù)入射角等于反射角,利用相似三角形求出旗桿的高度.4.將視點、標(biāo)桿頂端、旗桿頂端置于同一直線上,測出視點與標(biāo)桿及旗桿底部的距離及標(biāo)桿高度,利用相似三角形求出旗桿的高.用相似三角形可以求旗桿的高度,常用的方法有:【課件展示圖形】1.同一時刻物高、影長及太陽光構(gòu)成直角三角形.2.利用平面鏡構(gòu)造直角三角形.3.觀察者視線與標(biāo)桿頂端、旗桿頂端在同一條直線上.探究二:【課件展示】思考下面“大剛設(shè)計的方案”是否可行.如果可行,請說明其中的道理.若標(biāo)桿CD=2 m,標(biāo)桿影子BD=3 m,旗桿影子BO=12 m,求旗桿的高.大剛設(shè)計的方案如圖所示,在陽光下的某一時刻,將一根標(biāo)桿CD豎立在旗桿影子上,使標(biāo)桿的影子BD落在旗桿影子BO上,且它們影子的頂端重合.這時,量一量CD,BD,BO的長,可得旗桿AO的長為AO=CD·BOBD.【師生活動】學(xué)生獨立思考后,小組合作交流,共同探究大剛設(shè)計的方案的可行性,教師巡視中幫助有困難的學(xué)生,學(xué)生獨立完成求旗桿的高度,并展示解答過程,教師評價并規(guī)范解題格式.【課件展示】解:由題意可得BDC=O=90°,CDAO,BCDBAO,CDAO=BDBO,2AO=312,AO=8.旗桿AO的高為8 m.設(shè)計意圖解決生活實際問題求旗桿的高度,培養(yǎng)學(xué)生多角度思考問題,給學(xué)生足夠的時間和空間,通過小組合作交流,思考測旗桿高度的多種方法,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,通過評價大剛設(shè)計的方案,學(xué)生在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行分析、探究,建立相似三角形模型,由相似三角形的性質(zhì)求解,提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.做一做過渡語我們用多種方法可以求操場上旗桿的高度,那么我們能不能用相似三角形的性質(zhì)解決其他實際問題呢?【課件展示】1.如圖所示,這是大家都做過的“小孔成像”實驗示意圖.已知蠟燭與光屏之間的距離為l.具有“小孔”的紙板放在什么位置時,蠟燭火焰的高度AB是它的像B'A'的高度的一半?【師生活動】學(xué)生獨立完成解答后,小組內(nèi)交流答案,教師對學(xué)生的展示點評,規(guī)范解題格式,歸納用相似三角形解決實際問題的思路.2.(導(dǎo)入二問題)據(jù)傳說,古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾經(jīng)利用相似三角形的原理,在金字塔影子的頂部立一根木桿,借助太陽光線構(gòu)成的兩個相似三角形來測量金字塔的高度.如圖所示,木桿EF長為2 m,它的影長FD長為4 m,測得OA長為274 m,求金字塔的高度BO.教師引導(dǎo)分析:(1)圖中存在相似三角形嗎?(由太陽光線平行得BAO=EDF,又AOB=DFE=90°,得BAOEDF)(2)如何測得OA的長?(AMN是等腰三角形,金字塔底面是正方形,則OA等于這個等腰三角形的高與金字塔底面邊長的一半的和)(3)寫出你的證明過程.【師生活動】學(xué)生在教師的引導(dǎo)下分析回答,獨立完成證明過程,學(xué)生板書,教師點評.解:太陽光是平行光線,因此BAO=EDF.又AOB=DFE=90°,ABODEF.BOEF=OAFD.BO=OA·EFFD=274×24=137(m).因此金字塔的高度為137 m.設(shè)計意圖通過解決不能直接測量的物體的高度問題,讓學(xué)生在解決實際問題的過程中學(xué)會建立數(shù)學(xué)模型,通過建模培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力.在教師的引導(dǎo)下學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)和合作交流相結(jié)合,進(jìn)一步加深對相似三角形的應(yīng)用意識,培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力和發(fā)散思維能力.知識拓展利用相似三角形進(jìn)行測量的一般步驟:(1)利用平行線、標(biāo)桿等構(gòu)成相似三角形;(2)測量與表示未知量的線段相對應(yīng)的線段的長,以及另外任意一組對應(yīng)邊的長度;(3)畫出示意圖,利用相似三角形的性質(zhì),列出以上包括未知量在內(nèi)的四個量的比例式,解出未知量;(4)檢驗并得出答案.三、課堂小結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)測量計算物體的高度,根據(jù)題意畫出圖形,建立數(shù)學(xué)模型,利用平行、垂直等構(gòu)造相似三角形,要分清圖中哪兩個三角形相似,利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例進(jìn)行計算.- 6 -